ද්විපද ව්‍යාප්තිය පිළිබඳ සාකච්ඡා ප්‍රශ්නයක උදාහරණයක්

ද්විපද ව්‍යාප්තිය පිළිබඳ උදාහරණ ප්‍රශ්න සහ සාකච්ඡාව

ද්විපද ව්‍යාප්තිය යනු බහුලව භාවිතා වන විවික්ත සම්භාවිතා ව්‍යාප්තියකි. එය සමාන, ස්වාධීන අත්හදා බැලීම් ගණනාවක් හරහා සාර්ථකත්ව ගණන ආදර්ශනය කිරීම සඳහා ප්‍රයෝජනවත් වන අතර, ඒ සෑම එකක්ම සාර්ථකත්වයක් හෝ අසාර්ථකත්වයක් ඇති කරයි. මෙම ලිපියෙන්, උදාහරණ කිහිපයක් සහ සවිස්තරාත්මක සාකච්ඡාවක් ලබා දීමෙන් අපි ද්විපද ව්‍යාප්තිය ගැඹුරින් සොයා බලමු.

ද්විපද ව්‍යාප්තිය පිළිබඳ හැඳින්වීම

ද්විපද ව්‍යාප්තියේ ප්‍රධාන ලක්ෂණ:

1. n : අත්හදා බැලීම් හෝ පුනරාවර්තන ගණන.
2. p : සෑම අත්හදා බැලීමකම සාර්ථකත්වයේ සම්භාවිතාව.
3. q = 1-p : සෑම අත්හදා බැලීමකදීම අසාර්ථක වීමේ සම්භාවිතාව.

ද්විපද ව්‍යාප්තියේ සම්භාවිතා ස්කන්ධ ශ්‍රිතය වන්නේ:

\[ P(X = k) = {n \තෝරන්න k} p^k (1-p)^{nk} \]

කොහෙද:

– \( {n \තෝරන්න k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): සාර්ථකත්ව ගණන නිරූපණය කරන අහඹු විචල්‍යයකි.
– \( k \): අපේක්ෂා කළ සාර්ථකත්වයන් ගණන.

නියැදි ප්‍රශ්න සහ සාකච්ඡා

ද්විපද ව්‍යාප්තිය පිළිබඳ සංකල්පය වඩාත් විස්තරාත්මකව තේරුම් ගැනීමට උදාහරණ ගැටළු කිහිපයකින් පටන් ගනිමු.

උදාහරණය 1: ශිෂ්‍ය කණ්ඩායමකින් තෝරා ගැනීම

උදාහරණයක් ලෙස, අපට සිසුන් 10 දෙනෙකුගෙන් යුත් කණ්ඩායමක් සිටින අතර, එක් එක් ශිෂ්‍යයා තරඟයකට සහභාගී වීමට තෝරා ගැනීමේ සම්භාවිතාව 0,3 ක් යැයි සිතමු. අපට දැන ගැනීමට අවශ්‍ය වන්නේ හරියටම සිසුන් 4 දෙනෙකු තෝරා ගැනීමේ සම්භාවිතාවය.

පියවර 1: ද්විපද ව්‍යාප්තියේ පරාමිතීන් හඳුනා ගන්න.
– \( එන් = 10 \)
– \( පි = 0.3 \)

පියවර 2: \( X = 4 \) හි සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමට ද්විපද ව්‍යාප්තිය භාවිතා කරන්න.

\[ P(X = 4) = {10 \තෝරන්න 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]

ගණනය කරමින් \( {10 \තෝරන්න 4} \):

\[ {10 \තෝරන්න 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]

දැන් \( (0.3)^4 \) සහ \( (0.7)^6 \) ගණනය කරන්න:

\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]

ඉතින්,

\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \ආසන්න වශයෙන් 0.20012 \]

ඉතින්, හරියටම සිසුන් 4 දෙනෙකු තෝරා ගැනීමේ සම්භාවිතාව ආසන්න වශයෙන් 0.20012 හෝ 20.012% කි.

උදාහරණ 2: සම්භාවිතාව 2 ට වඩා අඩු හෝ සමාන

දැන්, උදාහරණයක් ලෙස, සිසුන් 2 කට වඩා අඩු හෝ සමාන සංඛ්‍යාවක් තෝරා ගැනීමේ සම්භාවිතාව පිළිබඳව අපෙන් විමසනු ලැබේ.

පියවර 1: අපි \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), සහ \( P(X = 2) \) ගණනය කළ යුතුයි.

– \( P(X = 0) \ සඳහා):

\[ P(X = 0) = {10 \තෝරන්න 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \තෝරන්න 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]

– \( P(X = 1) \ සඳහා):

\[ P(X = 1) = {10 \තෝරන්න 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \තෝරන්න 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]

– \( P(X = 2) \ සඳහා):

\[ P(X = 2) = {10 \තෝරන්න 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \තෝරන්න 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]

පියවර 2: සම්භාවිතා එකතු කරන්න.

\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X \leq 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]

එබැවින්, සිසුන් 2 කට වඩා අඩු හෝ සමාන සංඛ්‍යාවක් තෝරා ගැනීමේ සම්භාවිතාව ආසන්න වශයෙන් 0.7740671 හෝ 77.41% කි.

උදාහරණය 3: අවම වශයෙන් 8 ක සම්භාවිතාව

අත්හදා බැලීමක් 12 වතාවක් සිදු කර, එක් එක් අත්හදා බැලීමේ සාර්ථකත්ව සම්භාවිතාව 0.5 ක් නම්, අවම වශයෙන් සාර්ථකත්ව 8 ක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව කුමක්ද?

පියවර 1: ද්විපද පරාමිතීන් සකසන්න: \( n = 12, p = 0.5 \).

පියවර 2 : \( X \geq 8 \) සඳහා සම්භාවිතාව සොයන්න.

මේ සඳහා තනි තනි සම්භාවිතාවන් කිහිපයක් ගණනය කර ඒවා එකතු කිරීම අවශ්‍ය වේ:

\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]

එකින් එක ගණන් කරන්න:

– \( P(X = 8) \ සඳහා):

\[ P(X = 8) = {12 \තෝරන්න 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \තෝරන්න 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]

– \( P(X = 9) \ සඳහා):

\[ P(X = 9) = {12 \තෝරන්න 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \තෝරන්න 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]

– \( P(X = 10) \ සඳහා):

\[ P(X = 10) = {12 \තෝරන්න 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \තෝරන්න 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]

– \( P(X = 11) \ සඳහා):

\[ P(X = 11) = {12 \තෝරන්න 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \තෝරන්න 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]

– \( P(X = 12) \ සඳහා):

\[ P(X = 12) = {12 \තෝරන්න 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \තෝරන්න 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]

පියවර 3: සියලු සම්භාවිතා එකතු කරන්න.

\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \ආසන්න වශයෙන් 0.1938477 \]

එබැවින්, අත්හදා බැලීම් 12 කදී අවම වශයෙන් සාර්ථකත්ව 8 ක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව ආසන්න වශයෙන් 0.1938477 හෝ 19.38% කි.

නිගමනය

ද්විපද ව්‍යාප්තිය සංඛ්‍යාලේඛනවල මූලික සංකල්පයක් වන අතර එය බොහෝ ප්‍රායෝගික යෙදීම්වල තීරණාත්මක වේ. ඉහත උදාහරණවල පෙන්වා ඇති පරිදි, ද්විපද ව්‍යාප්තියේ විවිධ අවස්ථා සඳහා සම්භාවිතාව ගණනය කරන්නේ කෙසේදැයි තේරුම් ගැනීමෙන්, අපට මෙම සංකල්පය සැබෑ ලෝක තත්වයන් තුළ යෙදිය හැකිය. පැහැදිලි සහ සංවිධානාත්මක සන්දර්භයක් තුළ සම්භාවිතා ව්‍යුහයන් ක්‍රියා කරන ආකාරය පිළිබඳ අපගේ අවබෝධය මෙම අභ්‍යාසය ශක්තිමත් කරයි.