Fa'ata'ita'iga o Fesili e Talanoaina ai le Fa'asologa o Aritmetika
O fa'asologa fa'a-aritmetika o se manatu fa'avae i le matematika e masani ona alia'e mai i fa'afitauli eseese, i a'oga maualuluga ma a'oa'oga maualuluga. O lenei manatu e aofia ai se fa'asologa o numera lea o lo'o i ai vaega ta'itasi o le i'uga o le fa'aopoopoina pe to'esea o se numera tumau mai le vaega na muamua atu. I totonu o lenei tusiga, o le a tatou talanoaina ai ni fa'ata'ita'iga o fa'afitauli ma a latou fofo ina ia malamalama atili ai i le manatu o fa'asologa fa'a-aritmetika.
Malamalama i le Faasologa o Aritmetika
O se faasologa o numera o se faasologa e iai se eseesega tumau (eseesega) i le va o ni vaega se lua e sosoo. Mo se faataitaiga, afai o se faasologa o numera e iai le vaega muamua \(a\) ma le eseesega \(d\), ona mafai lea ona tusia ia vaega e pei ona taua i lalo:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
Afai tatou te manaʻo e suʻe le vaega lona 9 o lenei faasologa, o le fua faʻatatau mo le vaega lona 9 (\(U_n\)) e faʻapea:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
I le taimi nei, o le aofaʻi o uluaʻi n tuutuuga o se faasologa o faʻamaumauga (\(S_n\)) e mafai ona fuafuaina e faʻaaoga ai le fua faʻatatau:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Fesili Fa'ata'ita'i ma Talanoaga
Fa'ata'ita'iga Fesili 1
Fesili: Tuuina atu se faasologa o numera ma le uluaʻi vaega \(a = 5\) ma le eseesega masani \(d = 3\). Saili le vaega lona 10 o le faasologa.
Talanoaga:
Mo le sailia o le vaega lona 10 (\(U_{10}\)), e mafai ona tatou faʻaaogaina le fua faʻatatau o le vaega lona 9:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
O lea la, o le vaega lona 10 o le faasologa e 32.
Fa'ata'ita'iga Fesili 2
Fesili: Saili le aofaʻi o uluaʻi vaega e 15 o le faasologa o faʻamatalaga o lona uluaʻi vaega o le \(a = 4\) ma le eseesega masani o le \(d = 7\).
Talanoaga:
Mo le mauaina o le aofaʻi o uluaʻi vaega e 15 (\(S_{15}\)), e mafai ona tatou faʻaaogaina le fua faʻatatau mo le aofaʻi o uluaʻi vaega n:
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[ S_{15} = 795 \]
O lea la, o le aofaʻi o uluaʻi vaega e 15 o le faasologa e 795.
Fa'ata'ita'iga Fesili 3
Fesili: Ua iloa o le vaega lona 5 o se faasologa o numera e 20 ma le vaega lona 12 e 48. Saili le vaega muamua (\(a\)) ma le eseesega masani (\(d\)) o le faasologa.
Talanoaga:
Mai tuutuuga ua tuʻuina atu:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
E lua a matou fua fa'atatau laina ma ni fesuia'iga se lua e mafai ona matou foia:
1. \( a + 4d = 20 \)
2. \( a + 11d = 48 \)
Mai le fua fa'atatau 1, e mafai ona tatou fa'aalia le \(a\) i tulaga o le \(d\):
\[ a = 20 – 4d \]
O lea la ua tatou sui le \(a\) i le fua fa'atatau 2:
\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[ d = 4 \]
O lea la ua tatou sui le tau o le \(d\) i totonu o le fua fa'atatau \(a = 20 – 4d\):
\[ a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[ a = 20 – 16 \]
\[ a = 4 \]
O lea la, o le uluaʻi vaega o le faasologa o le 4 ma o le eseesega masani o le 4.
Fa'ata'ita'iga Fesili 4
Fesili: E fia ni vaega e manaʻomia mo se faasologa o numera faʻatasi ai ma le vaega muamua \(a = 2\) ma le eseesega masani \(d = 5\) e faʻaopoopo i le 200?
Talanoaga:
I lenei tulaga, e manaʻomia ona tatou sailia le aofaʻi o uluaʻi n vaega (\(S_n\)) e tutusa ma le 200. Faaaoga le fua faʻatatau mo le aofaʻi o uluaʻi n vaega:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
Suitulaga ia tau o le \(a\) ma le \(d\):
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]
O se fua fa'atatau fa'atafafā lenei. Mo le foia, tatou te suia lona foliga:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
Faaaoga le fua fa'atatau fa'atafafā \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
I lenei tulaga \(a = 5\), \(b = -1\), ma \(c = -400\):
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
O le tau o le \(\sqrt{8001}\) e latalata i le 89.42, ona:
\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Matou te faʻaaogaina tulaga lelei:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \approx \frac{90.42}{10} \]
\[ n \pe tusa ma le 9.042 \]
O lea la, o le aofaʻi o fuaitau e manaʻomia e 9 fuaitau (pe a faʻataʻamilomilo).
I'uga
O fa'asologa fa'a-aritmetika o se mataupu taua tele i le matematika. O se malamalamaga mae'ae'a i le ulua'i vaega, eseesega masani, vaega lona 9, ma le aofa'i o ulua'i vaega n e matua'i taua tele mo le fo'iaina o le tele o fa'afitauli. I le fa'aaogaina o fa'ata'ita'iga ma talanoaga o lo'o i luga, e fa'amoemoe o le a maua e le au faitau se malamalamaga sili atu i manatu fa'avae o fa'asologa fa'a-aritmetika.
