Momenti i inercisë

1. Momenti i inercisë së grimcës

Rishikoni një grimcë rrotulluese. Grimcës me masë m i është dhënë forca F në mënyrë që grimca të rrotullohet rreth boshtit O. Grimca është r larg boshtit të rrotullimit. Së pari, grimca është në qetësi (v = 0). Pasi lëvizin nga forca e F, grimcat lëvizin me një shpejtësi të caktuar në mënyrë që grimcat të kenë nxitim tangjencial. Marrëdhënia midis forcës (F), masës (m) dhe nxitimit tangjencial të grimcave shprehet me ekuacionin 3:

F = ma _tan (Ekuacioni 3)

Grimcat rrotullohen në mënyrë që grimcat të kenë nxitim këndor. Marrëdhënia midis nxitimit tangjencial dhe nxitimit këndor shprehet me ekuacionin 4:

a _tan = rα (Ekuacioni 4)

Zëvendësoni a në ekuacionin 3 me a në ekuacionin 4:

F = mr α

r F = ^mr2α

τ = (mr2 ⁾ α (Ekuacioni 5)

r F është momenti i forcës dhe mr ² është momenti i inercisë së grimcës. Ekuacioni 5 shpreh marrëdhënien midis momentit të forcës, momentit të inercisë dhe nxitimit këndor të grimcave rrotulluese. Ekuacioni 5 është ekuacioni i ligjit të dytë të Njutonit për grimcat rrotulluese.

Momenti i inercisë së një grimce është prodhimi i masës së grimcës (m) dhe katrorit të distancës midis grimcave me boshtin e rrotullimit (r2 ⁾.

I = mr2 ⁽ Ekuacioni 6)

I = momenti i inercisë së grimcës, m = masa e grimcës, r = distanca midis grimcës dhe boshtit të rrotullimit. Ekuacioni 6 përdoret për të përcaktuar momentin e inercisë së një grimce.

3.2 Probleme shembullore të momentit të inercisë së grimcës

Problemi shembull 1.

Një grimcë me masë 2 kg u lidh në një litar 0.5 metra të gjatë dhe më pas u rrotullua. Cili është momenti i inercisë së grimcave gjatë rrotullimit?

Zgjidhja:

Unë = Z. ²

I = (2 kg) (0.5 m) ²

I = 0.5 kg ^m2

Problemi shembull 2.

Dy grimca, secila me një masë prej 2 kg dhe 4 kg, janë të lidhura nga një tel i lehtë, ku gjatësia e telit është 2 metra. Injoroni masën e telave. Përcaktoni momentin e inercisë së dy grimcave, nëse:

a) Boshti i rrotullimit ndodhet midis dy grimcave

Zgjidhja:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(12) + (4)(12)

Unë = 2 + 4

I = 6 kg ^m2

b) Boshti i rrotullimit është në një distancë prej 0.5 metrash nga grimca me një masë prej 2 kg

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(0.52 ⁾ + (4)( ^1.52 )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

Unë = 0.5 + 9

I = 9.5 kg ^m2

c) Boshti i rrotullimit është në një distancë prej 0.5 metrash nga grimca me një masë prej 4 kg

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(1.52) + (4)( ^0.52 )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

Unë = 4.5 + 1

I = 5.5 kg ^m2

Bazuar në rezultatet e llogaritjeve të mësipërme, momenti i inercisë ndikohet fuqishëm nga vendndodhja e boshtit të rrotullimit. Edhe pse forma dhe madhësia janë të njëjta sepse vendndodhja e boshtit të rrotullimit është e ndryshme, edhe momenti i inercisë është i ndryshëm.

Grimcat pranë boshtit të rrotullimit kanë një moment inercie më të vogël, ndërsa grimcat që janë larg boshtit të rrotullimit kanë një moment inercie më të madh. Nëse supozojmë se dy grimcat e mësipërme janë objekte të ngurta, atëherë secila grimcë është pranë boshtit të rrotullimit.

ka një moment inercie më të vogël se momenti i inercisë së grimcës më larg boshtit të rrotullimit.

3.3 Momenti i inercisë së një trupi të ngurtë homogjen

Objektet e ngurta përbëhen nga shumë grimca. Momenti i inercisë së një trupi të ngurtë është numri total i momenteve të inercisë së secilës grimcë që ndërton objektin.

I = Σ ^mr2

I = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Për të përcaktuar momentin e inercisë së një objekti të ngurtë, duhet ta shqyrtojmë objektin kur ai rrotullohet, sepse vendndodhja e boshtit të rrotullimit ndikon në momentin e inercisë së objektit. Momenti i inercisë (I) i secilës grimcë varet gjithashtu nga masa (m) e grimcës dhe katrori i distancës (r2 ⁾ të grimcës nga boshti i rrotullimit. Masa e të gjitha grimcave që e ndërtojnë objektin është masa e objektit.

Problemi është se distanca e secilës grimcë nga boshti i rrotullimit ndryshon.

Rishikoni uljen në formulën e momentit të inercisë së një unaze të hollë me gishta R dhe masë M.

Nëse boshti i rrotullimit ndodhet në qendër të unazës, të gjitha grimcat e unazës së hollë ndodhen nga boshti i rrotullimit. Momenti i inercisë së një unaze të hollë është i barabartë me momentin e inercisë së të gjitha grimcave:

I = Σ mr²

I = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Masa e të gjitha grimcave = masa e unazës së hollë (M)

_I = M ( r12 ₊ ^r22 + ^r32 ₊ … ^.. + _rn2 ⁾

Çdo grimcë e unazës së hollë është r nga boshti i rrotullimit në mënyrë që _r1 = r2 ₌ r3 ₌ rn = R

Ekuacioni i momentit të inercisë së unazës së hollë:

I = ^MR2

I = momenti i inercisë së unazës së hollë, M = masa e unazës së hollë, R = rrezja e unazës së hollë.

Po sikur boshti i rrotullimit të mos jetë i vendosur në qendër të unazës? Nëse boshti i rrotullimit nuk është i vendosur në qendër të unazës, formula e momentit të inercisë së unazës së hollë nuk mund të nxirret duke përdorur metodën e mësipërme,

sepse distanca e secilës grimcë nga boshti i rrotullimit është e ndryshme. Nxjerrja e formulës së momentit të inercisë për një problem si ky nuk diskutohet në këtë temë.

Formula e momentit të inercisë për disa objekte të ngurta

3.4 Problem shembull i momentit të inercisë së një trupi të ngurtë homogjen

Problemi shembull 1:

Cilindri i shufrës AB ka një masë prej 3 kg kur rrotullohet nëpër B,

momenti i inercisë është 27 kg m ^2. Cili është momenti i inercisë nëse

rrotulluar përmes C?

Zgjidhja:

Zgjidhja:

Formula e momentit të inercisë për shufrën e ngurtë homogjene (boshti i rrotullimit është në qendër të shufrës):

I = 1/12 ^ML2

27 = (1/12) ML ²

(27)(12) = ML ²

324 = ML ²

Formula e momentit të inercisë së një shufre të ngurtë homogjene (boshti i rrotullimit në skajin e shufrës):

I = 1/3 ^ML2

I = 1/3 (324)

I = 108 kg ^m2