වැඩිවන ශ්‍රිත, අඩුවන ශ්‍රිත සහ ස්ථාවර ශ්‍රිත පිළිබඳ උදාහරණ ප්‍රශ්න සහ සාකච්ඡාව
ගණිතමය ශ්‍රිත තරමක් ගැඹුරු මාතෘකාවක් වන අතර විවිධ ලක්ෂණ වලින් පිරී ඇති අතර, ඉන් එකක් වන්නේ ඒවා වැඩිවන, අඩුවන හෝ නිශ්චල තත්වයන් අනුව විශ්ලේෂණය කළ හැකි ආකාරයයි. ආර්ථික විද්‍යාව, භෞතික විද්‍යාව සහ ඉංජිනේරු විද්‍යාව ඇතුළු ගණිතයේ විවිධ යෙදීම්වල දී, දී ඇති කාල පරතරයක් මත ශ්‍රිතයක් වැඩි වේද, අඩු වේද, නැතහොත් නියතද යන්න දැන ගැනීම ඉතා වැදගත් වේ. මෙම ලිපිය වැඩිවන, අඩු වන සහ නිශ්චල ශ්‍රිතවලට අදාළ උදාහරණ සහ ඒවායේ සාකච්ඡාව ආවරණය කරනු ඇත.
වැඩිවන ශ්‍රිත, අඩුවන ශ්‍රිත සහ ස්ථිතික ශ්‍රිත මොනවාද?
1. වැඩිවන ශ්‍රිතය: \( f(x) \) ශ්‍රිතයක් \( I \) පරතරයකින් වැඩි වන බව කියනු ලැබේ, \( i \) සෑම \( x_1 \) සහ \( x_2 \) සඳහා \( i \) \( x_1 <x_2 \) සඳහා නම්, අපට \( f(x_1) \leq f(x_2) \). 2. අඩුවන ශ්‍රිතය: ප්‍රතිවිරුද්ධව, \( f(x) \) ශ්‍රිතයක් \( I \) පරතරයකින් අඩු වන බව කියනු ලැබේ, \( i \) සෑම \( x_1 \) සඳහා නම් සහ \( x_2 \) \( I \) \( x_1 <x_2 \) සඳහා නම්, අපට \( f(x_1) \geq f(x_2) \) ඇත. 3. ස්ථාවර ශ්‍රිතය: ශ්‍රිතයක් \( f(x) \) \( I \) හි සෑම \( x \) සඳහාම \( I \) නම්, ශ්‍රිතයට එකම අගයක් ඇත, එනම් \( f(x) = c \) සෑම \( x \) සඳහා \( I \) නම්, c නියතයකි. උදාහරණ ප්‍රශ්නය 1: වැඩිවන ශ්‍රිතයක පරතරය තීරණය කිරීම \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \) ශ්‍රිතය ලබා දී ඇත. ශ්‍රිතය වැඩි වන පරතරය තීරණය කරන්න! සාකච්ඡාව: ශ්‍රිතය වැඩි වන පරතරය තීරණය කිරීම සඳහා, අපි ශ්‍රිතයේ පළමු ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගත යුතු අතර පසුව ව්‍යුත්පන්නයේ ලකුණ විශ්ලේෂණය කළ යුතුය. 1. පියවර 1: පළමු ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගන්න: \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. පියවර 2: තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍ය නිර්ණය කරන්න: තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍ය යනු පළමු ව්‍යුත්පන්නය ශුන්‍ය හෝ නිර්වචනය නොකළ ලක්ෂ්‍ය වේ. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] සම්පූර්ණ සමීකරණය 6 න් බෙදන්න: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] අපි මෙම චතුරස්‍ර සමීකරණය සාධක කරමු: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] එබැවින්, තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍ය වන්නේ \( x = 2 \) සහ \( x = -1 \) ය. 3. පියවර 3: තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍ය මගින් සාදන ලද අන්තරයේ පළමු ව්‍යුත්පන්නයේ ලකුණ තීරණය කරන්න: අපි \( f'(x) \) සඳහා \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \), සහ \( (2, \infty) \) යන අන්තරයන් මත ලකුණු වගුවක් සාදන්නෙමු. - \( x \in (-\infty, -1) \) සඳහා: \( x = -2 \) \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] \( f'(-2) > 0 \) බැවින්, \( f(x) \) අන්තරයේ \( (-\infty, -1) \) වැඩි වන බැවින්.
– \( x \in (-1, 2) \) සඳහා: \( x = 0 \) ගන්න.
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
\( f'(0) < 0 \), එවිට \( f(x) \) පරතරය මත අඩු වන බැවින් \( (-1, 2) \). - \( x \in (2, \infty) \): \( x = 3 \) \[ f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] \( f'(3) > 0 \), එවිට \( f(x) \) පරතරය මත වැඩි වන බැවින් \( (2, \infty) \).
ඉතින්, \( f(x) \) ශ්‍රිතය \( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \) පරතරය මත වැඩි වෙමින් පවතී.
උදාහරණ ගැටලුව 2: අඩු වන ශ්‍රිත පරතරය තීරණය කිරීම
ශ්‍රිතය ලබා දී ඇති විට \( g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \). ශ්‍රිතය අඩු වන අන්තරයන් නිර්ණය කරන්න!
සාකච්ඡාව:
1. පියවර 1: පළමු ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න:
\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
\[ g'(x) = 16x^3 – 24x^2 \]
2. පියවර 2: තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යය තීරණය කරන්න:
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
එබැවින් තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍ය වන්නේ \( x = 0 \) සහ \( x = \frac{3}{2} \) වේ.
3. පියවර 3: අන්තරයේ පළමු ව්‍යුත්පන්නයේ ලකුණ තීරණය කරන්න:
– \( x \in (-\infty, 0) \) සඳහා: \( x = -1 \) ගන්න.
\[ g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40 \]
\( g'(-1) < 0 \), එවිට \( g(x) \) පරතරය මත අඩු වන බැවින් \( (-\infty, 0) \). - \( x \in (0, \frac{3}{2}) \): \( x = 1 \) \[ g'(1) = 16(1)^3 - 24(1)^2 = 16 - 24 = -8 \] \( g'(1) < 0 \), එවිට \( g(x) \) පරතරය මත අඩු වන බැවින් \( (0, \frac{3}{2}) \). - \( x \in (\frac{3}{2}, \infty) \) සඳහා: \( x = 2 \) \[ g'(2) = 16(2)^3 - 24(2)^2 = 128 - 96 = 32 \] \( g'(2) > 0 \) බැවින්, \( g(x) \) අන්තරයේ \( (\frac{3}{2}, \infty) \) වැඩි වේ.
ඉතින්, \( g(x) \) ශ්‍රිතය \( (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \) පරතරය මත අඩු වේ.
උදාහරණ ප්‍රශ්නය 3: විවේකයේදී ශ්‍රිතයක පරතරය තීරණය කිරීම
\( h(x) = 7 \) ශ්‍රිතය ලබා දී ඇති විට, ශ්‍රිතය නිශ්චලව පවතින අන්තරයන් තීරණය කරන්න!
සාකච්ඡාව:
\( h(x) = 7 \) වැනි නියත ශ්‍රිතයකට, සියල්ල සඳහා ශුන්‍යයේ පළමු ව්‍යුත්පන්නයක් ඇත \( x \):
\[ h'(x) = 0 \]
පළමු ව්‍යුත්පන්නය සැමවිටම ශුන්‍ය වන බැවින්, ශ්‍රිතය මුළු වසමෙහිම නිශ්චල වේ, එබැවින් අපට \( h(x) = 7 \) ශ්‍රිතය සියලු තාත්වික සංඛ්‍යා මත නිශ්චල බව පැවසිය හැකිය, එය විරාම අංකනයේදී \( (-\infty, \infty) \) වේ.
නිගමනය
ශ්‍රිතයක වැඩිවන, අඩුවන සහ නිශ්චල තත්වවල කාල පරතරයන් තේරුම් ගැනීම ශ්‍රිත විශ්ලේෂණයේ අත්‍යවශ්‍ය අංගයකි. ඉහත උදාහරණ හරහා, මෙම කාල පරතරයන් සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය මූලික සංකල්ප සහ පියවර අපි ආවරණය කර ඇත්තෙමු. ගණිතයේ විවිධ ප්‍රායෝගික සහ න්‍යායාත්මක යෙදීම් වලදී මෙම දැනුම අතිශයින් ප්‍රයෝජනවත් වේ.
