එන්නත්, ශල්යකර්ම සහ ද්විභාෂා ශ්රිත පිළිබඳ උදාහරණ ප්රශ්න සහ සාකච්ඡාව
ගණිතයේ ශ්රිතයක අර්ථ දැක්වීම සහ එහි ප්රයෝජනය බොහෝ විට සාකච්ඡා සඳහා සිත් ඇදගන්නා මාතෘකාවකි. මෙම සන්දර්භය තුළ, අපට නිතර නිතර ඉන්ජෙක්ටිව්, සර්ජෙක්ටිව් සහ බයිජෙක්ටිව් ශ්රිත වැනි යෙදුම් හමු වේ. මෙම ශ්රිත වර්ග තුන තේරුම් ගැනීම ගණිතමය විශ්ලේෂණයට සහ පරිගණක විද්යාව, ආර්ථික විද්යාව සහ භෞතික විද්යාව වැනි විවිධ ක්ෂේත්රවල ඒවායේ ප්රායෝගික යෙදීම් සඳහා ඉතා වැදගත් වේ.
එන්නත්, ශල්යකර්ම සහ ද්විවිධ ශ්රිත අවබෝධ කර ගැනීම
උදාහරණ ප්රශ්න සහ ඒවායේ සාකච්ඡාව සාකච්ඡා කිරීමට පෙර, අපි මුලින්ම ශ්රිත තුනෙහි අර්ථ දැක්වීම් සිහිපත් කරමු.
1. එන්නත් ශ්රිතය (එකකට එක ශ්රිතය): A වසමේ සෑම a1 සහ a2 සඳහාම f(a1) = f(a2) නම්, a1 a2 ට සමාන විය යුතු නම්, f : A → B ශ්රිතයක් එන්නත් ශ්රිතය ලෙස හැඳින්වේ. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, එන්නත් ශ්රිතයක් මඟින් A වසමේ ඇති වෙනස් මූලද්රව්ය B කෝඩොමේනයේ ඇති වෙනස් මූලද්රව්යවලට සිතියම්ගත කර ඇති බව සහතික කරයි.
2. සර්ජෙක්ටිව් ශ්රිතය (ශ්රිතයට): B නම් කෝඩොමේනයේ සෑම මූලද්රව්යයකටම A වසමේ අවම වශයෙන් එක් මූලද්රව්යයක් සිතියම්ගත කර ඇත්නම්, f : A → B ශ්රිතයක් සර්ජෙක්ටිව් ලෙස හැඳින්වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, B නම් කෝඩොමේන් හි "හිස්" මූලද්රව්ය හෝ A වසමෙන් ප්රතිසම නොමැත.
3. ද්වි-වචන ශ්රිතය (එකකට-එක අනුරූපතාව): f : A → B ශ්රිතයක් එන්නත් සහ අධි-වචන යන දෙකම නම් එය ද්වි-වචන ලෙස හැඳින්වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ A වසමේ සෑම මූලද්රව්යයකටම B සම-වචනවල අනන්ය ප්රතිසමයක් ඇති බවත්, B සම-වචනවල සෑම මූලද්රව්යයකටම A වසමේ අනන්ය ප්රතිසමයක් ඇති බවත්ය.
නියැදි ප්රශ්න සහ සාකච්ඡා
ප්රශ්නය 1: එන්නත් කිරීමේ කාර්යය
ප්රශ්නය:
f(x) = 2x + 3 ලෙස අර්ථ දක්වා ඇති f : ℝ → ℝ ශ්රිතයක් ලබා දී ඇත. මෙම ශ්රිතය එන්නත් ශ්රිතයක් බව ඔප්පු කරන්න.
සාකච්ඡාව:
මෙම ශ්රිතය එන්නත් කරන බව ඔප්පු කිරීමට, f(a) = f(b) නම් a = b බව පෙන්විය යුතුය.
f(a) = f(b) යැයි සිතමු, අපි මෙසේ කියමු:
\[ 2a + 3 = 2b + 3 \]
දෙපැත්තෙන්ම 3 අඩු කරන්න:
\[ 2අ = 2ආ \]
දෙපැත්තෙන්ම 2 න් බෙදන්න:
\[ අ = ආ \]
f(a) = f(b) නිසා a = b ඇති වන බව අප පෙන්වා දී ඇති බැවින්, f(x) = 2x + 3 ශ්රිතය එන්නත් ශ්රිතයකි.
ප්රශ්නය 2: සර්ජෙක්ටිව් ශ්රිතය
ප්රශ්නය:
g(x) = x^3 ලෙස අර්ථ දක්වා ඇති g : ℝ → ℝ ශ්රිතයක් ලබා දී ඇත. මෙම ශ්රිතය පෘෂ්ඨීය ශ්රිතයක් බව ඔප්පු කරන්න.
සාකච්ඡාව:
මෙම ශ්රිතය සර්ජෙක්ටිව් බව ඔප්පු කිරීමට, අපි කෝඩොමේන් ℝ හි සෑම y මූලද්රව්යයක් සඳහාම, g(x) = y වන පරිදි ℝ වසමේ අවම වශයෙන් එක් මූලද්රව්යයක් x ඇති බව පෙන්විය යුතුය.
y ∈ ℝ කරමු. අපට x සොයා ගැනීමට අවශ්ය වන්නේ:
\[ x^3 = y \]
\( x = \sqrt[3]{y} \) ගන්න:
\[ g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]
කෝඩොමේන් ℝ හි සෑම y සඳහාම අපට x සොයාගත හැකි බැවින්, එය \( x = \sqrt[3]{y} \), එවිට g(x) = x^3 ශ්රිතය සරළ ශ්රිතයකි.
ප්රශ්නය 3: ද්විමාන ශ්රිත
ප්රශ්නය:
h(x) = x – 1 ලෙස අර්ථ දක්වා ඇති h : ℝ → ℝ ශ්රිතයක් දී ඇත. මෙම ශ්රිතය ද්විවාක්ය බව ඔප්පු කරන්න.
සාකච්ඡාව:
එන්නත් කිරීම:
h(x) එන්නත් කරන බව ඔප්පු කිරීමට, h(a) = h(b) නම් a = b බව පෙන්විය යුතුය.
h(a) = h(b) ලෙස සලකන්න:
\[ අ – 1 = ආ – 1 \]
දෙපැත්තෙන්ම 1ක් එකතු කරන්න:
\[ අ = ආ \]
h(a) = h(b) නිසා a = b ඇති වන බැවින්, h(x) = x – 1 ශ්රිතය එන්නත් ශ්රිතයකි.
යෝජනා ක්රමය:
h(x) යනු සර්ජෙක්ටිව් බව ඔප්පු කිරීමට, අපි codomain ℝ හි සෑම y මූලද්රව්යයක් සඳහාම, h(x) = y වන පරිදි ℝ වසමේ අවම වශයෙන් එක් මූලද්රව්යයක් x ඇති බව පෙන්විය යුතුය.
y ∈ ℝ කරමු. අපට x සොයා ගැනීමට අවශ්ය වන්නේ:
\[ x – 1 = y \]
දෙපැත්තෙන්ම 1ක් එකතු කරන්න:
\[ x = y + 1 \]
කෝඩොමේන් ℝ හි සෑම y සඳහාම අපට x = y + 1 වැනි x එකක් සොයාගත හැකි බැවින්, h(x) = x – 1 ශ්රිතය සර්ජෙක්ටිව් ශ්රිතයකි.
h(x) යනු එන්නත් සහ ශල්යකර්ම වන බැවින්, h(x) යනු ද්විවාචික ශ්රිතයකි.
ප්රශ්නය 4: ශ්රිතයේ වර්ගය තීරණය කිරීම
ප්රශ්නය:
f(x) = 2x ලෙස අර්ථ දක්වා ඇති f : ℕ → ℕ ශ්රිතයක් ලබා දී ඇත. f යනු එන්නත්, ශල්යකර්ම හෝ ද්වි-ජෛව ශ්රිතයක් දැයි තීරණය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
එන්නත් කිරීම:
මෙම ශ්රිතය එන්නත් කරන බව ඔප්පු කිරීමට, f(a) = f(b) නම් a = b බව පෙන්විය යුතුය.
f(a) = f(b) යැයි සිතමු:
\[ 2අ = 2ආ \]
දෙපැත්තෙන්ම 2 න් බෙදන්න:
\[ අ = ආ \]
එබැවින්, f(x) = 2x යනු එන්නත් ශ්රිතයකි.
යෝජනා ක්රමය:
මෙම ශ්රිතය සර්ජෙක්ටිව් බව ඔප්පු කිරීමට, අපි කෝඩොමේන් ℕ හි සෑම y මූලද්රව්යයක් සඳහාම, f(x) = y වන පරිදි ℕ වසමේ අවම වශයෙන් එක් මූලද්රව්යයක් x ඇති බව පෙන්විය යුතුය.
නමුත් කෝඩොමේන් එක ℕ (ස්වාභාවික සංඛ්යා) බව සලකන්න, f(x) = 2x ඉරට්ටේ සංඛ්යා පමණක් ලබා දෙයි. y ඔත්තේ සංඛ්යාවක් යැයි සිතමු, ℕ හි x නොමැත, එනම් 2x = y.
එබැවින්, f(x) = 2x යනු සරළ ශ්රිතයක් නොවේ.
f(x) යනු චර්යාවක් නොවන බැවින්, f(x) යනු චර්යාවක් ද නොවේ.
ඉහත විවිධ උදාහරණ මත පදනම්ව, විවිධ ශ්රිත අර්ථ දැක්වීම් වලින් ශ්රිත වර්ග (ඉන්ජෙක්ටිව්, සර්ජෙක්ටිව්, බයිජෙක්ටිව්) ඔප්පු කර හඳුනා ගන්නේ කෙසේදැයි අපට දැක ගත හැකිය. මෙම ශ්රිත තේරුම් ගැනීම ගණිතයේ සහ එහි සැබෑ ජීවිතයේ යෙදීම්වල බොහෝ අංශවල ඉතා වැදගත් වේ.
