Material za množenje pik z uporabo komponent Vektor enote
Skalarni produkt lahko izračunamo neposredno, če poznamo komponente x, y in z vektorja. A dan B (znani vektor).
Za izračun skalarnega produkta na ta način najprej izračunamo skalarni produkt enotskih vektorjev, nato pa izrazimo vektor. A dan B na njegove komponente, razčlenitev njegovega množenja in uporaba množenja njegovih enotskih vektorjev.
En vektor i, j dan k pravokotni drug na drugega, kar nam olajša izračun. Z uporabo zgoraj izpeljane skalarne enačbe za množenje (AB = AB cos tit) dobimo:
jaz. jaz = j. j = k. k = (1)(1) cos 0 = 1
jaz. j = i. k. = j. k = (1)(1) cos 90o = 0
Sedaj izrazimo vektorja A in B z njunima komponentama, razstavimo njun produkt in uporabimo produkt enotskih vektorjev.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Karena i . i = j . j = k . k = 1 in i . j = i . k = j . k = 0, potem:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A . B = AxBx (1) + 0 + 0 +
0 + AyBy (1) + 0 +
0 + 0 + AzBz (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Na podlagi rezultatov tega izračuna lahko sklepamo, da je skalarni produkt ali pikni produkt dveh vektorjev vsota produktov njunih podobnih komponent.
Primer vprašanja 1:
Velik vektor A dan B sta 5 in 4, kot je prikazano na spodnji sliki. Nastali kot je 90oPreštej. skalarni produkt oba vektorja.
Razprava
Preden izračunamo skalarni produkt vektorjev A in B, moramo najprej poznati komponente drugega vektorja.
Ax = (5) cos 0o = (5) (1) = 5
Ay = (5) sin 0o = (5) (0) = 0
Az = 0
Bx = (4) cos 90o = (4) (0) = 0
By = (4) sin 90o = (4) (1) = 4
Bz = 0
vektor A ima samo vektorske komponente na osi x in vektor B ima samo vektorsko komponento na osi y. Z-komponenta je nič, ker je vektor A dan B je v ravnini xy.
Sedaj izračunamo skalarni produkt med vektorji A dan B z uporabo enačbe skalarnega produkta s komponentnimi vektorji:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B= (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B= 0 + 0 + 0
A. B= 0
Primerjajmo to s prvo metodo
AB = AB cos tit
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Rezultat je enak.
Primer vprašanja 2:
Velik vektor A dan B sta 5 oziroma 4, kot je prikazano na spodnji sliki. Izračunajte skalarni produkt oba vektorja, če je kot, ki ga tvorita, enak 30o
Razprava
Preden izračunamo skalarni produkt vektorjev A in B, moramo najprej poznati komponente drugega vektorja.
Z-komponenta je nič, ker je vektor A dan B je v ravnini xy.
Sedaj izračunamo skalarni produkt med vektorji A dan B z uporabo enačbe skalarnega produkta s komponentnimi vektorji:
Primerjajte s prvo metodo.
