Gradivo o navzkrižnem množenju z uporabo komponent enotskega vektorja
Vektorski produkt lahko izračunamo neposredno, če poznamo komponente vektorjev. Postopek je enak kot za skalarni produkt . Najprej pomnožimo enotske vektorje i , j in k . Vektorski produkt med istimi enotskimi vektorji je nič.
i x i = j x j = k x k = 0
S sklicevanjem na prej izpeljano enačbo za množenje vektorjev (A x B = AB greh θ) in antikomutativna lastnost množenja vektorjev (A x B = - B x A), potem dobimo:
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = – i x k = j
Sedaj izrazimo vektorja A in B z njunima komponentama, razstavimo njun produkt in uporabimo produkt enotskih vektorjev.
A x B= (Axi + Ayj + Azkx (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
Karena i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, torej:
A x B = AxBx (0) + AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx ( -k ) + AyBz ( i ) +
A z B x ( j ) + A z B y ( -i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
Če je C = A x B , so komponente C naslednje:
Cx = A y B z – A z B y
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
