නිර්ණය කිරීමේ සංගුණකය පිළිබඳ සාකච්ඡා ප්රශ්නයක උදාහරණයක්
නිර්ණය කිරීමේ සංගුණකය (R²) ප්රතිගාමී විශ්ලේෂණයේ වැදගත් පරාමිතියක් වන අතර, ප්රතිගාමී ආකෘතියක් දත්තවල සත්ය විචල්යතාවය කෙතරම් හොඳින් පැහැදිලි කරයිද යන්න පෙන්නුම් කරයි. මෙම ලිපියෙන්, අපි සවිස්තරාත්මක උදාහරණයක් සහ සාකච්ඡාවක් හරහා නිර්ණය කිරීමේ සංගුණකය පිළිබඳ සංකල්පය පැහැදිලි කරන්නෙමු.
නිර්ණය කිරීමේ සංගුණකය පිළිබඳ මූලික සංකල්පය
නිර්ණය කිරීමේ සංගුණකය හෝ \( R^2 \) 0 සිට 1 දක්වා පරිමාණයකින් මනිනු ලැබේ, එහිදී:
– \( R^2 = 0 \) යන්නෙන් පෙන්නුම් කරන්නේ ප්රතිගාමී ආකෘතියට දත්තවල විචල්යතාවය කිසිසේත්ම පැහැදිලි කිරීමට නොහැකි බවයි.
– \( R^2 = 1 \) මඟින් පෙන්නුම් කරන්නේ ප්රතිගාමී ආකෘතියට දත්තවල සියලු විචල්යතාවයන් පරිපූර්ණ ලෙස පැහැදිලි කිරීමට හැකි බවයි.
නිර්ණය කිරීමේ සංගුණකය ගණනය කිරීමේ මූලික සූත්රය වන්නේ:
\[ ආර්^2 = 1 – \frac{එස්එස්ආර්}{එස්එස්ටී} \]
මා:
– SSR (වර්ග අවශේෂවල එකතුව) යනු ආකෘතිය මගින් පුරෝකථනය කරන ලද අගයන් සහ සැබෑ අගයන් අතර වෙනස්කම්වල වර්ගවල එකතුවයි.
– SST (වර්ගවල මුළු එකතුව) යනු සත්ය අගය සහ සත්ය අගයන්හි සාමාන්යය අතර වෙනස්කම්වල වර්ගවල එකතුවේ එකතුවයි.
ගැටළු උදාහරණය
නිර්ණය කිරීමේ සංගුණකය ගණනය කිරීම වඩාත් ගැඹුරින් තේරුම් ගැනීමට උදාහරණ ගැටලුවක් සාකච්ඡා කරමු.
ගැටළු උදාහරණය:
සිසුන් 10 දෙනෙකුගේ අධ්යයන පැය ගණන (X) සහ විභාග ලකුණු (Y) පිළිබඳ දත්ත අප සතුව ඇතැයි සිතමු:
| සිසුන් | අධ්යයන වේලාවන් (X) | විභාග ලකුණු (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
අධ්යයන වේලාවන් (X) මත පදනම්ව විභාග ලකුණු (Y) පුරෝකථනය කරන සරල රේඛීය ප්රතිගාමී ආකෘතියක් අපි නිර්මාණය කරන්නෙමු.
සාකච්ඡා
1. සරල රේඛීය ප්රතිගමන ආකෘතියක් ගොඩනැගීම
සරල රේඛීය ප්රතිගාමී ආකෘතියකට පහත ස්වරූපය ඇත:
\[ Y = a + bX \]
මා:
– \( Y \) යනු පුරෝකථනය කරන ලද පරීක්ෂණ ලකුණු වේ.
– \( X \) යනු අධ්යයන පැය ගණනයි.
– \( a \) යනු අන්තඃඡේදනයයි (X = 0 වන විට Y අක්ෂයේ ඡේදනය වන ලක්ෂ්යය).
– \( b \) යනු බෑවුම (ප්රතිගාමී රේඛාවේ ආනතිය) වේ.
\( a \) සහ \( b \) පරාමිතීන් ගණනය කිරීම සඳහා, අපි පහත සූත්රය භාවිතා කරමු:
\[ b = \frac{n(\එකතුව{XY}) – (\එකතුව{X})(\එකතුව{Y})}{n(\එකතුව{X^2}) – (\එකතුව{X})^2} \]
\[ a = \frac{\එකතුව{Y} – b(\එකතුව{X})}{n} \]
මෙහි \( n \) යනු දත්ත ගණනයි (මෙම අවස්ථාවේදී n = 10).
වගුවෙන් අපට ගණනය කළ හැකිය:
– \(\එකතුව{X} = 36\)
– \(\එකතුව{Y} = 704\)
– \(\එකතුව{X^2} = 140\)
– \(\එකතුව{Y^2} = 50428\)
– \(\එකතුව{XY} = 2576\)
අපි මුලින්ම b ගණනය කරමු:
\[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ ආ = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ ආ = \frac{416}{104} \]
\[ ආ = 4 \]
ඉන්පසු අපි ගණනය කරන්නේ:
\[ අ = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ අ = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ අ = \frac{560}{10} \]
\[ අ = 56 \]
ඉතින්, අපට ලැබෙන රේඛීය ප්රතිගාමී ආකෘතිය:
\[ Y = 56 + 4X \]
2. පුරෝකථනය කළ අගය (Y') ගණනය කරන්න.
ඊළඟට, අපි එක් එක් \( X \) සඳහා පුරෝකථනය කරන ලද අගය \( Y' \) ගණනය කරමු:
| සිසුන් | අධ්යයන වේලාවන් (X) | විභාග ලකුණු (Y) | පුරෝකථනය කළ ලකුණු (Y') |
|——-|——————–|——————–|————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. SSR සහ SST ගණනය කිරීම
ඊළඟට, අපි \( R^2 \) ලබා ගැනීමට SSR සහ SST ගණනය කරමු.
SSR:
\[ SSR = \එකතුව{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ සමාජ සම්මත අනුපාතය = 454 \]
එස්එස්ටී:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
මා:
\[ \තීරුව{Y} = \frac{\එකතුව{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ SST = 1107.44 \]
4. නිර්ණය කිරීමේ සංගුණකය ගණනය කිරීම \( R^2 \):
\[ ආර්^2 = 1 – \frac{එස්එස්ආර්}{එස්එස්ටී} \]
\[ ආර්^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ ආර්^2 = 1 – 0.41 \]
\[ ආර්^2 = 0.59 \]
නිගමනය
ඉහත ගණනය කිරීමෙන්, අපි නිර්ණය කිරීමේ සංගුණකයක් (R2 = 0.59) ලබා ගත්තෙමු. මෙයින් පෙන්නුම් කරන්නේ අප විසින් නිර්මාණය කරන ලද රේඛීය ප්රතිගාමී ආකෘතියට අධ්යයන වේලාවන් මත පදනම්ව විභාග ලකුණුවල විචල්යතාවයෙන් ආසන්න වශයෙන් 59% ක් පැහැදිලි කළ හැකි බවයි. ඉතිරි 41% විචල්යතාවය ආකෘතියට ඇතුළත් කර නොමැති වෙනත් සාධක නිසා විය හැකිය.
ඉහත පියවර සහ ගණනය කිරීම් තේරුම් ගැනීමෙන්, අප ගොඩනඟන ප්රතිගාමී ආකෘතිය දත්තවල සැබෑ විචල්යතාවය කෙතරම් හොඳින් පැහැදිලි කරන්නේද යන්න තක්සේරු කිරීමේදී නිර්ණය කිරීමේ සංගුණකයේ වැදගත්කම අපට දැකගත හැකිය. එය සංඛ්යානමය විශ්ලේෂණය සහ දත්ත ආකෘති නිර්මාණය සඳහා ඉතා ප්රයෝජනවත් මෙවලමකි.
