Fa'ata'ita'iga Fesili e Talanoaina ai le Fa'aopoopoga o Vectors e Lua e Fa'aaoga ai le Metotia Parallelogram
O le fa'aopoopoga o vector o se manatu taua tele i le fisiki ma le matematika, e masani ona fa'aaogaina e fa'amatala ai mea fa'alenatura ma fa'afitauli o le olaga i aso faisoo. E tele auala e fa'aopoopo ai vectors e lua, o se tasi o ia auala o le metotia o le parallelogram. O lenei metotia e le gata ina faigofie ona malamalama i ai ae e maua ai fo'i se va'aiga mamana o le auala e tu'ufa'atasia ai vectors e lua e fausia ai se vector e maua mai ai. I totonu o lenei tusiga, o le a tatou va'ava'ai i ni fa'ata'ita'iga o le fa'aopoopoga o vector e fa'aaoga ai le metotia o le parallelogram, fa'atasi ai ma a latou fofo.
O le ā le Vekita?
A o le’i oo atu i fa’ata’ita’iga o fa’afitauli, e mana’omia ona tatou malamalama i le fa’auigaga autū o se vector. O se vector o se aofa’iga e iai le tele (umi) ma le itu e aga’i i ai. O fa’ata’ita’iga masani o vectors e aofia ai le saoasaoa, fa’avavevaveina, malosi, ma le fe’avea’i. E mafai ona fa’atusalia se vector o ona vaega (i, j, k) i fa’amaopoopoga Cartesian po’o lona umi ma le itu e aga’i i ai (tuli).
Metotia o le Parallelogram
O le metotia o le parallelogram o se tasi lea o auala e fa'aopoopo ai ni vectors se lua. I lenei metotia, matou te fa'atusalia ni vectors se lua o ni itu se lua o se parallelogram. O le vector e mafua mai ai o le diagonal o le parallelogram e amata mai le amataga o vectors e lua. I le fa'amatematika, afai e lua a tatou vectors \(\vec{A}\) ma le \(\vec{B}\), o le taunuuga o le \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \).
O le metotia taʻitasi mo le faʻaaogaina o le metotia o le parallelogram e faʻapea:
1. Tusi le vector \(\vec{A}\) mai le amataga.
2. Mai le pito o le vector \(\vec{A}\), tusi le vector \(\vec{B}\).
3. Tusi se laina e tutusa ma le vector \(\vec{B}\) mai le amataga \(\vec{A}\).
4. Tusi se laina e tutusa ma le vector \(\vec{A}\) mai le pito o le vector \(\vec{B}\).
5. Tusi se laina fa'alava mai le amataga i le tulimanu fa'afeagai e maua ai le vector e maua mai ai \(\vec{R}\).
Fesili Fa'ata'ita'i ma Talanoaga
Fesili 1
Faapea la e lua a tatou vectors \(\vec{A}\) ma le \(\vec{B}\):
– \(\vec{A}\) e 5 iunite lona umi (tele) ma e 0° lona itu (pe i luga o le x-axis lelei),
– O le \(\vec{B}\) e 3 iunite lona umi ma e 90° lona itu (pe i luga o le y-axis lelei).
O le a le tau aogā o le faaopoopoina o nei vectors e lua e faaaoga ai le metotia o le parallelogram?
Talanoaga:
1. Tusi le vector \(\vec{A}\) i luga o le x-axis lelei ma le umi e 5 iunite.
2. Mai le pito o le vector \(\vec{A}\), tusi le vector \(\vec{B}\) i luga o le y-axis lelei ma le umi e 3 iunite.
3. Mai le amataga \(\vec{A}\), tusi se laina e tutusa ma \(\vec{B}\).
4. Mai le pito o le \(\vec{B}\), tusi se laina e tutusa ma le \(\vec{A}\).
5. O le iʻuga o se paralelogram ma se diagonal o le vector lea e mafua mai ai \(\vec{R}\).
Talu ai o le \(\vec{A}\) ma le \(\vec{B}\) e fa'asaga sa'o le tasi i le isi, e mafai ona tatou fa'aogaina le Pythagorean theorem e fuafua ai le umi o le vector return:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83 \]
E mafai ona fuafuaina le itu o le vector taunuuga e faʻaaoga ai le trigonometry. Afai o le \(\theta\) o le tulimanu i le va o le taunuuga ma le \(\vec{A}\):
\[ \tan(\theta) = \frac{B}{A} = \frac{3}{5} \]
o lea la:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
O lea la, o le vector taunuuga \(\vec{R}\) e tusa ma le 5.83 iunite le tele ma e tusa ma le 30.96° le itu mai \(\vec{A}\).
Fesili 2
E lua vectors \(\vec{C}\) ma le \(\vec{D}\) ua tu'uina atu e pei ona taua i lalo:
– \(\vec{C}\) e 4 iunite le umi ma le itu e 45°.
– \(\vec{D}\) e 6 iunite le umi ma le itu e 120°.
Fuafua le vector e maua mai \(\vec{R}\) mai le fa'aopoopoga o vectors e lua.
Talanoaga:
Mo le faʻaopoopoina o vectors se lua e le o faʻasaga saʻo le tasi i le isi pe i ni foliga eseese, e mafai ona e faʻaaogaina vaega Cartesian.
1. Vaevae \(\vec{C}\) ma le \(\vec{D}\) i vaega x ma le y.
Mo \(\vec{C}\):
\[ C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
\[ C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
Mo \(\vec{D}\):
\[ D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[ D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.20 \]
2. Fa'aopoopo vaega x ma le y o vectors uma e lua:
\[ R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[ R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]
3. Fuafua le tele ma le itu o le vector e mafua mai ai \(\vec{R}\):
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \approx 8.03 \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{8.03}{-0.17}\right) \approx \tan^{-1}(-47.24) \]
Talu ai e le lelei le iʻuga, matou te faʻaopoopoina le 180° e maua ai le tulimanu i le faiga saʻo o le quadrant:
\[ \theta \approx \tan^{-1}(47.24) + 180^\circ \approx 271.93^\circ \]
O lea la, o le vector return \(\vec{R}\) e tusa ma le 8.03 iunite le tele ma e tusa ma le 271.93° le itu e agai i ai, pe mafai foi ona tatou fai atu e tusa ma le 91.93° mai le negative x-axis i le kuata lona fa.
Fa'ato'a
O le metotia o le parallelogram o se auala aoga ma vaaia e faʻaopoopo ai ni vectors se lua. E ui o lenei metotia e foliga faigofie mo vectors faigofie, ae e taua le malamalama o mo vectors e sili atu ona faigata, e masani ona tatou faʻaaogaina vaega Cartesian ma metotia algebraic sili atu ona alualu i luma e maua ai ni taunuuga saʻo. E faʻamoemoe o faʻataʻitaʻiga o loʻo i luga e maua ai se ata manino o le auala e mafai ona faʻaaogaina ai lenei metotia i tulaga eseese.
