Moment hybnosti

Množstvo rotačného pohybu, ktoré je pri lineárnom pohybe zhodné s hmotnosťou (m), je moment zotrvačnosti (I). Množstvo rotačného pohybu, ktoré je pri lineárnom pohybe zhodné s rýchlosťou (v), je uhlová rýchlosť (ω). Rotujúci objekt má teda moment hybnosti, ktorý možno vypočítať pomocou rovnice:

L = Iω

L = moment hybnosti (kg m² ^/ s), I = moment zotrvačnosti (kg m² ⁾ , ω = uhlová rýchlosť (rad/s)

Ukážkové úlohy s momentom hybnosti

Ukážka problému 1.

Častica s hmotnosťou 0.5 gramu sa pohybuje po kružnici s konštantnou uhlovou rýchlosťou 2 rad/s. Určte moment hybnosti častice, ak polomer dráhy častice je 10 cm.

Riešenie:

Moment zotrvačnosti častice:

I = mr² ⁼ (0.5 x ^10⁻³^kg )(1 x ^10⁻¹ m) ^² = (0.5 x ^10⁻³ kg)(1 x ^10⁻² m² ) = 0.5 x ^10⁻⁶ kg ^m²

Uhlová rýchlosť častice:

ω = 2 rad/s

Moment hybnosti častice:

L = (0.5 x ^10⁻⁶ kg m² ⁾ (2 rad/s) = 1 x ^10⁻⁶ kg m² ^/ s

Zákon zachovania momentu hybnosti

Zákon zachovania momentu hybnosti hovorí, že ak je výsledný moment sily pôsobiaci na tuhé teleso pri otáčaní nulový, potom je moment hybnosti tuhého telesa pri otáčaní vždy konštantný. Zákon zachovania momentu hybnosti možno matematicky odvodiť úpravou rovnice druhého Newtonovho zákona o momente hybnosti. Tu je rovnica druhého Newtonovho zákona o momente hybnosti:

Moment hybnosti 1

Ak je výsledný moment sily nulový, potom sa vyššie uvedená rovnica zmení na:

Moment hybnosti 2

I _t = konečný moment zotrvačnosti, I _o = počiatočný moment zotrvačnosti, ω _t = konečná uhlová rýchlosť, ω _o = počiatočná uhlová rýchlosť, L _t = konečný moment hybnosti, L _o = počiatočný moment hybnosti.

Ukážkové úlohy zo zákona zachovania momentu hybnosti

Ukážka problému 1.

Homogénny pevný valcový disk sa spočiatku otáča okolo svojej osi rýchlosťou 4 rad/s. Hmotnosť a polomer disku sú 1 kg a 0.5 m. Ak je nad doskou umiestnený krúžok s hmotnosťou a polomerom 0.2 kg a polomerom 0.1 m, pričom stred krúžku je...

tesne nad stredom disku, potom sa disk a prstenec budú otáčať spolu s uhlovou rýchlosťou…..

Riešenie:

Moment zotrvačnosti plného valca: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m²) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Moment zotrvačnosti krúžku: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Počiatočný moment hybnosti (L1 ₎ = Konečný moment hybnosti ( _L2 )

I1ω1 = _I2ω2

(0.125 kg m² ⁾ (4 rad/s) = (0.125 kg m² ⁺ 0.002 kg m² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω² = _0.5 : 0.127

ω² = ₄ rad/s

Koncepčné otázky a odpovede

Čo je to moment hybnosti?
Odpoveď: Moment hybnosti je mierou otáčania objektu vzhľadom na jeho hmotnosť a tvar. Je to rotačný analóg hybnosti.
Ako sa matematicky určuje moment hybnosti?
Odpoveď: Moment hybnosti (L) je definovaný ako $L = r \times p$ , Kde $r$ je vektor polohy od osi otáčania k bodu pôsobenia a $p$ je lineárny moment hybnosti.
Je moment hybnosti skalárna alebo vektorová veličina?
Odpoveď: Moment hybnosti je vektorová veličina.
Aká je jednotka momentu hybnosti v sústave SI?
Odpoveď: Jednotkou momentu hybnosti v sústave SI je kilogram-meter štvorcový za sekundu (kg·m²/s).
Ako sa zachováva moment hybnosti?
Odpoveď: V uzavretom systéme bez vonkajších krútiacich momentov zostáva celkový moment hybnosti konštantný.
Aký je princíp zachovania momentu hybnosti?
Odpoveď: Princíp hovorí, že celkový moment hybnosti uzavretého systému zostáva konštantný, pokiaľ naň nepôsobí vonkajší krútiaci moment.
Ako súvisí rotácia krasokorčuliara s momentom hybnosti?
Odpoveď: Keď krasokorčuliar počas piruety pritiahne ruky a nohy blízko k telu, zníži sa jeho moment zotrvačnosti, čo spôsobí rýchlejšie otáčanie. To demonštruje zákon zachovania momentu hybnosti.
Aký je vzťah medzi krútiacim momentom a momentom hybnosti?
Odpoveď: Krútiaci moment ( $τ$ ) je rýchlosť zmeny momentu hybnosti. Matematicky povedané, $τ = d l/s$ .
Je možné, aby objekt mal uhlový moment bez uhlovej rýchlosti?
Odpoveď: Nie, ak má objekt moment hybnosti, má aj uhlovú rýchlosť. Veľkosť a smer momentu hybnosti závisia od momentu zotrvačnosti aj od uhlovej rýchlosti.
Ako moment zotrvačnosti ovplyvňuje moment hybnosti?
Odpoveď: Moment hybnosti (L) je súčin momentu zotrvačnosti (I) a uhlovej rýchlosti (ω). USA $L = I ω$ , zvýšenie momentu zotrvačnosti pre danú uhlovú rýchlosť zvýši moment hybnosti.
Aký je rozdiel medzi spinovým a orbitálnym momentom hybnosti v kvantovej mechanike?
Odpoveď: Spinálny moment hybnosti je vnútornou vlastnosťou častíc, podobne ako elektróny, a nevzniká z pohybu v priestore. Orbitálny moment hybnosti na druhej strane vzniká z pohybu častice okolo centrálneho bodu.
Akú úlohu hrá moment hybnosti pri formovaní planetárnych systémov?
Odpoveď: Keď sa molekulárny oblak zrúti a vytvorí hviezdy a planéty, zákon zachovania momentu hybnosti spôsobí, že sa materiál sploští do disku okolo novonarodenej hviezdy, z ktorého sa môžu formovať planéty.
Ako si gyroskop udržiava svoju orientáciu v priestore?
Odpoveď: Rotujúci gyroskop má moment hybnosti. Keď sa vonkajší krútiaci moment pokúša zmeniť jeho orientáciu, gyroskop precesuje alebo mení svoju os otáčania v smere kolmom na aplikovaný krútiaci moment v dôsledku zachovania momentu hybnosti.
Čo spôsobuje precesiu v rotujúcom káči?
Odpoveď: Precesia v rotujúcom káča je spôsobená krútiacim momentom gravitácie pôsobiacim na ťažisko káča, ktoré je posunuté od jeho bodu otáčania. Tento krútiaci moment má za následok zmenu smeru momentu hybnosti káča, čo spôsobuje jeho precesu.
Prečo sa hviezdy splošťujú na svojich póloch?
Odpoveď: Keď sa hviezdy otáčajú, pôsobí na ne odstredivá sila, ktorá tlačí hmotu smerom von. Tento efekt je silnejší na rovníku ako na póloch, čo vedie k sploštenému alebo sploštenému tvaru.
Ako súvisí moment hybnosti s druhým Keplerovým zákonom?
Odpoveď: Druhý Keplerov zákon hovorí, že úsečka spájajúca planétu a Slnko zaznamenáva rovnaké plochy počas rovnakých časových intervalov. Je to dôsledok zákonu zachovania momentu hybnosti.
Prečo mačka vždy dopadne na nohy, keď spadne?
Odpoveď: Mačky využívajú zákon zachovania momentu hybnosti. Otáčaním tela a zmenou momentov zotrvačnosti vo vzduchu sa dokážu preorientovať a pristáť na nohách bez porušenia zákonov zachovania.
Aký je vzťah medzi magnetickým momentom a momentom hybnosti v elektrónoch?
Odpoveď: Magnetický moment elektrónu vzniká z jeho spinu a orbitálneho momentu hybnosti. Magnetický moment je úmerný momentu hybnosti elektrónu.
Čo je moment hybnosti v zmysle polárnych súradníc?
Odpoveď: V polárnych súradniciach, moment hybnosti $L$ pre bodovú hmotu možno vyjadriť ako $L = m r v$ , Kde $m$ je hmotnosť, $r$ je radiálna vzdialenosť a $v$ je tangenciálna rýchlosť.
Čo sa stane s momentom hybnosti uzavretého systému, keď sa dva objekty zrazia?
Odpoveď: V uzavretom systéme, kde sa dva objekty zrazia, je celkový moment hybnosti pred zrážkou rovný celkovému momentu hybnosti po zrážke, za predpokladu, že na systém nepôsobia žiadne vonkajšie krútiace momenty.

Pozri tiež Rozptyľujúca (konkávna) šošovka

Problémy a riešenia

1. Úloha: Bod s hmotnosťou m = 2 kg sa pohybuje rýchlosťou v = 3 m/s v kružnici s polomerom r = 4 m. Vypočítajte jeho moment hybnosti okolo stredu kružnice.

Riešenie: $L = m \times r \times v$

2. Úloha: Pevná guľa s hmotnosťou 3 kg a polomerom 0.5 m sa otáča okolo svojho priemeru uhlovou rýchlosťou ω = 2 rad/s. Aký je jej moment hybnosti?

Riešenie: Pre pevnú guľu $^{platí} I = 2/5 m r²$

$L = I \times ω$

3. Úloha: Bodová hmota s hmotnosťou 3 kg sa pohybuje rýchlosťou 4 m/s po priamke. Aký je jej moment hybnosti okolo bodu vzdialeného 5 m od jej čiary pohybu?

Riešenie:

$L = m \times v \times r$

Pozri tiež Van der Waalsova rovnica štátov

4. Úloha: Kotúč s hmotnosťou 5 kg a polomerom 3 m sa otáča uhlovou rýchlosťou 2 rad/s. Vypočítajte jeho moment hybnosti.

Riešenie: Pre disk $^{platí} I = 1/2 m r²$

$L = I \times ω$

5. Úloha: Tyč s dĺžkou 4 m a hmotnosťou 2 kg sa otáča okolo jedného konca uhlovou rýchlosťou 3 rad/s. Nájdite jej moment hybnosti.

Riešenie: Pre tyč s jednou koncom $^{platí} I = 1/3 m l²$

$L = I \times ω$

6. Úloha: Aká je zmena momentu hybnosti, ak rotujúce teleso zdvojnásobí svoju uhlovú rýchlosť?

Riešenie: Vzťah medzi momentom hybnosti (L) a uhlovou rýchlosťou (ω) je $L = I \times ω$ . Ak sa ω zdvojnásobí, zdvojnásobí sa aj moment hybnosti.

7. Problém: Ak sa polomer kruhovej dráhy pohybujúcej sa častice zdvojnásobí pri zachovaní konštantnej rýchlosti, o koľko sa zmení moment hybnosti?

Riešenie: Moment hybnosti, $L = m \times r \times v$ . Ak sa r zdvojnásobí, zdvojnásobí sa aj L.

8. Úloha: Dieťa s hmotnosťou 30 kg stojí na okraji kolotoča, ktorý je v pokoji. Polomer kolotoča je 2 m. Ak sa dieťa rozbehne rýchlosťou 2 m/s vzhľadom na zem pozdĺž okraja, vypočítajte moment hybnosti dieťaťa vzhľadom na stred.

Riešenie: $L = m \times r \times v$

9. Úloha: Valec s hmotnosťou 6 kg a polomerom 2 m sa otáča okolo svojej stredovej osi uhlovou rýchlosťou 5 rad/s. Vypočítajte jeho moment hybnosti.

Riešenie: Pre valec $^{platí} I = 1/2 m r²$

$L = I \times ω$

Pozri tiež Moment sily

10. Úloha: Aký bude nový moment hybnosti telesa, ak sa jeho moment zotrvačnosti zníži na polovicu a jeho uhlová rýchlosť sa strojnásobí?

Riešenie: Ak je $L = I \times ω$ , ak sa $I$ zmenší na polovicu a $ω$ sa strojnásobí, nové $L$ bude pôvodné.

11. Úloha: Obruč s hmotnosťou 2 kg a polomerom 1 m sa otáča uhlovou rýchlosťou 4 rad/s. Vypočítajte jej moment hybnosti.

Riešenie: Pre obruč platí $I = m r^{2}$

$L = I \times ω$

12. Úloha: Ventilátor má lopatky s dĺžkou 0.5 m a celkovou hmotnosťou 1 kg. Ak sa otáča uhlovou rýchlosťou 10 rad/s, určte jeho moment hybnosti.

Riešenie: Za predpokladu, že lopatky ventilátora sú ako tyče otáčajúce sa okolo jedného konca, $I = 1/3 m l^{2}$

$L = I \times ω$

13. Úloha: Vypočítajte moment hybnosti Zeme okolo jej vlastnej osi v dôsledku jej rotácie. Dané: Hmotnosť Zeme $^{=}$ polomer $r = 6371 km$ , $ω = 7.27 \times 10⁻⁶ rad /s$ .

Riešenie: Za predpokladu $^{,}$ že Zem je pevná guľa, $I = 2/5 m r²$

$L = I \times ω$

$L \approx 7.07 \times 1 0^{33} kg.m^{2} / s$

14. Úloha: Dieťa sa pohybuje smerom do stredu rotujúcej plošiny. Zvyšuje sa moment hybnosti, znižuje sa alebo zostáva rovnaký?

Riešenie: Moment hybnosti sa zachováva. Ako sa dieťa pohybuje smerom do stredu, moment zotrvačnosti sa znižuje. Aby sa zachoval moment hybnosti, uhlová rýchlosť sa zvyšuje. Moment hybnosti teda zostáva rovnaký.

15. Úloha: Ak sa kinetická energia rotujúceho telesa zdvojnásobí, o koľko sa zmení jeho moment hybnosti?

Riešenie: Kinetická energia $K = 1/2 I ω^{2}$ a moment hybnosti $L = I ω$ . Ak sa kinetická energia zdvojnásobí a $I$ zostane konštantný, $ω^{2}$ sa zdvojnásobí. To znamená, že $ω$ sa zvýši faktorom √ $2$ $Preto sa aj L$ zvýši faktorom √ $2$ .

16. Úloha: Koleso bicykla s polomerom 0.3 m má ráfik s hmotnosťou 1.5 kg. Ak sa otáča uhlovou rýchlosťou 5 rad/s, vypočítajte jeho moment hybnosti.

Riešenie: Za predpokladu, že okraj je obruč, $I = m r^{2}$

$L = I \times ω$

$L = 1.5 \times 0 , 3^{2} \times 5 = 6.75 kg.m^{2} / s$

17. Úloha: Korčuliarka pri točení ťahá ruky dovnútra. Čo sa stane s jej momentom hybnosti?

Riešenie: Moment hybnosti korčuliara sa zachováva. Pritiahnutím rúk k sebe znižuje moment zotrvačnosti, a tým sa otáča rýchlejšie (zvýšená uhlová rýchlosť), aby sa zachoval moment hybnosti.

18. Úloha: Zotrvačník má moment zotrvačnosti 0.2 $^{a}$ otáča sa uhlovou rýchlosťou 10 rad/s. Nájdite jeho moment hybnosti $.$

Riešenie:

$L = I \times ω$

$L = 0.2 \times 10 = 2 kg.m²^{/} s $

19. Úloha: Na systém pôsobí nulový externý krútiaci moment. Čo môžete povedať o jeho momente hybnosti?

Riešenie: Ak je čistý vonkajší krútiaci moment nulový, potom podľa zákonu zachovania momentu hybnosti zostáva celkový moment hybnosti systému konštantný.

20. Úloha: Bod s hmotnosťou m = 5 kg sa pohybuje rýchlosťou v = 3 m/s kolmo na priamku spájajúcu ho s bodom P. Ak je vzdialenosť od bodu P 4 m, vypočítajte jeho moment hybnosti okolo bodu P.

Riešenie:

$L = m \times r \times v$

$L = 5 \times 4 \times 3 = 60 kg.m^{2} / s$