තීරු දෛශික සහ පේළි දෛශික සාකච්ඡා කරන ප්‍රශ්න සඳහා උදාහරණ
ගණිතයේ, විශේෂයෙන් රේඛීය වීජ ගණිතයේ, දෛශික යනු භෞතික විද්‍යා ආකෘති නිර්මාණයේ සිට ගණනය කිරීම දක්වා විවිධ යෙදුම්වල නිතර භාවිතා වන මූලික සංකල්පයකි. තීරු දෛශික සහ පේළි දෛශික යනු දෛශික නිරූපණයේ ආකාර දෙකකි, ඒ සෑම එකක්ම තමන්ගේම ලක්ෂණ සහ භාවිතයන් ඇත. තීරු දෛශික සහ පේළි දෛශික සම්බන්ධ උදාහරණ ගැටළු සහ ඒවායේ විසඳුම් මෙම ලිපියෙන් සාකච්ඡා කෙරේ.
තීරු දෛශිකය සහ පේළි දෛශිකය අර්ථ දැක්වීම
උදාහරණ ප්‍රශ්න සහ ඒවායේ සාකච්ඡාවට පිවිසීමට පෙර, තීරු දෛශික සහ පේළි දෛශිකවල මූලික අර්ථ දැක්වීම් පළමුව සමාලෝචනය කරමු.
– තීරු දෛශික යනු තීරුවක, එනම් එක් සිරස් මානයක සකසා ඇති දෛශික වේ. උදාහරණය:
\[
\mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \
3 \
2
\අවසානය{pmatrix}
\]
– පේළි දෛශික යනු පේළි ලෙස, එනම් එක් තිරස් මානයකින් සකසා ඇති දෛශික වේ. උදාහරණය:
\[
\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \end{pmatrix}
\]
උදාහරණය 1: තීරු දෛශික එකතු කිරීම
ප්‍රශ්නය:
පහත දැක්වෙන තීරු දෛශික දෙක දී ඇති විට:
\[
\mathbf{u} = \ආරම්භය{pmatrix}
1 \
2 \
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \
1 \
0
\අවසානය{pmatrix}
\]
තීරු දෛශික දෙකේ එකතුව ගණනය කරන්න.
විසඳුමක්:
තීරු දෛශික දෙකක් එකතු කිරීම සිදු කරනු ලබන්නේ ඒවායේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය එකතු කිරීමෙනි.
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
1 \
2 \
3
\අවසානය{pmatrix} + \ආරම්භය{pmatrix}
4 \
1 \
0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 + 4 \\
2 + 1 \\
3 + 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \
3 \
3
\අවසානය{pmatrix}
\]
ඉතින්, \(\mathbf{u}\) සහ \(\mathbf{v}\) හි එකතුව \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) වේ.
උදාහරණ ප්‍රශ්නය 2: පේළි දෛශික එකතු කිරීම
ප්‍රශ්නය:
පහත පේළි දෛශික දෙක ලබා දී ඇත:
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}
\]
පේළි දෛශික දෙකේ එකතුව ගණනය කරන්න.
විසඳුමක්:
පේළි දෛශික දෙකක් එකතු කිරීම සිදු කරනු ලබන්නේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය එකතු කිරීමෙනි.
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 & 4 + 3 & 6 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}
\]
ඉතින්, \(\mathbf{a}\) සහ \(\mathbf{b}\) හි එකතුව \(\begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}\) වේ.
උදාහරණය 3: තීරු දෛශික මගින් පරිමාණ ගුණ කිරීම
ප්‍රශ්නය:
තීරු දෛශිකයක් \(\mathbf{c}\) සහ අදිශයක් \(k\) ලබා දී ඇත:
\[
\mathbf{c} = \begin{pmatrix}
-3 \ \ \ \ \ \ \ \
4 \
5
\end{pmatrix}, \quad k = 2
\]
අදිශ ගුණනයේ ප්‍රතිඵලය ගණනය කරන්න.
විසඳුමක්:
තීරු දෛශිකයකින් අදිශ ගුණ කිරීම සිදු කරනු ලබන්නේ දෛශිකයේ සෑම මූලද්‍රව්‍යයක්ම අදිශයකින් ගුණ කිරීමෙනි.
\[
k\mathbf{c} = 2 \begin{pmatrix}
-3 \ \ \ \ \ \ \ \
4 \
5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \ වරක් -3 \
2 වතාවක් 4
2 \ වරක් 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-6 \ \ \ \ \ \ \ \
8 \
10
\අවසානය{pmatrix}
\]
ඉතින්, ස්කේලර් \(2\) තීරු දෛශිකයෙන් \(\mathbf{c}\) ගුණ කිරීමේ ප්‍රතිඵලය \(\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\) වේ.
උදාහරණ ප්‍රශ්නය 4: පේළි දෛශික මගින් පරිමාණ ගුණ කිරීම
ප්‍රශ්නය:
පේළි දෛශිකයක් \(\mathbf{d}\) සහ අදිශයක් \(m\) ලබා දී ඇත:
\[
\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad m = -3
\]
අදිශ ගුණනයේ ප්‍රතිඵලය ගණනය කරන්න.
විසඳුමක්:
පේළි දෛශිකයකින් අදිශ ගුණ කිරීම සිදු කරනු ලබන්නේ දෛශිකයේ සෑම මූලද්‍රව්‍යයක්ම අදිශයකින් ගුණ කිරීමෙනි.
\[
m\mathbf{d} = -3 \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \times 7 & -3 \times -2 & -3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}
\]
ඉතින්, අදිශ \(-3\) පේළි දෛශිකයෙන් \(\mathbf{d}\) ගුණ කිරීමේ ප්‍රතිඵලය \(\begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}\) වේ.
උදාහරණය 5: න්‍යාසය \(1 \times 3\) \(3 \times 1\) මගින් ගුණ කිරීම (තීරු දෛශිකය අනුව පේළි දෛශිකය)
ප්‍රශ්නය:
පේළි දෛශිකයක් \(\mathbf{e}\) සහ තීරු දෛශිකයක් \(\mathbf{f}\):
\[
\mathbf{e} = \begin{pmatrix} 2 & -1 සහ 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f} = \begin{pmatrix}
5 \
3 \
-2
\අවසානය{pmatrix}
\]
දෛශික දෙකෙහි ගුණිතය ගණනය කරන්න.
විසඳුමක්:
න්‍යාස ගුණ කිරීම සිදු කිරීම සඳහා, පේළි දෛශිකය \(\mathbf{e}\) \(1 \times 3\) න්‍යාසයක් ලෙස සලකනු ලබන අතර, තීරු දෛශිකය \(\mathbf{f}\) \(3 \times 1\) න්‍යාසයක් ලෙස සලකනු ලැබේ. මෙම ගුණ කිරීමේ ප්‍රතිඵලය අදිශයක් වන අතර, එනම් අනුරූප මූලද්‍රව්‍යවල ගුණිතවල එකතුවයි:
\[
\mathbf{e} \mathbf{f} = \begin{pmatrix} 2 & -1 සහ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5 \
3 \
-2
\end{pmatrix} = (2 \times 5) + (-1 \times 3) + (4 \times -2) = 10 – 3 – 8 = -1
\]
ඉතින්, පේළි දෛශිකය \(\mathbf{e}\) තීරු දෛශිකයෙන් \(\mathbf{f}\) ගුණ කිරීමේ ප්‍රතිඵලය \(-1\) වේ.
උදාහරණය 6: න්‍යාසය \(3 \times 1\) \(1 \times 3\) මගින් ගුණ කිරීම (තීරු දෛශිකය පේළි දෛශිකය මගින්)
ප්‍රශ්නය:
තීරු දෛශිකයක් \(\mathbf{g}\) සහ පේළි දෛශිකයක් \(\mathbf{h}\) දී ඇති විට:
\[
\mathbf{g} = \begin{pmatrix}
1 \
2 \
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{h} = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}
\]
දෛශික දෙකෙහි ගුණිතය ගණනය කරන්න.
විසඳුමක්:
තීරු දෛශිකයක් පේළි දෛශිකයකින් න්‍යාස ගුණ කිරීමෙන් (\(3 \times 1\)) න්‍යාසයක් (\(1 \times 3\)) ගුණ කළ විට \(3 \times 3\) න්‍යාසයක් ලැබේ. සෑම නව මූලද්‍රව්‍යයක්ම එහි අනුරූප මූලද්‍රව්‍යවල ගුණිතය වේ:
\[
\mathbf{g} \mathbf{h} = \begin{pmatrix}
1 \
2 \
3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \times 4 & 1 \times 5 & 1 \times 6 \\
2 \times 4 & 2 \times 5 & 2 \times 6 \\
3 \times 4 & 3 \times 5 & 3 \times 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 සහ 5 සහ 6 \\
8 සහ 10 සහ 12 \\
12 සහ 15 සහ 18
\අවසානය{pmatrix}
\]
ඉතින්, තීරු දෛශිකය \(\mathbf{g}\) පේළි දෛශිකයෙන් \(\mathbf{h}\) ගුණ කිරීමේ ප්‍රතිඵලය වන්නේ න්‍යාසයයි:
\[
\ආරම්භ කරන්න{pmatrix}
4 සහ 5 සහ 6 \\
8 සහ 10 සහ 12 \\
12 සහ 15 සහ 18
\අවසානය{pmatrix}
\]
නිගමනය
මෙම ලිපිය පුරාම, තීරු සහ පේළි දෛශික සම්බන්ධ උදාහරණ කිහිපයක් අපි දැක ඇත්තෙමු. තීරු සහ පේළි දෛශික දෙකම එකතු කිරීම ඒවායේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය එකතු කිරීමෙන් සාක්ෂාත් කරගනු ලැබේ. දෛශිකයක් මඟින් අදිශ ගුණ කිරීම දෛශිකයේ සෑම මූලද්‍රව්‍යයක්ම අදිශයෙන් ගුණ කිරීමෙන් ද සාක්ෂාත් කරගනු ලැබේ. අවසාන වශයෙන්, පේළි සහ තීරු දෛශික ගුණ කරන ආකාරය අපි ඉගෙන ගෙන ඇති අතර, ඒවායේ අනුපිළිවෙල අනුව අදිශයක් හෝ අනුකෘතියක් ලබා දේ. රේඛීය වීජ ගණිතයේ සහ දත්ත විශ්ලේෂණයේ වඩාත් සංකීර්ණ යෙදුම් සඳහා මෙම මූලික මෙහෙයුම් ප්‍රගුණ කිරීම ඉතා වැදගත් වේ.
