උදාහරණ ප්රශ්න සාකච්ඡා චතුර්ථ ශ්රිත සමඟ ගැටළු විසඳීම
මෙම ලිපියෙන්, උදාහරණ සහ සවිස්තරාත්මක සාකච්ඡා පියවර ලබා දීමෙන්, චතුරස්ර ශ්රිත භාවිතයෙන් ගැටළු විසඳන්නේ කෙසේදැයි අපි ඉගෙන ගනිමු. චතුරස්ර ශ්රිතයක් යනු \( ax^2 + bx + c \) යන සාමාන්ය ස්වරූපය ඇති දෙවන උපාධි බහුපද ශ්රිතයකි, එහිදී \( a \), \( b \), සහ \( c \) නියතයන් වන අතර \( a \neq 0 \) වේ. විවිධ සන්දර්භයන්හි චතුරස්ර ශ්රිත බොහෝ විට භෞතික විද්යාව, ආර්ථික විද්යාව සහ ඉංජිනේරු විද්යාව තුළ දක්නට ලැබෙන අතර, එය ප්රගුණ කිරීමට ඉතා වැදගත් මාතෘකාවක් බවට පත් කරයි.
මූලික සංකල්ප කිහිපයක් සාකච්ඡා කිරීමෙන් පටන් ගනිමු, පසුව අපි නියැදි ගැටළු කිහිපයකට පිවිසෙමු.
චතුර්ථ ශ්රිත පිළිබඳ මූලික සංකල්ප
1. සාමාන්ය ආකාරය: චතුර්ථ ශ්රිතය \( f(x) = ax^2 + bx + c \) ලෙස ප්රකාශ වේ.
2. වර්ග මූලයන්: චතුරස්ර සමීකරණයේ මූලයන් \( ax^2 + bx + c = 0 \) චතුරස්ර සූත්රය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය, එනම්:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
3. වෙනස්කම් කරන්නා: චතුරස්ර සමීකරණයක වෙනස්කම් කරන්නා \( D = b^2 – 4ac \) වේ. වෙනස්කම් කරන්නාගේ අගය චතුරස්ර සමීකරණයේ මූලයන්ගේ ස්වභාවය දක්වයි:
– \( D > 0 \) නම්, එයට වෙනස් සැබෑ මූල දෙකක් ඇත.
– \( D = 0 \) නම්, එයට එක් සැබෑ මූලයක් (නිවුන් මූල) ඇත.
– Jika \( D < 0 \), memiliki dua akar kompleks konjugat.
4. Puncak Parabola: Koordinat puncak dari parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat dapat ditemukan dengan rumus:
\[
x = -\frac{b}{2a}
\]
Untuk nilai \( y \) pada puncak, dapat dihitung dengan mensubstitusi \( x \) ke fungsi kuadrat.
5. Sumbu Simetri: Garis vertikal yang membagi parabola secara simetris mempunyai persamaan \( x = -\frac{b}{2a} \).
6. Pembukaan Parabola: Arah pembukaan parabola bergantung pada tanda koefisien \( a \):
- Jika \( a > 0 \), parabola terbuka ke atas.
– \( a < 0 \) නම්, පරාවලය පහළට විවෘත වේ. මෙම සියලු මූලික සංකල්ප මනසේ තබාගෙන, ගැටළු විසඳීම සඳහා අපට ඒවා යෙදිය හැකි ආකාරය බලමු. උදාහරණ ගැටලුව 1: චතුරස්ර ශ්රිත ගැටලුවක මූලයන් සොයා ගැනීම: චතුරස්ර සමීකරණයේ මූලයන් සොයා ගන්න \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \). විසඳුම: චතුරස්ර සමීකරණයක මූලයන් සොයා ගැනීමට, අපට චතුරස්ර සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය. පියවර පහත පරිදි වේ: 1. සංගුණක \( a \), \( b \), සහ \( c \) හඳුනා ගන්න: \[ a = 2, \quad b = -3, \quad c = -2 \] 2. වෙනස්කම් කරන්නා ගණනය කරන්න: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] 3. \( D > 0 \) බැවින්, අපට වෙනස් සැබෑ මූලයන් දෙකක් ලැබෙනු ඇත. මෙම මූලයන් ගණනය කිරීමෙන් ඉදිරියට යන්න:
\[
x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}
\]
4. \( x \) හි අගයන් දෙකක් ගණනය කරන්න:
\[
x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2 \quad \පෙළ{සහ} \quad x_2 = \frac{3 – 5}{4} = -\frac{1}{2}
\]
ඉතින්, \( 2x^2 – 3x – 2 = 0 \) සමීකරණයේ මූලයන් \( x = 2 \) සහ \( x = -\frac{1}{2} \) වේ.
උදාහරණ ප්රශ්නය 2: පැරබෝලාවක ශීර්ෂයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම
ප්රශ්නය:
චතුරස්ර ශ්රිතයේ ශීර්ෂයේ ඛණ්ඩාංක සොයන්න \( f(x) = 3x^2 – 6x + 2 \).
සාකච්ඡාව:
උච්චයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට, උච්ච ඛණ්ඩාංක සූත්රය භාවිතා කරන්න:
1. සංගුණක හඳුනා ගන්න \( a \) සහ \( b \):
\[
a = 3, \quad b = -6
\]
2. ඉහළින් \( x \) ගණනය කරන්න:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1
\]
3. \( x = 1 \) ශ්රිතයට \( f(x) \) ආදේශ කිරීමෙන් \( y \) ගණනය කරන්න:
\[
f(1) = 3(1)^2 – 6(1) + 2 = 3 – 6 + 2 = -1
\]
ඉතින්, ශ්රිතයේ ශීර්ෂ ඛණ්ඩාංක \( f(x) = 3x^2 – 6x + 2 \) \( (1, -1) \) වේ.
උදාහරණ ප්රශ්නය 3: පැරබෝලාවක විවෘත කිරීමේ දිශාව තීරණය කිරීම
ප්රශ්නය:
චතුරස්ර ශ්රිතයේ පැරබෝලා විවරයේ දිශාව තීරණය කරන්න \( f(x) = -x^2 + 4x – 7 \).
සාකච්ඡාව:
පැරබෝලා විවරයේ දිශාව තීරණය කිරීම සඳහා, අපි \( a \) සංගුණකයේ ලකුණ දෙස බලමු:
1. සංගුණකය හඳුනා ගන්න \( a \):
\[
a = -1
\]
2. Karena \( a < 0 \), parabola terbuka ke bawah. Jadi, arah pembukaan parabola dari fungsi \( f(x) = -x^2 + 4x - 7 \) adalah ke bawah. Contoh Soal 4: Mengaplikasikan Fungsi Kuadrat dalam Konteks Nyata Soal: Sebuah bola dilempar dari tanah dengan persamaan kuadrat \( h(t) = -5t^2 + 20t \), di mana \( h \) adalah tinggi bola dalam meter dan \( t \) adalah waktu dalam detik. Berapa waktu yang dibutuhkan bola mencapai tinggi maksimum, dan berapa tinggi maksimumnya? Pembahasan: 1. Temukan waktu di mana tinggi maksimumnya dicapai (koordinat puncak): \[ a = -5, \quad b = 20 \] \[ t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-5)} = \frac{20}{10} = 2 \quad \text{detik} \] 2. Hitung tinggi maksimum dengan mensubstitusi \( t \) ke persamaan \( h(t) \): \[ h(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -5(4) + 40 = -20 + 40 = 20 \quad \text{meter} \] Jadi, waktu yang dibutuhkan bola untuk mencapai tinggi maksimum adalah 2 detik, dan tinggi maksimumnya adalah 20 meter. Kesimpulan Dalam artikel ini, kita telah membahas berbagai aspek penting dari fungsi kuadrat serta cara menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi kuadrat melalui beberapa contoh soal. Membahas akar-akar persamaan kuadrat, menemukan koordinat puncak, menentukan arah pembukaan parabola, hingga menerapkan fungsi kuadrat dalam konteks nyata seperti menggambarkan gerak benda. Dengan pemahaman yang kuat tentang konsep-konsep dasar ini, Anda akan dapat menghadapi berbagai masalah matematika dan ilmu pengetahuan yang melibatkan fungsi kuadrat dengan lebih percaya diri. Fungsi kuadrat tidak hanya penting dalam teori tetapi juga sangat berguna dalam aplikasi dan pemecahan masalah nyata di berbagai bidang.
