ද්විපද ව්යාප්තියේ අපේක්ෂිත අගය සාකච්ඡා කරන ප්රශ්න සඳහා උදාහරණ
ද්විපද ව්යාප්තිය යනු ස්වාධීනව පවත්වන ලද අත්හදා බැලීම් ගණනාවක දී ඇති සාර්ථකත්වයන් ගණනක සම්භාවිතාව විස්තර කිරීමට සංඛ්යාලේඛනවල නිතර භාවිතා වන විවික්ත ව්යාප්තියකි. මෙම ව්යාප්තිය ආර්ථික විද්යාව, ජීව විද්යාව සහ සමාජ විද්යාව වැනි විවිධ ක්ෂේත්රවල ඉතා ප්රයෝජනවත් වේ. ද්විපද ව්යාප්තියේදී තේරුම් ගත යුතු එක් වැදගත් සංකල්පයක් වන්නේ අපේක්ෂිත අගයයි. මෙම ලිපියෙන් උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් සහ ඒවායේ සාකච්ඡාව හරහා ද්විපද ව්යාප්තියේ අපේක්ෂිත අගය පිළිබඳ සංකල්පය සාකච්ඡා කරනු ඇත.
ද්විපද ව්යාප්තියේ අර්ථ දැක්වීම
ද්විපද ව්යාප්තිය මඟින් \( n \) අත්හදා බැලීම්වල සාර්ථකත්ව ගණන විස්තර කරන අතර ඒවාට ප්රතිඵල දෙකක් ඇත: සාර්ථකත්වය හෝ අසාර්ථකත්වය. මෙම ව්යාප්තිය ප්රධාන පරාමිතීන් දෙකකින් සංලක්ෂිත වේ:
– \( n \): අත්හදා බැලීම් ගණන
– \( p \): තනි අත්හදා බැලීමක සාර්ථකත්වයේ සම්භාවිතාව
මෙම ව්යාප්තිය බොහෝ විට B(n, p) ලෙස දැක්වේ. ද්විපද ව්යාප්තියේ සම්භාවිතා ස්කන්ධ ශ්රිතය (PMF) වන්නේ:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
මෙහි \( \binom{n}{k} \) යනු ද්විපද සංගුණකය වන අතර එය ගණනය කරනු ලබන්නේ:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
ද්විපද ව්යාප්තියේ අපේක්ෂිත අගය
ද්විපද ව්යාප්තියක අපේක්ෂිත අගය \( n \) අත්හදා බැලීම්වල සාමාන්ය සාර්ථකත්ව සංඛ්යාව වන අතර එය පහත පරිදි සූත්රගත කර ඇත:
\[ E(X) = n \වර p \]
නියැදි ප්රශ්න සහ සාකච්ඡා
උදාහරණ ප්රශ්නය 1
ප්රශ්නය:
පර්යේෂකයෙකු බීජ පැල 10 ක් සිටුවන අත්හදා බැලීමක් සිදු කරන අතර, ඒ සෑම එකක්ම 0.7 ක වර්ධන සම්භාවිතාවක් සහිතව වගා කරන්නේ නම්, අපේක්ෂිත බීජ පැල සංඛ්යාව කොපමණද?
සාකච්ඡාව:
එය දන්නවා:
– \( එන් = 10 \)
– \( පි = 0.7 \)
අපේක්ෂිත අගය, \( E(X) \), ගණනය කරනු ලබන්නේ:
\[ E(X) = n \වර p \]
\[ E(X) = 10 \ගුණයක් 0.7 \]
\[ ඊ(එක්ස්) = 7 \]
ඉතින්, වැඩෙන බීජ සංඛ්යාවේ අපේක්ෂිත අගය බීජ 7 කි.
උදාහරණ ප්රශ්නය 2
ප්රශ්නය:
විභාගයකදී, ශිෂ්යයෙකු සෑම ප්රශ්නයකටම නිවැරදිව පිළිතුරු දීමේ සම්භාවිතාව 0.8 කි. විභාගයේ ප්රශ්න 15 ක් තිබේ නම්, අපේක්ෂිත නිවැරදි පිළිතුරු ගණන කොපමණද?
සාකච්ඡාව:
එය දන්නවා:
– \( එන් = 15 \)
– \( පි = 0.8 \)
අපේක්ෂිත අගය, \( E(X) \), ගණනය කරනු ලබන්නේ:
\[ E(X) = n \වර p \]
\[ E(X) = 15 \ගුණයක් 0.8 \]
\[ ඊ(එක්ස්) = 12 \]
ඉතින්, නිවැරදි පිළිතුරු ගණනෙහි අපේක්ෂිත අගය ප්රශ්න 12 කි.
උදාහරණ ප්රශ්නය 3
ප්රශ්නය:
මුද්රණ සමාගමක් 0.02 ක දෝෂ සහිත කඩදාසි පත්ර නිෂ්පාදනය කරයි. එක් වැඩ කරන දිනයක් තුළ කර්මාන්ත ශාලාව කඩදාසි පත්ර 500 ක් නිෂ්පාදනය කරයි. එක් දිනක් තුළ අපේක්ෂිත දෝෂ සහිත කඩදාසි පත්ර සංඛ්යාව කොපමණද?
සාකච්ඡාව:
එය දන්නවා:
– \( එන් = 500 \)
– \( පි = 0.02 \)
අපේක්ෂිත අගය, \( E(X) \), ගණනය කරනු ලබන්නේ:
\[ E(X) = n \වර p \]
\[ E(X) = 500 \ගුණයක් 0.02 \]
\[ ඊ(එක්ස්) = 10 \]
ඉතින්, එක් දිනක් තුළ දෝෂ සහිත කඩදාසි පත්ර සංඛ්යාවේ අපේක්ෂිත අගය පත්ර 10 කි.
අවබෝධයේ සංකල්ප පුළුල් කිරීම
1. විචලනය සහ සම්මත අපගමනය:
අපේක්ෂිත අගයට අමතරව, ද්විපද ව්යාප්තියේ විචලනය සහ සම්මත අපගමනය තේරුම් ගැනීම ද වැදගත් වේ. ද්විපද ව්යාප්තියේ විචලනය පහත පරිදි සකස් කර ඇත:
\[ \පෙළ{var}(X) = n \වර p \වර (1 – p) \]
සම්මත අපගමනය යනු විචලනයේ වර්ගමූලයයි:
\[ \text{SD}(X) = \sqrt{n \times p \times (1 – p)} \]
2. සංඛ්යාලේඛන විභාග සඳහා අයදුම්පත්:
අධ්යයන විභාග හෝ පරීක්ෂණ වලදී, අධ්යාපන විෂයමාලා විශ්ලේෂණයට සහ ඉගැන්වීමේ කාර්යක්ෂමතාව තක්සේරු කිරීමට සහාය වෙමින්, ශිෂ්යයෙකුගේ හෝ ශිෂ්ය කණ්ඩායමක අපේක්ෂිත සාමාන්ය ලකුණු මැනීමට අපේක්ෂිත ලකුණු භාවිතා කළ හැකිය.
3. වසංගත රෝග විද්යාව පිළිබඳ සිද්ධි අධ්යයන:
උදාහරණයක් ලෙස, රෝග සම්ප්රේෂණය පිළිබඳ අධ්යයනයක දී, ද්විපද ව්යාප්තියක් භාවිතයෙන් රෝගියෙකු සුවය ලැබීමේ සම්භාවිතාව ආදර්ශනය කළ හැකිය. අපේක්ෂිත අගය දැන ගැනීමෙන් සෞඛ්ය සේවා වෘත්තිකයන්ට පුරෝකථනය කරන ලද සුවය ලැබූ රෝගීන් සංඛ්යාව මත පදනම්ව අවශ්ය වෛද්ය සම්පත් සැලසුම් කිරීමට ඉඩ සලසයි.
නිගමනය
ද්විපද ව්යාප්තිය යනු සංඛ්යාලේඛනවල වැදගත් මෙවලමක් වන අතර එය අත්හදා බැලීම් මාලාවක සාර්ථකත්වයේ සම්භාවිතාව විස්තර කිරීමට උපකාරී වේ. ද්විපද ව්යාප්තියේ අපේක්ෂිත අගය යනු අපේක්ෂිත සාමාන්ය සාර්ථකත්වයන් ගණන විස්තර කරන ප්රධාන සංකල්පයකි. සාකච්ඡා කරන ලද උදාහරණ හරහා, අපේක්ෂිත අගය විවිධ සන්දර්භයන් තුළ ගණනය කර යොදන ආකාරය අපට දැකගත හැකිය. මෙම සංකල්පය පිළිබඳ ස්ථිර අවබෝධයක් පර්යේෂකයන්ට සහ වෘත්තිකයන්ට වඩා හොඳ සැලසුම් කිරීමට සහ සම්භාවිතා දත්ත මත පදනම්ව වඩාත් දැනුවත් තීරණ ගැනීමට හැකියාව ලබා දෙයි.
ද්විපද ව්යාප්තිය සම්භාවිතා න්යාය සහ සංඛ්යාලේඛනවල පමණක් නොව විවිධ ප්රායෝගික යෙදීම් වලදී ද ඉතා අදාළ වේ. එබැවින්, මෙම ව්යාප්තිය සහ අපේක්ෂිත අගය පිළිබඳ සංකල්පය අධ්යයනය කිරීම දත්ත විශ්ලේෂණය සහ තීරණ ගැනීමේදී ශක්තිමත් පදනමක් සපයයි.
