විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය සාකච්ඡා ප්රශ්න සඳහා උදාහරණ
පෙන්ඩහුලුවන්
විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය යනු අවකාශය සහ හැඩය සම්බන්ධ ගැටළු විසඳීම සඳහා වීජ ගණිතය සහ ජ්යාමිතිය ඒකාබද්ධ කරන ගණිත අංශයකි. එය සමීකරණ සහ ඛණ්ඩාංක භාවිතයෙන් ජ්යාමිතික ගැටළු විශ්ලේෂණය කිරීමට අපට ඉඩ සලසන ප්රබල මෙවලමකි. මෙම ලිපිය විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතික ක්ෂේත්ර ගැටළු සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් සාකච්ඡා කරන අතර ගැඹුරු අවබෝධයක් සඳහා පහසුකම් සැලසීම සඳහා ඒවා විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කරනු ඇත.
උදාහරණ ප්රශ්නය 1: රේඛා සමීකරණය
ප්රශ්නය:
A(1, 2) සහ B(3, 7) යන ලක්ෂ්ය දෙක ලබා දී ඇති විට. මෙම ලක්ෂ්ය දෙක හරහා ගමන් කරන රේඛාවේ සමීකරණය නිර්ණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
ලක්ෂ්ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණය සොයා ගැනීමට, අපට අනුක්රමණය (බෑවුම) සූත්රය m භාවිතා කළ හැකිය:
\[ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]
A(x1, y1) ලක්ෂ්යය = (1, 2) සහ B(x2, y2) ලක්ෂ්යය = (3, 7) සමඟ:
\[ m = \frac{7 – 2}{3 – 1} = \frac{5}{2} \]
ඊළඟට, අපි රේඛාවේ සමීකරණය සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමු:
\[ y – y_1 = m(x – x_1) \]
එක් ලක්ෂ්ය ආදේශනයක්, උදාහරණයක් ලෙස A(1, 2) ලක්ෂ්යය:
\[ y – 2 = \frac{5}{2}(x – 1) \]
මෙම පෝරමය y සඳහා පැහැදිලි සමීකරණයකට පරිවර්තනය කරන්න:
\[ y – 2 = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} \]
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} + 2 \]
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
ඉතින්, රේඛාවේ සමීකරණය:
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 2: කවය
ප්රශ්නය:
C(-2, 3) ලක්ෂ්යයේ කේන්ද්රගත වූ සහ අරය 4ක් සහිත වෘත්තයක සමීකරණය නිර්ණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
(h, k) කේන්ද්රය සහ r අරය සහිත වෘත්තයක සාමාන්ය සමීකරණය වන්නේ:
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
ප්රශ්නයෙන්, වෘත්තයේ කේන්ද්රය (h, k) = (-2, 3) සහ අරය r = 4. එබැවින්,
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 4^2 \]
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 16 \]
ඉතින්, රවුමේ සමීකරණය:
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 16 \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 3: පැරබෝලා
ප්රශ්නය:
(1, -2) ශීර්ෂය සහ (1, 0) හි නාභිගත කිරීම සහිත සිරස් පැරබෝලාවක සමීකරණය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
ශීර්ෂය (h, k) සහිත සිරස් පැරබෝලාවක් සඳහා, සාමාන්ය සමීකරණය වන්නේ:
\[ (x – h)^2 = 4p(y – k) \]
ශීර්ෂය (h, k) = (1, -2) දී ඇති විට, අපි p හි අගය සොයා ගත යුතුය. පැරබෝලාවේ නාභිය (h, k + p) වන අතර, ගැටළුවෙන් නාභිය (1, 0) වේ:
\[ k + p = 0 – (-2) = 2 \]
ඉතින් එතකොට:
\[ පි = 2 \]
ඉතින්, පොදු සමීකරණය බවට පත් වන්නේ:
\[ (x – 1)^2 = 4 \cdot 2 (y + 2) \]
\[ (x – 1)^2 = 8(y + 2) \]
ඉතින්, පැරබෝලා සමීකරණය:
\[ (x – 1)^2 = 8(y + 2) \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 4: ඉලිප්සය
ප්රශ්නය:
(0, 0) ලක්ෂ්යයේ කේන්ද්රය සහිත ඉලිප්සයක් දී ඇති විට, ප්රධාන අක්ෂයේ දිග 10 සහ උප අක්ෂය 6 වේ. ඉලිප්සයේ සමීකරණය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
ඉලිප්සයේ කේන්ද්රය (h, k) (0, 0) වන අතර, ප්රධාන අක්ෂයේ දිග 2a = 10 වන බැවින් a = 5 වන අතර, උප අක්ෂයේ දිග 2b = 6 වන බැවින් b = 3 වේ. (0, 0) කේන්ද්රයක් සහිත ඉලිප්සයක් සඳහා සාමාන්ය සමීකරණය වන්නේ:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
a සහ b අගයන් ආදේශ කරන්න:
\[ \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
ඉතින්, ඉලිප්සයේ සමීකරණය:
\[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
උදාහරණ ප්රශ්නය 5: හයිපර්බෝලා
ප්රශ්නය:
(1, -3) කේන්ද්රයක් සහිත හයිපර්බෝලාවක් ලබා දී ඇති විට, තීර්යක් අක්ෂයේ දිග 8 ක් වන අතර සංයුක්ත අක්ෂයේ දිග 6 කි. හයිපර්බෝලාවේ සමීකරණය තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
මධ්ය (h, k) සහ තිරස් තීර්යක් අක්ෂයක් සහිත හයිපර්බෝලාවක් සඳහා, සාමාන්ය සමීකරණය වන්නේ:
\[ \frac{(x – h)^2}{a^2} – \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 \]
හයිපර්බෝලාවේ (h, k) කේන්ද්රය (1, -3) වන අතර, තීර්යක් අක්ෂයේ දිග 2a = 8 වන බැවින් a = 4 වන අතර, සංයුක්ත අක්ෂයේ දිග 2b = 6 වන බැවින් b = 3 වේ. එබැවින්, හයිපර්බෝලාවේ සමීකරණය:
\[ \frac{(x – 1)^2}{4^2} – \frac{(y + 3)^2}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{(x – 1)^2}{16} – \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \]
ඉතින්, හයිපර්බෝලා සමීකරණය:
\[ \frac{(x – 1)^2}{16} – \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \]
නිගමනය
විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය යනු වීජීය සමීකරණ භාවිතයෙන් ජ්යාමිතික හැඩතල සහ ව්යුහයන් විශ්ලේෂණය කිරීම සඳහා ප්රබල ක්රමයකි. රේඛා, කව, පරාවල, ඉලිප්ස සහ හයිපර්බෝලා සමීකරණවල මූලික සංකල්ප තේරුම් ගැනීමෙන්, අපට විවිධ ජ්යාමිතික ගැටළු පහසුවෙන් විසඳා ගත හැකිය. මෙම ලිපිය ඔබේ අවබෝධය ගැඹුරු කිරීමට උපකාරී වන විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතියේ වැදගත් ගැටළු පිළිබඳ උදාහරණ සහ සාකච්ඡා සපයයි. අතිරේක පුහුණු ගැටළු මෙම ද්රව්ය පිළිබඳ ඔබේ අවබෝධය ශක්තිමත් කිරීමට සහ පුළුල් කිරීමට උපකාරී වේ.
