Manatu Fa'avae o le Euclidean Geometry
O le geometry Euclidean o se lala o le matematika e suʻesuʻeina le foliga, tele, tulaga, ma meatotino o le vateatea e faʻavae i luga o manatu na faʻatulagaina e Euclid (pe tusa o le 3 seneturi T.L.M.) i lana galuega tele, Elements. Mo le tele o seneturi, o lenei geometry ua avea ma faʻavae autu mo le malamalama i le vateatea e lua-vaega (plane) ma le tolu-vaega (space) e pei ona tatou fetaiaʻi i ai i le olaga i aso faisoo. Pe a tatou tusia se laina saʻo i se fua, fuaina tulimanu o se tafatolu, pe fuafua le lautele o se rectangle, o loʻo tatou faʻaaogaina mataupu faavae o le geometry Euclidean. O lenei tusiga o loʻo talanoaina ai manatu faavae o le geometry Euclidean, ona autu autu, axioms, ma nisi o theorem taua e fausia ai lona faavae.
1. Points, Lines, ma Planes: Mea Taua
O le geometry Euclidean e fausia mai meafaitino autu e tolu: laina, vaalele, ma togitogi.
1. O se togitogi o le mea faigofie e na'o le tulaga e fa'ailoa ai ma e leai ni fua (leai se umi, lautele, po'o se maualuga). O togitogi e masani ona fa'ailogaina i mata'itusi tetele e pei o le A, B, po'o le C.
2. O se laina o se seti o togitogi e fa’aloaloa e le gata i itu e lua ma e tasi le fua, o lona uiga o le umi. I le fausaga fa’ata’ita’i lelei, e leai se mafiafia o se laina. E mafai ona fa’amatalaina se laina e ala i togitogi eseese e lua, mo se fa’ata’ita’iga, o se laina e ui atu i le A ma le B e ta’ua o le laina AB.
3. O se fola o se fogaeleele mafolafola e fa’aloaloa atu e le gata i itu uma, e lua ona fua (umi ma le lautele), ma e leai se mafiafia. E mafai ona fa’amatalaina se fola e ala i ni vaega se tolu e le o i se laina sa’o.
E ui o ata i luga o pepa e foliga mai e mafiafia laina ma e foliga mai e iai tuaoi o vaalele, ae i le manatu faʻamatematika a Euclidean, o nei mea uma o ni faʻataʻitaʻiga lelei.
2. Postulates a Euclid ma le Matafaioi a Axioms
O le uiga o le geometry Euclidean o lona natura fa'au'u: e amata mai i fa'amatalaga fa'avae e taliaina e aunoa ma se fa'amaoniga (axioms po'o postulates), ona fa'aopoopoina lea i totonu o theorems e ala i fa'amaoniga fa'alogika.
Na fa'atulaga e Euclid ni poutū lauiloa e lima. I se fa'atulagaga fa'aonaponei e sili atu ona pu'upu'u, e mafai ona malamalama i nei poutū e fa'apea:
1. E lua ni vaega eseese e fuafua tonu lava le laina sa'o e tasi.
2. E mafai ona fa'aloloa pea lava pea se vaega o se laina e fausia ai se laina sa'o.
3. Faatasi ai ma se ogatotonu ma se radius patino, e mafai ona faia se li'o.
4. E tutusa uma tulimanu sa'o.
5. Postulate tutusa: Afai e sopoia e se laina ni laina se lua ina ia itiiti ifo i le 180° le aofaʻi o tulimanu i totonu i le tasi itu, ona sopoia lea e laina e lua i lena itu pe a faʻalauteleina.
O lenei poutū lona lima e sili ona finauina, auā e foliga mai e le "faigofie" nai lo isi poutū e fa. O taumafaiga e faʻamaonia mai isi poutū na le manuia mo le tele o seneturi, ma iu ai ina saunia le ala mo le fanau mai o le geometry e le o Euclidean. Ae afai e taliaina le poutū lona lima, tatou te tumau pea i totonu o le faʻavae Euclidean.
3. O le Manatu o Laina Tutusa ma Laina Fa'alava
I le geometry Euclidean, e ta'ua o laina e lua i totonu o se vaalele e tutusa pe afai e le fetaui lava tusa lava pe fa'aloloa pea. O se uiga taua: e ui atu i se tulaga i fafo atu o se laina, e na'o le tasi le laina e tutusa ma lena laina (e tusa ai ma le postulate tutusa).
I le taimi nei, e ta'ua o laina e lua e fa'asaga sa'o pe afai la te fe'avea'i i le tulimanu e 90°. O le manatu o le fa'asaga sa'o o se fa'avae taua mo le fa'atuina o faiga fa'amaopoopo, fausiaina o ata va'alele, ma le fuaina o tulimanu.
4. Tulimanu ma a latou Fua
E fausia se tulimanu e ala i ave e lua e feiloaʻi i se amataga (le tumutumu). E fuaina tulimanu i tikeri (°) poʻo radians. I le geometry faʻavae o Euclidean, o nisi o ituaiga tulimanu e masani ona talanoaina e aofia ai:
– Tulimanu ma'ai: 0° < tulimanu < 90°
– Tulimanu taumatau: tulimanu = 90°
– Tulimanu fa'api'opi'o: 90° < tulimanu < 180°
– Tulimanu sa'o: tulimanu = 180°
E tāua fo'i le sootaga i le va o tulimanu, mo se fa'ata'ita'iga, tulimanu fa'aopoopo (aofa'i 180°), tulimanu fa'aopoopo (aofa'i 90°), ma tulimanu fa'afeagai (tutusa le lapopo'a).
5. Foliga Va'alele: Tafatolu, Fa'atafafā, ma Li'o
a. Tafatolu
O le tafatolu o se foliga vane e si'omia e itu e tolu. I le geometry Euclidean, o tafatolu e iai sona uiga autū: o le aofa'i o tulimanu i totonu o se tafatolu e 180°. E ese lea i le geometry e lē o le Euclidean.
E mafai ona vaevaeina tafatolu e faʻavae i o latou itu:
- Equilateral: e tutusa le umi o itu uma e tolu
- Isosceles: e tutusa le umi o itu e lua
– Fa'afuase'i: e eseese uma itu
Ma e faʻavae i luga o le tulimanu:
– Ma'ai, sa'o le tulimanu, ma'ai le fa'asologa
O se a'oa'oga lauiloa i tafatolu o le Pythagorean Theorem, lea e fa'atatau i tafatolu sa'o:
\(a^2 + b^2 = c^2\)
fa'atasi ai ma le \(c\) pito i lalo.
e. Itu fa'atafafā
E fa itu o se itu faatafafā. O nisi o itu faatafafā taua:
– Fa'atafafā: e tutusa le umi o itu uma, e 90° tulimanu uma
– Fa'atafafā: 90° tulimanu, o itu fa'afeagai e tutusa le umi
– Paralelogram: e tutusa itu fa'afeagai ma e tutusa le umi
– Rhombus: e tutusa le umi o itu uma
- Trapezoid: e iai ni itu tutusa se lua
E tofu lava ma ona lava uiga fa'alava ma fa'alava tulaga ese, lea e mafai ona fa'amaonia e fa'aaoga ai le auala Euclidean.
i. Li'o
O se li'o o se seti o ni vaega e tutusa le mamao mai se vaega tutotonu. O manatu taua e uiga i li'o e aofia ai:
– Fa'alava (r), lautele (2r)
– Li'o: \(K = 2\pi r\)
– Eria: \(L = \pi r^2\)
E ese mai i lena, o loʻo i ai manatu o le arc, chord, chord, section, faʻapea foʻi ma tulimanu tutotonu ma tulimanu faʻataʻamilomilo.
6. Fetaui ma le Fetaui
E ta'ua o foliga e lua e tutusa pe afai e tutusa lelei o la foliga ma le lapopo'a (e mafai ona fa'apipi'i e ala i le fa'aliliuga, fa'ata'amilosaga, po'o le fa'ata'ita'iga). Mo se fa'ata'ita'iga, o tafatolu e lua e tutusa o la itu ma tulimanu.
E ta'ua o ni foliga se lua e tutusa pe afai e tutusa o la foliga ae mafai ona eseese le lapopo'a; e tumau le fua fa'atatau o itu e fetaui. E taua tele le tutusa i le fa'afanua, tusiaina o fua fa'atatau, fa'atulagaga, ma le fuaina e le tu'usa'o (mo se fa'ata'ita'iga, fuaina o le maualuga o se la'au e fa'aaoga ai lona ata).
7. Suiga Fa'ata'atia i le Vateatea Euclidean
E suʻesuʻeina foʻi e le geometry Euclidean ni suiga e faʻasaoina ai nisi o meatotino. O suiga autū e aofia ai:
– Faaliliuga (suiga): fa'agaoioi uma vaega i le vector tutusa
– Fa'ata'amilosaga (fa'ata'amilo): fa'ata'amilo se foliga i le ogatotonu o le fa'ata'amilosaga
– Ata (fa'ata): atagia mai ai se foliga e fa'asaga i se laina (i totonu o se va'alele) po'o se va'alele (i le vateatea)
– Fa'alautele (fa'alautele i totonu/fa'aitiitia): suia le tele e ala i se fua fa'atatau
O suiga e pei o le fa'aliliuga, fa'ata'amilosaga, ma le toe fa'ata'ita'iina e puipuia ai mamao ma tulimanu (isometry), ae o le fa'alauteleina e puipuia ai le foliga ae suia ai le tele.
8. Aiseā e Tāua ai le Euclidean Geometry?
E lē gata ina tāua le geometry Euclidean o se aʻoaʻoga faʻamatematika, ae o se meafaigaluega aogā foʻi i matāʻupu eseese: inisinia sivili, fausaga fale, mamanu oloa, ata komepiuta, faʻafanua, ma e oʻo lava i le fisiki masani. O le vateatea tatou te manatu o le "masani" i se fua faʻatatau i aso uma e mafai ona faʻataʻitaʻiina lelei e le geometry Euclidean. E ui lava e mafai ona piʻo le vateatea (e lē o le Euclidean) i se fua faʻatatau o le vateatea poʻo le aʻoaʻoga o le relativity, o le geometry Euclidean o loʻo tumau pea le faigofie ona malamalama i ai ma sili ona faʻaaogaina le faavae amata.
Fa'ato'a
O manatu autū o le geometry Euclidean e amata i mea autū—o togi, laina, ma va'e—ma e atiina ae e ala i postulate ma fa'amaoniga e fa'atuina ai theorem tāua e uiga i tulimanu, laina tutusa, ma foliga va'e eseese e pei o tafatolu, quadrilaterals, ma li'o. Fa'atasi ai ma lona fa'avae fa'alogika ma fa'atulagaina, o le geometry Euclidean o se tasi o mea sili ona tāua i le talafa'asolopito o le matematika, fa'apea fo'i ma se meafaigaluega aogā e tumau pea lona tāua i aso nei. O le malamalama i ona fa'avae o se amataga malosi lea mo le su'esu'eina o matematika e sili atu ona alualu i luma, e aofia ai le geometry analytic , trigonometry, ma le geometry e lē o le Euclidean.
