සම්භාවිතා ව්යාප්තිය පිළිබඳ උදාහරණ ප්රශ්න සහ සාකච්ඡාව
සම්භාවිතා ව්යාප්තිය සංඛ්යාලේඛන හා සම්භාවිතාවේ මූලික සංකල්පවලින් එකකි. අහඹු සංඛ්යාවක විවිධ අගයන් ඇතිවීමේ සම්භාවිතාව තේරුම් ගැනීමට එය භාවිතා කරයි. විශ්ලේෂණය කරනු ලබන දත්තවල ස්වභාවය අනුව සම්භාවිතා ව්යාප්ති බොහෝ ආකාර ගත හැකිය. සම්භාවිතා ව්යාප්තියේ වඩාත් පොදු වර්ග දෙක විවික්ත සහ අඛණ්ඩ වේ. මෙම ලිපියෙන්, මෙම මාතෘකාව වඩා හොඳින් තේරුම් ගැනීමට උපකාර කිරීම සඳහා අපි උදාහරණ ගැටළු කිහිපයක් සමාලෝචනය කර සම්භාවිතා බෙදාහැරීම් සාකච්ඡා කරමු.
විවික්ත ව්යාප්තිය
විවික්ත ව්යාප්තියක් යනු විවික්ත අහඹු විචල්යයක සම්භාවිතාව ගණනය කරන ව්යාප්තියකි, එනම් යම් යම් අගයන් පමණක් ගත හැකි විචල්යයකි. විවික්ත ව්යාප්ති සඳහා ප්රසිද්ධ උදාහරණ වන්නේ ද්විපද ව්යාප්තිය සහ විෂ ව්යාප්තියයි.
උදාහරණය 1: ද්විපද ව්යාප්තිය
ද්විපද ව්යාප්තිය බර්නූලි අත්හදා බැලීම් මාලාවක සාර්ථකත්ව ගණන විස්තර කරයි. සෑම බර්නූලි අත්හදා බැලීමකටම ප්රතිඵල දෙකක් ඇත: සාර්ථකත්වය හෝ අසාර්ථකත්වය. අත්හදා බැලීම පුරාම සාර්ථකත්වයේ සම්භාවිතාව නියතව පවතී.
ප්රශ්නය:
ඖෂධ සමාගමක් රෝගීන් 10 දෙනෙකු සඳහා නව ඖෂධයක් පරීක්ෂා කරමින් සිටී. එම ඖෂධය ඕනෑම රෝගියෙකු තුළ ක්රියාත්මක වීමේ සම්භාවිතාව 0.7 කි. එම ඖෂධය රෝගීන් 10 දෙනෙකුගෙන් 7 දෙනෙකු තුළ හරියටම ක්රියාත්මක වීමේ සම්භාවිතාව ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡාව:
අහඹු විචල්යය \(X\) \(n = 10\) සහ \(p = 0.7\) සහිත ද්විපද ව්යාප්තියක් අනුගමනය කරයි. ද්විපද සම්භාවිතා ශ්රිතය වන්නේ:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
\(k = 7\) සඳහා:
\[ P(X = 7) = \ද්විනෝම{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
ද්විපද සංගුණකය ගණනය කිරීම \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
සම්භාවිතා අගයන් ගණනය කිරීම:
\[ P(X = 7) = 120 \වරක් (0.7)^7 \වරක් (0.3)^3 \]
\[ P(X = 7) \ආසන්න වශයෙන් 120 \times 0.0823543 \times 0.027 \]
\[ P(X = 7) \ආසන්න වශයෙන් 0.231 \]
ඉතින්, ඖෂධය රෝගීන් 10 දෙනෙකුගෙන් හරියටම 7 දෙනෙකු තුළ ක්රියාත්මක වීමේ සම්භාවිතාව 0.231 ක් හෙවත් 23.1% ක් පමණ වේ.
උදාහරණය 2: විෂ ව්යාප්තිය
දී ඇති කාල පරතරයක් හෝ අවකාශ පරතරයක් තුළ දුර්ලභ සිදුවීමක සිදුවීම් ගණන ආදර්ශනය කිරීමට පොයිසන් ව්යාප්තිය භාවිතා කරයි.
ප්රශ්නය:
පැයකට සාමාන්යයෙන් ගනුදෙනුකරුවන් 4 දෙනෙකු සාප්පුවකට පැමිණේ. පැයකට හරියටම ගනුදෙනුකරුවන් 5 දෙනෙකු සාප්පුවට පැමිණීමේ සම්භාවිතාව කුමක්ද?
සාකච්ඡාව:
අහඹු විචල්යය \(X\) \(\lambda = 4\) පරාමිතිය සහිත පොයිසන් ව්යාප්තියක් අනුගමනය කරයි. පොයිසන් සම්භාවිතා ස්කන්ධ ශ්රිතය වන්නේ:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
\(k = 5\) සඳහා:
\[ P(x = 5) = \frac{4^{-4}}{5!} \]
ගණන:
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \ආසන්න වශයෙන් \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \ආසන්න වශයෙන් 0.156 \]
ඉතින්, පැයක් තුළ ගබඩාවට හරියටම ගනුදෙනුකරුවන් 5 දෙනෙකු ලැබීමේ සම්භාවිතාව 0.156 ක් හෙවත් 15.6% ක් පමණ වේ.
අඛණ්ඩ බෙදා හැරීම
මනිනු ලබන අහඹු විචල්යයට යම් පරාසයක් තුළ ඕනෑම අගයක් ගත හැකි විට අඛණ්ඩ බෙදාහැරීම් භාවිතා වේ. අඛණ්ඩ බෙදාහැරීම් සඳහා ප්රසිද්ධ උදාහරණ වන්නේ සාමාන්ය ව්යාප්තිය සහ ඝාතීය ව්යාප්තියයි.
උදාහරණය 3: සාමාන්ය ව්යාප්තිය
සාමාන්ය ව්යාප්තිය, බොහෝ විට ගවුසියානු ව්යාප්තිය ලෙස හැඳින්වේ, එය විද්යාව, ඉංජිනේරු විද්යාව සහ ආර්ථික විද්යාව ඇතුළු විවිධ ක්ෂේත්රවල බහුලව භාවිතා වන ව්යාප්තියකි.
ප්රශ්නය:
නගරයක වැඩිහිටි පිරිමින්ගේ උස සාමාන්යයෙන් 170 cm මධ්යන්යයක් සහ 10 cm සම්මත අපගමනයකින් බෙදී යයි. අහඹු ලෙස තෝරාගත් මිනිසෙකු 160 cm සහ 180 cm අතර උසකින් යුක්ත වීමේ සම්භාවිතාව කුමක්ද?
සාකච්ඡාව:
අපි 160 cm සහ 180 cm සඳහා z-score ගණනය කළ යුතුයි. z-score පහත පරිදි අර්ථ දක්වා ඇත:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
\(X = 160\) සඳහා:
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
\(X = 180\) සඳහා:
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
දැන් අපි z වගුවේ -1 සිට 1 දක්වා සම්භාවිතා අගයන් දෙස බැලිය යුතුයි. z = -1 සිට z = 1 දක්වා අගය ආසන්න වශයෙන් 0.6826 කි.
ඉතින්, අහඹු ලෙස තෝරාගත් මිනිසෙකු සෙන්ටිමීටර 160 ත් 180 ත් අතර උසකින් යුක්ත වීමේ සම්භාවිතාව ආසන්න වශයෙන් 0.6826 හෝ 68.26% කි.
උදාහරණය 4: ඝාතීය ව්යාප්තිය
පොයිසන් ක්රියාවලියක සිදුවීම් අතර කාලය ආදර්ශනය කිරීමට ඝාතීය ව්යාප්තිය භාවිතා කරයි.
ප්රශ්නය:
වෙළඳසැලකට ගනුදෙනුකරුවන් දෙදෙනෙකු පැමිණීම අතර සාමාන්ය කාලය මිනිත්තු 15 කි. ගනුදෙනුකරුවන් දෙදෙනෙකු පැමිණීම අතර කාලය මිනිත්තු 10 කට වඩා අඩු වීමේ සම්භාවිතාව කුමක්ද?
සාකච්ඡාව:
ඝාතීය ව්යාප්තියට \(\lambda\) පරාමිතියක් ඇත, එය මධ්යන්යයේ (\(\mu\)) ප්රතිලෝමය වේ. මිනිත්තු 15 ක මධ්යන්යයක් සමඟ:
\[ \ලැම්බඩා = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
ඝාතීය සමුච්චිත ව්යාප්ති ශ්රිතය වන්නේ:
\[ P(X \leq x) = 1 – e^{-\lambda x} \]
\(x = 10\) සඳහා:
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.0667 \times 10} \]
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X \leq 10) \ආසන්න වශයෙන් 1 – 0.5134 \]
\[ P(X \leq 10) \ආසන්න වශයෙන් 0.4866 \]
ඉතින්, ගනුදෙනුකරුවන් දෙදෙනෙකුගේ පැමිණීම් අතර කාලය මිනිත්තු 10 කට වඩා අඩු වීමේ සම්භාවිතාව 0.4866 ක් හෙවත් 48.66% ක් පමණ වේ.
නිගමනය
සම්භාවිතා ව්යාප්ති, විවික්ත සහ අඛණ්ඩ යන දෙකම, අහඹු විචල්යයන්ගේ හැසිරීම් ආකෘතිකරණය සහ අවබෝධය සඳහා ඉතා ප්රයෝජනවත් සංකල්ප වේ. ද්විපද සහ පොයිසන් ව්යාප්ති බොහෝ විට විවික්ත විචල්ය සඳහා භාවිතා වන අතර, සාමාන්ය සහ ඝාතීය ව්යාප්ති අඛණ්ඩ ව්යාප්ති සඳහා උදාහරණ වේ.
ඉහත උදාහරණ හරහා, සම්භාවිතා ව්යාප්තියන්හි සම්භාවිතා ගණනය කර අර්ථ නිරූපණය කරන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳව ඔබට වඩා හොඳ අවබෝධයක් ලැබී ඇතැයි අපි බලාපොරොත්තු වෙමු. ස්ථාවර පුහුණුවක් සමඟ, සම්භාවිතා ව්යාප්තිය තේරුම් ගැනීමේ ඔබේ හැකියාව වැඩිදියුණු වන අතර විවිධ විෂයයන් හරහා යෙදිය හැකිය.
