කව අංශ පිළිබඳ උදාහරණ ප්රශ්න සහ සාකච්ඡාව
වෘත්තයක අංශ යනු ගණිතයේ වැදගත් මාතෘකාවක් වන අතර එය විභාග සහ පුහුණු ප්රශ්නවල නිතර දක්නට ලැබේ. අංශයක් යනු අරය දෙකකින් සහ ඒවා සම්බන්ධ කරන චාපයකින් සීමා වූ වෘත්තයක කොටසයි. මෙම ලිපියෙන්, අපගේ අවබෝධය ගැඹුරු කිරීම සඳහා, සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීම් සමඟ, වෘත්තයක අංශ පිළිබඳ උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් අපි සාකච්ඡා කරමු.
කව අංශයක අර්ථ දැක්වීම
වෘත්තයක අංශයක් යනු අරය දෙකකින් සහ එක් චාපයකින් මායිම් වූ වෘත්තයක අංශයකි. අංශයක වර්ගඵලය ගණනය කරනු ලබන්නේ වෘත්තයේ මුළු වර්ගඵලයෙන් කොටසක් මත ය. අංශයක් ගණනය කිරීම සඳහා භාවිතා කරන ප්රධාන සූත්රය පහත පරිදි වේ:
– ජුරිං ප්රදේශය: \[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
– චාප දිග : \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
මා:
– \( \theta \) යනු අංශ කෝණයේ ප්රමාණය අංශක වලින්,
– \( r \) යනු වෘත්තයේ අරය වේ,
– \( \pi \) යනු නියතයකි (ආසන්න වශයෙන් 3.14159).
නියැදි ප්රශ්න සහ සාකච්ඡා
ප්රශ්නය 1:
අරය 10 cm ක් සහ මධ්ය කෝණය 90° ක් සහිත අංශයක් සහිත වෘත්තයක් ලබා දී ඇති විට, අංශයෙහි වර්ගඵලය ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
එය දන්නවා:
– \( ආර් = 10 \) සෙ.මී.
– \( \තීටා = 90^\පරිච්ඡේදය \)
අපි අංශයක ප්රදේශය සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමු:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (10\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \times \pi \times 100\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 25\pi\text{ cm}^2\]
\( \pi \) 3.14 ලෙස ගතහොත්, එසේ නම්:
\[L_juring = 25 \times 3.14\text{ cm}^2 = 78.5\text{ cm}^2\]
ඉතින්, අංශයේ වර්ග ප්රමාණය 78.5 cm² වේ.
ප්රශ්නය 2:
වෘත්තයක අංශයක අරය සෙන්ටිමීටර 7 ක් සහ චාප දිග සෙන්ටිමීටර 11 කි. අංශයෙහි මධ්ය කෝණය රේඩියන වලින් නිර්ණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
එය දන්නවා:
– \( ආර් = 7 \) සෙ.මී.
– චාප දිග \( P_b = 11 \text{ cm} \)
කෝණය සොයා ගැනීමට අපි චාප දිග සූත්රය භාවිතා කරමු \( \theta \):
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
රේඩියන වලින් කෝණය සොයා ගැනීමට අපෙන් ඉල්ලා සිටින බැවින්, අපි 360° \(2\pi\) රේඩියන සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කරමු:
\[P_b = \තීටා \වර r\]
\[11 = \තීටා \ගුණ 7\]
\[\තීටා = \frac{11}{7}\]
\[\තීටා \ආසන්න වශයෙන් 1.57 \පෙළ{ රේඩියනය}\]
එබැවින්, අංශයේ මධ්ය කෝණය රේඩියන 1.57 කි.
ප්රශ්නය 3:
සෙන්ටිමීටර 16 ක අරයක් සහිත වෘත්තයක සෙන්ටිමීටර 200 ක වර්ගඵලයක් සහිත අංශයක් ඇත. අංශයෙහි මධ්ය කෝණය ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
එය දන්නවා:
– \( ආර් = 16 \) සෙ.මී.
– \( L_juring = 200 \පෙළ{ සෙ.මී.}^2 \)
\( \theta \) සොයා ගැනීමට අපි අංශයක් සඳහා ප්රදේශ සූත්රය භාවිතා කරමු:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times 256\]
\[200 = \frac{\තීටා \වර 256 \වර \pi}{360^\circle}}]
\[200 \times 360^\circ = \theta \times 256 \times 3.14\]
\[72000 = \තීටා \වර 256 \වර 3.14\]
\[72000 = \තීටා \ගුණ 804.64\]
\[\තීටා = \frac{72000}{804.64}\]
\[\තීටා \ආසන්න වශයෙන් 89.45^\රවුම්\]
එබැවින්, අංශයේ මධ්ය කෝණය ආසන්න වශයෙන් 89.45° වේ.
ප්රශ්නය 4:
අරය 12 cm සහ මධ්ය කෝණය 120° ක් වන අංශයක මුළු පරිධිය ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
එය දන්නවා:
– \( ආර් = 12 \) සෙ.මී.
– \( \තීටා = 120^\පරිච්ඡේදය \)
පළමුව, අපි චාප දිග සොයා ගනිමු:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = 8\pi\පෙළ{ සෙ.මී.}}
ඉන්පසු අපි අංශයේ පරිධිය ගණනය කරමු (චාප දිග + අරය දෙක):
\[K = 2r + P_b\]
\[K = 2 \times 12\text{ cm} + 8\pi\text{ cm}}]
\[K = 24\පෙළ{ සෙ.මී.} + 8\පයි\පෙළ{ සෙ.මී.}}]
\( \pi \) 3.14 ලෙස ගතහොත්, එසේ නම්:
\[K = 24\පෙළ{ සෙ.මී.} + 8 \වරක් 3.14\පෙළ{ සෙ.මී.}}]
\[K = 24\පෙළ{ සෙ.මී.} + 25.12\පෙළ{ සෙ.මී.}}]
\[K = 49.12\පෙළ{ සෙ.මී.}}]
ඉතින්, අංශයේ මුළු වට ප්රමාණය සෙන්ටිමීටර 49.12 කි.
ප්රශ්නය 5:
සෙන්ටිමීටර 18 ක අරයක් සහිත කවයකට 45° කෝණයක් සාදන අංශයක් තිබේ නම්, චාපයේ දිග සහ අංශයෙහි වර්ගඵලය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
එය දන්නවා:
– \( ආර් = 18 \) සෙ.මී.
– \( \තීටා = 45^\පරිච්ඡේදය \)
1. චාප දිග:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 18\text{ cm}}]
\[P_b = \frac{1}{8} \times 36\pi\text{ cm}}]
\[P_b = 4.5\pi\පෙළ{ සෙ.මී.}}
\( \pi \) 3.14 ලෙස ගතහොත්, එසේ නම්:
\[P_b = 4.5 \times 3.14\text{ cm} \ආසන්න වශයෙන් 14.13\text{ cm}}]
ඉතින්, දුන්නෙහි දිග සෙන්ටිමීටර 14.13 ක් පමණ වේ.
2. අංශයේ ප්රදේශය:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (18\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \times \pi \times 324\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\text{ cm}^2\]
\( \pi \) 3.14 ලෙස ගතහොත්, එසේ නම්:
\[L_juring = 40.5 \times 3.14\text{ cm}^2 \ආසන්න වශයෙන් 127.17\text{ cm}^2\]
ඉතින්, අංශයේ වර්ග ප්රමාණය ආසන්න වශයෙන් 127.17 cm² වේ.
නිගමනය
මෙම ලිපියෙන් අපි වෘත්තයක අංශ සහ ඒවායේ විසඳුම් පිළිබඳ උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් සාකච්ඡා කර ඇත්තෙමු. වෘත්තයක අංශ තේරුම් ගැනීමේ සාරය පවතින්නේ අංශයක වර්ගඵලය සහ චාපයක දිග ගණනය කිරීම සඳහා මූලික සූත්ර ප්රගුණ කිරීම තුළය. විවිධ ආකාරයේ ගැටළු සඳහා මෙම සූත්ර යෙදිය යුතු ආකාරය නිතර පුහුණු වීම සහ අවබෝධ කර ගැනීම සමාන ගැටළු විසඳීමේ ඔබේ හැකියාව වැඩි දියුණු කිරීමට උපකාරී වනු ඇතැයි අපි බලාපොරොත්තු වෙමු.
