Fa'ata'ita'iga o Fesili e Talanoaina ai Fa'asologa Fa'ata'ita'i
O fa'asologa fa'ata'atitia o se manatu fa'avae i le matematika e masani ona a'oa'oina i le a'oga maualuga. O nei fa'asologa e aofia ai se seti o numera, o numera ta'itasi o le fua fa'atatau o le numera muamua e ala i se fa'amautu e ta'ua o le "fua fa'atatau." O lenei tusiga o le a aofia ai ni fa'ata'ita'iga o fa'afitauli ma talanoaga o fa'asologa fa'ata'atitia, ma le fa'amoemoe e fesoasoani i le au faitau e malamalama atili ai i lenei manatu.
Malamalama i le Faasologa Fa'ata'ita'i
O se faasologa fa'ata'amilosaga o se faasologa o numera e fausia e ala i le fa'ateleina o se numera muamua (a) i se fua fa'atatau tumau (r). I se tulaga lautele, o le foliga lautele o se faasologa fa'ata'amilosaga o le:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} \]
O iinei:
– “a” o le ulua’i vaega lea o le fa’asologa.
– “r” o le fua fa’atatau o le tasi vaega i le vaega muamua.
– “n” o le vaega lona 9 i le faasologa.
Fesili Fa'ata'ita'i ma Talanoaga
Se'i o tatou talanoaina ni fa'ata'ita'iga o fa'afitauli ina ia malamalama atili ai e uiga i fa'asologa fa'ata'ita'i.
Fa'ata'ita'iga Fesili 1
Fesili:
I le tuʻuina atu o se faʻasologa faʻataʻitaʻi ma le uluaʻi vaega (a) e 3 ma le fua faʻatatau (r) e 2. Fuafua:
1. O le vaega lona 5 o le faasologa.
2. O le aofaʻi o uluaʻi vaega e 6 o le faʻasologa.
Talanoaga:
1. E mafai ona fuafuaina le vaega lona 5 (U5) e faʻaaoga ai le fua faʻatatau mo le vaega lona 9 o se faʻasologa faʻataʻitaʻi, e pei o:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
Suia le a = 3, r = 2, ma le n = 5 i le fua fa'atatau:
\[ U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \]
\[ U_5 = 3 \cdot 2^4 \]
\[ U_5 = 3 \cdot 16 \]
\[ U_5 = 48 \]
O lea la, o le vaega lona 5 o le faasologa o le 48.
2. E mafai ona fuafuaina le aofaʻi o uluaʻi vaega e 6 (S6) o se faʻasologa faʻataʻitaʻi e faʻaaoga ai le fua faʻatatau mo le aofaʻi o uluaʻi vaega n, e pei o:
\[ S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right) \]
Suia le a = 3, r = 2, ma le n = 6 i le fua fa'atatau:
\[ S_6 = 3 \left( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( \frac{64 – 1}{1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( 63 \right) \]
\[ S_6 = 189 \]
O lea la, o le aofaʻi o uluaʻi vaega e 6 o le faasologa e 189.
Fa'ata'ita'iga Fesili 2
Fesili:
O se faasologa fa'ata'ita'i e iai le vaega lona 3 o le 27 ma le vaega lona 5 o le 243. Fuafua le tau o le vaega muamua (a) ma le fua fa'atatau (r).
Talanoaga:
Tuuina atu le U3 = 27 ma le U5 = 243. Fa'aaogaina le fua fa'atatau mo le vaega lona 9 o se fa'asologa fa'ata'ita'i:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
Mo le U3:
\[ U_3 = a \cdot r^2 \]
\[ 27 = a \cdot r^2 \] \[ (1) \]
Mo le U5:
\[ U_5 = a \cdot r^4 \]
\[ 243 = a \cdot r^4 \] \[ (2) \]
Fa'atusatusa fua fa'atatau (1) ma le (2) e aveese ai se:
\[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} \]
\[ \frac{243}{27} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ po'o } r = -3 \]
Sui le tau o le r i le fua fa'atatau (1):
Afai \( r = 3 \):
\[ 27 = a \cdot 3^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
Afai \( r = -3 \):
\[ 27 = a \cdot (-3)^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
O lea la, o le uluaʻi vaega (a) e 3, ma o le fua faatatau (r) e mafai ona 3 pe -3.
Fa'ata'ita'iga Fesili 3
Fesili:
Saili le aofa'i e le gata o le fa'asologa fa'ata'atitia o lo'o mulimuli mai pe afai o le fua muamua (a) e 8 ma o le fua fa'atatau (r) e 1/2.
Talanoaga:
E mafai ona fuafuaina le aofaʻi e le gata o se faasologa faʻataʻitaʻi e faʻaaoga ai le fua faʻatatau:
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]
Suia o le a = 8 ma le r = 1/2 i le fua fa'atatau:
\[ S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = 8 \times 2 \]
\[ S_{\infty} = 16 \]
O lea la, o le aofaʻi e le gata o le faasologa faʻataʻitaʻi e 16.
Fa'ata'ita'iga Fesili 4
Fesili:
O se faasologa fa'ata'amilosaga e iai lona vaega lona 2 e 12 ma lona vaega lona 4 e 108. Fuafua le fua fa'atatau ma le vaega muamua o le faasologa.
Talanoaga:
Tuuina atu \( U_2 = 12 \) ma \( U_4 = 108 \). Fa'aaogaina le fua fa'atatau mo le vaega lona 9 o se fa'asologa fa'ata'ita'i:
Mo \( U_2 \):
\[ U_2 = a \cdot r \]
\[ 12 = a \cdot r \] \[ (1) \]
Mo \( U_4 \):
\[ U_4 = a \cdot r^3 \]
\[ 108 = a \cdot r^3 \] \[ (2) \]
Fa'atusatusa fua fa'atatau (1) ma le (2) e aveese ai se:
\[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r} \]
\[ \frac{108}{12} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ po'o } r = -3 \]
Sui le tau o le r i le fua fa'atatau (1):
Afai \( r = 3 \):
\[ 12 = a \cdot 3 \]
\[ a = 4 \]
Afai \( r = -3 \):
\[ 12 = a \cdot (-3) \]
\[ a = -4 \]
O lea la, o le uluaʻi vaega (a) e mafai ona 4 pe -4, ma o le fua faatatau (r) e mafai ona 3 pe -3.
I'uga
O fa'asologa fa'ata'ita'i o se manatu taua fa'amatematika e masani ona fa'aaogaina i matā'upu eseese. O le malamalama i mea fa'avae ma le fa'ata'ita'iina o tomai e fo'ia ai fa'afitauli, e fa'amoemoe e mafai ona tatou sili atu ona tomai i le malamalama ma le fa'aogaina o le manatu. O lenei tusiga e aofia ai ni fa'ata'ita'iga o fa'afitauli ma talanoaga e fesoasoani ai i le au faitau e a'oa'o ma malamalama atili i fa'asologa fa'ata'ita'i. Matou te fa'amoemoe o le a aoga lenei mea!
