ශ්රිත සහ ප්රතිලෝම ශ්රිතවල සංයුතිය සාකච්ඡා කරන උදාහරණ ප්රශ්න
ගණිතයේ දී, ශ්රිත සංයුතිය සහ ප්රතිලෝම ශ්රිත පිළිබඳ සංකල්ප යනු කලනය, ගණිතමය විශ්ලේෂණය සහ ශ්රිත න්යාය වැනි දියුණු අවබෝධයන් සඳහා ඉතා වැදගත් වන සමීපව සම්බන්ධ මාතෘකා දෙකකි. මෙම ලිපියෙන් තේරුම් ගැනීමට පහසු උදාහරණ සහ සාකච්ඡා කිහිපයක් ලබා දීමෙන් සංකල්ප දෙකම ගවේෂණය කරනු ඇත. ශ්රිත සංයුතිය සහ ශ්රිත ප්රතිලෝම වඩාත් ප්රායෝගික ආකාරයකින් ක්රියා කරන ආකාරය පාඨකයින්ට තේරුම් ගැනීමට උපකාර කිරීම ඉලක්කයයි.
1. ක්රියාකාරී සංයුතිය
ශ්රිත සංයුතිය යනු ශ්රිත දෙකක් එකකට ඒකාබද්ධ කිරීමේ ක්රියාකාරිත්වයයි. අපට ශ්රිත දෙකක් \( f(x) \) සහ \( g(x) \) තිබේ නම්, මෙම ශ්රිතවල සංයුතිය \( (f \circ g)(x) \) වේ, එය “f සංයුතිය g of x” හෝ “f of g of x” ලෙස කියවනු ලැබේ. මෙම සංයුතිය අර්ථ දැක්වෙන්නේ \( g(x) \) ශ්රිතය පළමුව යෙදීම ලෙසත්, පසුව \( g(x) \) ප්රතිඵලයට \( f \) ශ්රිතය යෙදීම ලෙසත්ය.
උදාහරණ ප්රශ්නය 1:
\( f(x) = 2x + 3 \) සහ \( g(x) = x^2 – 1 \) යන ශ්රිත ලබා දී ඇත. \( (f \circ g)(x) \) සහ \( (g \circ f)(x) \) හි සංයුතිය සොයන්න.
සාකච්ඡාව:
1. \( (f \circ g)(x) \) තීරණය කරන්න:
\( (f \සක්රීය g)(x) = f(g(x)) \)
\( = එෆ්(x^2 – 1) \)
\( x^2 – 1 \) \( f(x) \): ලෙස ආදේශ කරන්න.
\( f(x^2 – 1) = 2(x^2 – 1) + 3 \)
\( = 2x^2 – 2 + 3 \)
\( = 2x^2 + 1 \) ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත.
ඉතින්, \( (f \circ g)(x) = 2x^2 + 1 \).
2. \( (g \circ f)(x) \) තීරණය කරන්න:
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( = උ(2x + 3) \)
\( 2x + 3 \) \( g(x) \) ලෙස ආදේශ කරන්න:
\( g(2x + 3) = (2x + 3)^2 – 1 \)
\( (2x + 3)^2 \) ගණනය කිරීමට චතුරස්ර අනන්යතාවය භාවිතා කරන්න:
\( = 4x^2 + 12x + 9 – 1 \)
\( = 4x^2 + 12x + 8 \)
ඉතින්, \( (g \circ f)(x) = 4x^2 + 12x + 8 \).
2. ප්රතිලෝම ශ්රිතය
ප්රතිලෝම ශ්රිතයක් යනු මුල් ශ්රිතයේ බලපෑම ප්රතිලෝම කරන ශ්රිතයකි. \( f \) යනු ශ්රිතයක් නම්, \( f \) ලෙස ලියා ඇති \( f \) හි ප්රතිලෝමය \( f^{-1}(x)) = x \) සහ \( f^{-1}(f(x)) = x \) තෘප්තිමත් කරන ශ්රිතයකි.
ශ්රිතයක ප්රතිලෝම ශ්රිතය සොයා ගැනීමට, අපි පහත දේ කළ යුතුය:
1. \( f(x) \) යන්න \( y \) සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කරන්න.
2. \( x \) සඳහා සමීකරණය \( y \) අනුව විසඳන්න.
3. \( x \) සහ \( y \) විචල්ය මාරු කරන්න.
උදාහරණ ප්රශ්නය 2:
\( f(x) = 3x – 4 \) ශ්රිතය ලබා දී ඇති විට, එහි ප්රතිලෝමය සොයන්න, එනම් \( f^{-1}(x) \).
සාකච්ඡාව:
1. \( f(x) \) \( y \) සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කරන්න:
\( y = 3x – 4 \).
2. \( x \) සඳහා \( y \) අනුව විසඳන්න:
\( y = 3x – 4 \)
සමීකරණයේ දෙපැත්තටම 4 එකතු කරන්න:
\( y + 4 = 3x \)
සමීකරණයේ දෙපැත්තම 3න් බෙදන්න:
\( x = \frac{y + 4}{3} \)
3. \( x \) සහ \( y \) විචල්යයන් මාරු කරන්න:
\( f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3} \) ලෙස දැක්වෙන පරිදි,
එබැවින්, \( f(x) = 3x – 4 \) හි ප්රතිලෝමය \( f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3} \) වේ.
3. සංයුතිය සහ ප්රතිලෝම සංයෝජනයක් සහිත උදාහරණ ප්රශ්න
උදාහරණ ප්රශ්නය 3:
\( f(x) = x^3 + 2 \) සහ \( g(x) = \sqrt[3]{x – 2} \) යන ශ්රිත ලබා දී ඇත. \( g(x) \) යනු \( f(x) \) හි ප්රතිලෝමය බව ඔප්පු කරන්න.
සාකච්ඡාව:
\( g(x) \) යනු \( f(x) \) හි ප්රතිලෝමය බව ඔප්පු කිරීමට, අපි \( (f \circ g)(x) = x \) සහ \( (g \circ f)(x) = x \) බව පෙන්විය යුතුය.
1. \( (f \circ g)(x) = x \) බව පෙන්වන්න:
\( (f \සක්රීය g)(x) = f(g(x)) \)
\( g(x) = \sqrt[3]{x – 2} \) \( f(x) \) ලෙස ආදේශ කරන්න:
\( f(g(x)) = f(\sqrt[3]{x – 2}) \)
\( = (\sqrt[3]{x – 2})^3 + 2 \)
මන්ද \( (\sqrt[3]{x – 2})^3 = x – 2 \):
\( = (x – 2) + 2 \)
\( = x \).
2. \( (g \circ f)(x) = x \) බව පෙන්වන්න:
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( f(x) = x^3 + 2 \) \( g(x) \): බවට ආදේශ කරන්න.
\( g(f(x)) = g(x^3 + 2) \)
\( = \sqrt[3]{(x^3 + 2) – 2} \)
\( = \sqrt[3]{x^3} \)
\( = x \).
\( (f \circ g)(x) = x \) සහ \( (g \circ f)(x) = x \) බැවින්, \( g(x) \) යනු \( f(x) \) හි ප්රතිලෝමය වේ.
4. එදිනෙදා ජීවිතයේ යෙදීම්
උදාහරණ ප්රශ්නය 4:
විද්යාඥයෙක් \( f(T) = 5T + 40 \) සහ \( g(P) = \frac{P – 40}{5} \) යන ශ්රිත මගින් විස්තර කරන ලද ගණිතමය ආකෘති දෙකක් භාවිතා කරයි, එහිදී \( T \) යනු සෙල්සියස් වලින් උෂ්ණත්වය වන අතර \( P \) යනු පැස්කල් වලින් පීඩනය වේ. \( g \) ශ්රිතය \( f \) ශ්රිතයේ ප්රතිලෝමයද යන්න තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
\( g \) යනු \( f \) හි ප්රතිලෝමය බව ඔප්පු කිරීමට, අපි \( (f \circ g)(P) = P \) සහ \( (g \circ f)(T) = T \) බව පෙන්විය යුතුය.
1. \( (f \circ g)(P) = P \) බව පෙන්වන්න:
\( (f \සක්රීය g)(P) = f(g(P)) \)
\( g(P) = \frac{P – 40}{5} \) \( f(T) \) ලෙස ආදේශ කරන්න:
\( f(g(P)) = f\වම(\frac{P – 40}{5}\දකුණ) \)
\( = 5\වම(\frac{P – 40}{5}\දකුණ) + 40 \)
\( = (පී – 40) + 40 \)
\( = පී \).
2. \( (g \circ f)(T) = T \) බව පෙන්වන්න:
\( (g \circ f)(T) = g(f(T)) \)
\( f(T) = 5T + 40 \) \( g(P) \): ලෙස ආදේශ කරන්න.
\( උ(f(ටී)) = උ(5ටී + 40) \)
\( = \frac{(5T + 40) – 40}{5} \)
\( = \frac{5T}{5} \)
\( = ටී \).
\( (f \circ g)(P) = P \) සහ \( (g \circ f)(T) = T \) බැවින්, \( g \) යනු \( f \) ශ්රිතයේ ප්රතිලෝමය වේ.
නිගමනය
ගණිතයේ දී ශ්රිත සංයුතිය සහ ප්රතිලෝම ශ්රිත පිළිබඳ සංකල්ප ඉතා වැදගත් වේ. ඒවා ශ්රිත දෙකක් අතර සම්බන්ධතාවය තේරුම් ගැනීමට අපට උපකාරී වනවා පමණක් නොව, භෞතික විද්යාව සහ ඉංජිනේරු විද්යාව වැනි සැබෑ ලෝකයේ විවිධ ප්රායෝගික යෙදුම් සඳහා පදනම ද සපයයි. ඉහත උදාහරණ අධ්යයනය කිරීමෙන්, පාඨකයින්ට මෙම සංකල්ප දෙක පිළිබඳ වඩා හොඳ අවබෝධයක් සහ යෙදුමක් ලැබෙනු ඇතැයි අපේක්ෂා කෙරේ.
