කව සහ ස්වර පිළිබඳ උදාහරණ ප්රශ්න සහ සාකච්ඡාව
ගණිතයේ බොහෝ විට අධ්යයනය කරනු ලබන මූලික ජ්යාමිතික හැඩතලවලින් එකක් වන්නේ වෘත්තයයි. වෘත්තවලට අදාළ එක් වැදගත් සංකල්පයක් වන්නේ ස්වරයයි, එය කේන්ද්රය හරහා නොගොස් වෘත්තයක ලක්ෂ්ය දෙකක් සම්බන්ධ කරන රේඛාවකි. ජ්යාමිතිය හැදෑරීම සඳහා වෘත්ත සහ ස්වර තේරුම් ගැනීම අත්යවශ්ය වේ. මෙම සංකල්ප පිළිබඳ අපගේ අවබෝධය ගැඹුරු කිරීම සඳහා වෘත්ත සහ ස්වර ආශ්රිත උදාහරණ ගැටළු සහ සාකච්ඡා කිහිපයක් මෙම ලිපියෙන් සාකච්ඡා කෙරේ.
මූලික අවබෝධය
කවය
වෘත්තයක් යනු කේන්ද්රය ලෙස හඳුන්වන දී ඇති ලක්ෂ්යයකින් සමාන දුරින් පිහිටි තලයක ඇති සියලුම ලක්ෂ්යයන්ගේ එකතුවකි. වෘත්තයේ කේන්ද්රය O ලක්ෂ්යය වන අතර වෘත්තයේ අරය r නම්, එම වෘත්තය කාටිසියානු ආකාරයෙන් (x – O_x)² + (y – O_y)² = r² සමීකරණයෙන් ප්රකාශ කළ හැක.
දුනු නූල
වෘත්තයක ස්වරයක් යනු වෘත්තයේ ලක්ෂ්ය දෙකක් සම්බන්ධ කරන රේඛාවකි. ස්වරයක දිග රවුමේ අරය මත පමණක් නොව එයට මුහුණලා ඇති මධ්ය කෝණයේ ප්රමාණය මත ද රඳා පවතී.
නියැදි ප්රශ්න සහ සාකච්ඡා
ප්රශ්නය 1:
ප්රශ්නය: සෙන්ටිමීටර 10 ක අරයක් සහිත කවයක් සහ සෙන්ටිමීටර 16 ක දිගකින් යුත් AB ස්වරයක් ලබා දී ඇති විට, රවුමේ මැද සිට ස්වරය දක්වා ඇති කෙටිම දුර තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
රවුමේ මැද සිට ස්වරය දක්වා ඇති දුර සොයා ගැනීමට, අපට අරය, මධ්යයේ සිට ස්වරය දක්වා ඇති දුර සහ ස්වරයේ දිගින් අඩක් අතර සාදන ලද සෘජුකෝණාස්ර ත්රිකෝණ සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය.
O ලක්ෂ්යය වෘත්තයේ කේන්ද්රය බවත් P ලක්ෂ්යය AB ට ලම්බකව ඇති AB ස්වරයේ මැද ලක්ෂ්යය බවත් උපකල්පනය කරමු. මේ අනුව, OP යනු O වෘත්තයේ කේන්ද්රයේ සිට AB ස්වරය දක්වා ඇති දුරයි.
OAP ත්රිකෝණයේදී (P හි දකුණු ත්රිකෝණය), අපට පයිතගරස් ප්රමේයය යෙදිය හැකිය:
ඕපී² + ඒපී² = ඕඒ²
අපි දන්නවා:
– OA (රවුමේ අරය) = 10 සෙ.මී.
– AB (දුනු නූලෙහි දිග) = 16 සෙ.මී., එබැවින් AP = 16/2 = 8 සෙ.මී.
දන්නා අගයන් සමීකරණයට ආදේශ කරන්න:
ඕපී² + 8² = 10²
ඕපී² + 64 = 100
OP² = 100 – 64
OP² = 36
ඕපී = √36
ඕපී = 6
ඉතින්, රවුමේ මැද සිට ස්වරය දක්වා ඇති කෙටිම දුර සෙන්ටිමීටර 6 කි.
ප්රශ්නය 2:
ප්රශ්නය: O කේන්ද්රය සහිත වෘත්තයක අරය සෙන්ටිමීටර 8 කි. AB ස්වරය 120° ක මධ්ය කෝණයක් ∠AOB සාදයි. AB ස්වරයේ දිග තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
මධ්ය කෝණය (θ) සාදන ස්වරයේ දිග ගණනය කිරීම සඳහා, අපට සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
මා:
– r යනු රවුමේ අරය වේ (මෙම ප්රශ්නයේ 8 සෙ.මී.)
– θ යනු වෘත්තයේ කේන්ද්රයේ ස්වරය මගින් සාදන ලද කෝණයයි (මෙම ගැටලුවේ 120°)
දන්නා අගයන් ආදේශ කරන්න:
AB = 2 × 8 cm × sin(120°/2)
AB = 16 සෙ.මී. × පාපය(60°)
AB = 16 සෙ.මී. × (√3 / 2)
AB = 8√3 සෙ.මී.
ඉතින්, AB ස්වරයේ දිග 8√3 සෙ.මී. වේ.
ප්රශ්නය 3:
ප්රශ්නය: අරය 13 cm සහ AB ස්වරය සහිත වෘත්තයක්, රවුමේ කේන්ද්රයේ සිට 5 cm දුරින් පිහිටා ඇත. AB ස්වරයේ දිග තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
මෙම අවස්ථාවේදී, අපට ස්වරයේ දිග සොයා ගැනීමට සාදන ලද සෘජුකෝණාස්ර ත්රිකෝණය භාවිතා කළ හැකිය. O ලක්ෂ්යය වෘත්තයේ කේන්ද්රය බවත්, P ලක්ෂ්යය කේන්ද්රයට ආසන්නතම ස්වරයේ ලක්ෂ්යය බවත්, AB ස්වරය බවත් කියමු.
අපි දන්නවා:
– OA (රවුමේ අරය) = 13 සෙ.මී.
– OP (දුනු නූලට මැද දුර) = 5 සෙ.මී.
OAP ත්රිකෝණය තුළ:
ඕපී² + ඒපී² = ඕඒ²
අපට AP (ස්වරයේ දිගෙන් අඩක්) හමු වේ:
5² + AP² = 13²
25 + අප්රේල්² = 169
අප්රේල් = 169 – 25
අප්රේල් = 144
ඒපී = √144
ඒපී = 12
ඉතින්, AB ස්වරයේ දිග = 2 × AP = 2 × 12 = 24 සෙ.මී.
ප්රශ්නය 4:
ප්රශ්නය: සෙන්ටිමීටර 10 ක අරයක් සහිත කවයක් දී ඇති විට. AB ස්වරයක දිග සෙන්ටිමීටර 12 කි. මධ්ය කෝණයේ ප්රමාණය ∠AOB තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
මෙම අවස්ථාවේදී, මධ්ය කෝණය ∠AOB තීරණය කිරීම සඳහා අපි ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතයේ ප්රතිලෝමය භාවිතා කළ යුතුය. මධ්ය කෝණය θ ඇතුළත් වන ස්වරයක දිග සඳහා වන සූත්රය මත පදනම්ව, අපට θ ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රය නැවත ලිවිය හැකිය:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
කොහෙද :
– r යනු රවුමේ අරය (සෙ.මී. 10) වේ
– AB යනු දුන්නෙහි දිග (සෙ.මී. 12) වේ.
sin(θ/2) හුදකලා කිරීමට සමීකරණයක් සකසන්න:
12 = 2 × 10 × පාපය(θ/2)
12 = 20 × පාපය(θ/2)
පාපය(θ/2) = 12/20
පාපය(θ/2) = 0.6
θ/2 හි අගය සොයන්න:
θ/2 = පාපය^(-1)(0.6)
θ/2 = 36.87°
ඒ නිසා,:
θ = 2 × 36.87° = 73.74°
එබැවින්, මධ්ය කෝණය ∠AOB 73.74° වේ.
නිගමනය
වෘත්ත සහ ස්වර අධ්යයනය කිරීම සඳහා මූලික ජ්යාමිතිය සහ ත්රිකෝණමිතිය පිළිබඳ අවබෝධයක් අවශ්ය වේ. ඉහත උදාහරණ වලදී, ගැටළු විසඳීම සඳහා පයිතගරස් ප්රමේයය, ත්රිකෝණමිතික ශ්රිත සහ වෘත්තවල මූලික ගුණාංග වැනි විවිධ සූත්ර සහ ප්රමේයයන් භාවිතා කරන ආකාරය අපි දැක ඇත්තෙමු.
මෙම ප්රායෝගික ගැටළු හරහා, අරය, ස්වර දිග සහ එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන මධ්යම කෝණය අතර සම්බන්ධතාවය පිළිබඳ ගැඹුරු අවබෝධයක් ලබා ගත හැකි යැයි අපේක්ෂා කෙරේ. මෙම සංකල්පය අවබෝධ කර ගැනීම පාසල් ගණිතයේ පමණක් නොව විද්යාවේ සහ ඉංජිනේරු විද්යාවේ විවිධ ක්ෂේත්රවල එදිනෙදා යෙදීම් වලදී ද ප්රයෝජනවත් වේ.
