Moment zotrvačnosti

1. Moment zotrvačnosti častice

Predstavte si rotujúcu časticu. Na časticu s hmotnosťou m pôsobí sila F, takže sa častica otáča okolo osi O. Častica je od osi otáčania vzdialená o r. Častica je najprv v pokoji (v = 0). Po pohybe silou F sa častice pohybujú určitou rýchlosťou, takže majú tangenciálne zrýchlenie. Vzťah medzi silou (F), hmotnosťou (m) a tangenciálnym zrýchlením častíc je vyjadrený rovnicou 3:

F = ma _tan (rovnica 3)

Častice sa otáčajú tak, že častice majú uhlové zrýchlenie. Vzťah medzi tangenciálnym zrýchlením a uhlovým zrýchlením je vyjadrený rovnicou 4:

tan = rα ₍ rovnica 4)

Dosadíme a v rovnici 3 za a v rovnici 4:

F = mrα

rF = ^mr²α

τ = (mr² ⁾ α (rovnica 5)

r F je moment sily a mr ² je moment zotrvačnosti častice. Rovnica 5 uvádza vzťah medzi momentom sily, momentom zotrvačnosti a uhlovým zrýchlením rotujúcich častíc. Rovnica 5 je rovnicou druhého Newtonovho zákona pre rotujúce častice.

Moment zotrvačnosti častice je súčin hmotnosti častice (m) a druhej mocniny vzdialenosti medzi časticami a osou rotácie (r² ⁾.

I = mr² ⁽ rovnica 6)

I = moment zotrvačnosti častice, m = hmotnosť častice, r = vzdialenosť medzi časticou a osou rotácie. Rovnica 6 sa používa na určenie momentu zotrvačnosti častice.

3.2 Príklady úloh momentu zotrvačnosti častice

Ukážka problému 1.

Častica s hmotnosťou 2 kg bola priviazaná k lanu dlhému 0.5 metra a potom sa otáčala. Aký je moment zotrvačnosti častíc pri otáčaní?

Riešenie:

Ja = Pán ²

I = (2 kg) (0.5 m) ^²

I = 0.5 kg ^m²

Ukážka problému 2.

Dve častice, každá s hmotnosťou 2 kg a 4 kg, sú spojené ľahkým drôtom s dĺžkou 2 metre. Hmotnosť drôtov zanedbajte. Určte moment zotrvačnosti oboch častíc, ak:

a) Os otáčania sa nachádza medzi dvoma časticami

Riešenie:

I = _m1r1 / ₂ + _m2r2^​_​^​

I = (2)(12) + (4)(12)

I = 2 + 4

I = 6 kg ^m²

b) Os otáčania je vo vzdialenosti 0.5 metra od častice s hmotnosťou 2 kg

I = _m1r1 / ₂ + _m2r2^​_​^​

I = (2)(0.5² ⁾ + (4)( ^1.5² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

I = 0.5 + 9

I = 9.5 kg ^m²

c) Os otáčania je vo vzdialenosti 0.5 metra od častice s hmotnosťou 4 kg

I = _m1r1 / ₂ + _m2r2^​_​^​

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

I = 4.5 + 1

I = 5.5 kg ^m²

Na základe výsledkov vyššie uvedených výpočtov je moment zotrvačnosti silne ovplyvnený umiestnením osi otáčania. Hoci tvar a veľkosť sú rovnaké, pretože umiestnenie osi otáčania je odlišné, moment zotrvačnosti je tiež odlišný.

Častice blízko osi otáčania majú menší moment zotrvačnosti, zatiaľ čo častice, ktoré sú ďaleko od osi otáčania, majú väčší moment zotrvačnosti. Ak predpokladáme, že dve častice uvedené vyššie sú tuhé objekty, potom sa každá častica nachádza blízko osi otáčania.

má menší moment zotrvačnosti ako moment zotrvačnosti častice ďalej od osi otáčania.

3.3 Moment zotrvačnosti homogénneho tuhého telesa

Tuhé telesá sa skladajú z mnohých častíc. Moment zotrvačnosti tuhého telesa je celkový počet momentov zotrvačnosti každej častice, ktorá tvorí daný objekt.

I = Σ ^mr²

I = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Na určenie momentu zotrvačnosti tuhého telesa musíme pozorovať jeho rotáciu, pretože poloha osi otáčania ovplyvňuje moment zotrvačnosti telesa. Moment zotrvačnosti (I) každej častice závisí aj od hmotnosti (m) častice a druhej mocniny vzdialenosti (r² ⁾ častice od osi otáčania. Hmotnosť všetkých častíc, ktoré tvoria teleso, je hmotnosť telesa.

Problém je v tom, že vzdialenosť každej častice od osi rotácie sa mení.

Zopakujte si pokles momentu zotrvačnosti tenkého krúžku s prstami R a hmotnosťou M vo vzorci.

Ak sa os otáčania nachádza v strede prstenca, všetky častice tenkého prstenca sú umiestnené od osi otáčania. Moment zotrvačnosti tenkého prstenca sa rovná momentu zotrvačnosti všetkých častíc:

I = Σ mr²

I = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Hmotnosť všetkých častíc = hmotnosť tenkého kruhu (M)

I = M (r1 _/ ² + r2 _/ ^{2 +} r3 _/ ² + ….. + _rn2 )

Každá častica tenkého kruhu je vzdialená od osi rotácie r, takže _r1 = r2 ₌ r3 ₌ rn = R

Rovnica momentu zotrvačnosti tenkého krúžku:

I = ^MR2

I = moment zotrvačnosti tenkého krúžku, M = hmotnosť tenkého krúžku, R = polomer tenkého krúžku.

Čo ak os otáčania nie je umiestnená v strede prstenca? Ak os otáčania nie je umiestnená v strede prstenca, vzorec pre moment zotrvačnosti tenkého prstenca nie je možné odvodiť pomocou vyššie uvedenej metódy.

pretože vzdialenosť každej častice od osi rotácie je iná. Odvodenie vzorca pre moment zotrvačnosti pre takýto problém nie je v tejto téme diskutované.

Vzorec pre moment zotrvačnosti pre niektoré pevné objekty

3.4 Príklad úlohy momentu zotrvačnosti homogénneho tuhého telesa

Ukážka úlohy 1:

Tyčový valec AB má hmotnosť 3 kg pri otočení cez B,

Moment zotrvačnosti je 27 kg m² ^. Aký je moment zotrvačnosti, ak

otočené o C?

Riešenie:

Riešenie:

Vzorec pre moment zotrvačnosti homogénnej pevnej tyče (os otáčania je v strede tyče):

I = 1/12 ^ML2

27 = (1/12) ML ²

(27)(12) = ^ML2

324 = ML ²

Vzorec pre moment zotrvačnosti homogénnej pevnej tyče (os otáčania na okraji tyče):

I = 1/3 ^ML2

I = 1/3 (324)

I = 108 kg ^m²