Fa'ata'ita'iga o Fesili e Talanoaina ai Li'o ma Pa'u
O li'o o se autu taua i le matrix geometry, lea e fa'aalia ai ni manatu loloto e uiga i le mamao, tulimanu, ma foliga. O se tasi o manatu e masani ona talanoaina i lenei autu o le laina tangent i se li'o. I totonu o lenei tusiga, o le a tatou talanoaina ni fa'ata'ita'iga o fa'afitauli e aofia ai li'o ma tangent.
Malamalamaaga Fa'avae o Li'o ma Tapuni
Lingkaran
O se li'o o se foliga fa'ata'atitia e fausia e le seti o vaega uma i totonu o se va'alele e iai se mamao mautu mai se vaega ua ta'ua o le ogatotonu o le li'o. O lenei mamao mautu e ta'ua o le radius o le li'o.
Pa'aga
O le tangent i se li'o o se laina e pa'i atu i le li'o i le tasi lava le tulaga. O lenei tulaga e ta'ua o le point of tangency. O tangents e iai ni uiga taua, e aofia ai:
– E fa'asaga sa'o lava le laina tangent i le radius o le li'o i le tulaga o le tangent.
– E tutusa le umi o se tangent mai se tulaga i fafo atu o le li'o i le li'o pe afai e tosoina ni tangent se lua mai lea tulaga.
Fesili Fa'ata'ita'i ma Talanoaga
O lo'o i lalo o le a matou tu'uina atu ai ni fa'ata'ita'iga o fesili e talanoaina auiliili ai le manatu o li'o ma tapula'a.
Fa'ata'ita'iga Fesili 1: Sailia o le Umi o le Laina o le Tangent
Fesili:
Tuuina atu se li'o e ogatotonu \(O\) ma le radius \(r = 6 \, \text{cm}\). Mai le tulaga \(P\) i fafo atu o le li'o e 10 cm mai le ogatotonu o le li'o, e lua tangents \(PA\) ma le \(PB\) ua tusia i le li'o. Fuafua le umi o le tangent \(PA\).
Talanoaga:
I lenei fa'afitauli, e mafai ona tatou fa'aogaina le teorama Pythagorean. Tusi se tafatolu \(\triangle OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (mamao mai le pito i fafo i le ogatotonu o le li'o)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (le lautele o le li'o)
– \(PA\) o le laina tangent e tatau ona maua
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]
O lea la, o le umi o le laina tangent \(PA\) e 8 cm.
Fa'ata'ita'iga Fesili 2: Sailia o le Point of Tangency
Fesili:
Tuuina atu se li'o e iai le fua fa'atatau \((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) ma se laina \(y = 2x + 1\). Fuafua le tulaga o le pa'i i le va o le li'o ma le laina.
Talanoaga:
Muamua, tatou te faʻailoaina le ogatotonu ma le radius o le liʻo:
– Ogatotonu \(O(3, 4)\)
– Fa'ata'amilosaga \(r = \sqrt{25} = 5\)
Ina ia maua le tulaga o le tangency, se'i tatou fa'apea o le tulaga o le tangency o le \(T(x_1, y_1)\) lea e taoto fo'i i luga o le laina \(y = 2x + 1\). Ona:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
E tatau fo'i i le \(T(x_1, y_1)\) ona fa'amalieina le fua fa'atatau o le li'o:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
Sui le \(y_1 = 2x_1 + 1\) i totonu o le fua fa'atatau o le li'o:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
E manaʻomia ona tatou fuafuaina sikuea e lua.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Tuufaatasia taunuuga uma e lua:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
To'ese le 25 mai itu uma e lua:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Foia le fua fa'atatau fa'atafafā:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \times 5 \times 7}}{2 \times 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 4\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 \pm 0.4\sqrt{29}
\]
Fuafua le tau o le \(y_1\):
O fea e fa'amalieina ai le y = 2x + 1:
– Afai \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\), ona \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– Afai \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\), ona \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)
Iloiloga:
O lea tatou te maua ai ni tulaga se lua o le feiloa'iga o le fua fa'atatau o le li'o ma le laina lea.
Fa'ata'ita'iga Fesili 3: Fuafuaina o le Fa'atusatusaga o se Laina Tangent
Fesili:
Tuuina atu se li'o ma le fua fa'atatau \((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\). Fuafua le fua fa'atatau o le laina tangent i le li'o e ui atu i le tulaga \((6, 7)\).
Talanoaga:
O le tangent i se li'o ma le ogatotonu \((h, k)\) ma le radius \(r\) mai se tulaga i fafo ua iloa e mafai ona maua e ala i le fua fa'atatau:
E ui atu le laina tangent i le pito i fafo \((x_1, y_1)\):
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]
Sui le pito i fafo \((6, 7)\):
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
O le fua fa'atatau o le laina tangent e fa'apea:
\[
x + y = 9
\]
O lea la, o le fesuiaʻiga o le fua faʻatatau o le laina e ui atu i le tulaga o le laina liʻo e matua tele lava ma e mafai ona suia e fuafua i le iʻuga poʻo le faʻataʻitaʻiga vaaia.
I'uga
O le talanoaga e uiga i li'o ma tangents e aofia ai ni vaega taua o le matematika, mai le fa'aogaina o fua fa'atatau e pei o le Pythagorean theorem i le fo'ia o fa'atusatusaga quadratic. E ala i nei fa'ata'ita'iga, e mafai ona tatou atia'e se malamalamaga sili atu i le fa'aogaina o nei manatu i ni tulaga faigata. E fa'amoemoe o lenei tusiga ua fesoasoani e tu'uina atu ai se ata manino i le auala e fa'afetaia'ia ai ma fo'ia ai fa'afitauli e aofia ai li'o ma tangents.
