සංකීර්ණ සංඛ්යා සාකච්ඡා කරන උදාහරණ ප්රශ්න
සංකීර්ණ සංඛ්යා යනු උසස් පාසල් සහ විශ්ව විද්යාල මට්ටම් දෙකෙහිම ගණිතයේ නිතර හමුවන මාතෘකාවකි. සංකීර්ණ සංඛ්යා කොටස් දෙකකින් සමන්විත වේ: තාත්වික කොටසක් සහ මනඃකල්පිත කොටසක්. සාම්ප්රදායික අංකනය භාවිතා කරමින්, සංකීර්ණ සංඛ්යාවක් \( z = a + bi \) ලෙස ලියා ඇත, එහිදී \( a \) සහ \( b \) තාත්වික සංඛ්යා වන අතර, \( i \) යනු \( i^2 = -1 \) ගුණය සහිත මනඃකල්පිත ඒකකයයි. මෙම ලිපියෙන් මූලික මෙහෙයුම්වල සිට ගැටළු විසඳීමේ යෙදුම් දක්වා සංකීර්ණ සංඛ්යා සම්බන්ධයෙන් උදාහරණ කිහිපයක් සහ ඒවායේ සාකච්ඡාව ආවරණය කෙරේ.
නියැදි ප්රශ්න සහ සාකච්ඡා
1. සංකීර්ණ සංඛ්යා එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම
ප්රශ්නය 1
\( z_1 = 3 + 4i \) සහ \( z_2 = 1 – 2i \) ඉඩ දෙන්න. \( z_1 + z_2 \) සහ \( z_1 – z_2 \) ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡා
සංකීර්ණ සංඛ්යා එකතු කිරීමට හෝ අඩු කිරීමට, අපි සරලව සැබෑ කොටස සැබෑ එක සමඟත්, අතාත්වික කොටස අතාත්වික එක සමඟත් ක්රියාත්මක කරමු.
ඊට අමතරව:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 - 2i) = (3 + 1) + (4i - 2i) = 4 + 2i
\]
අඩු කිරීම:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]
එබැවින්, \( z_1 + z_2 = 4 + 2i \) සහ \( z_1 – z_2 = 2 + 6i \).
2. සංකීර්ණ සංඛ්යා ගුණ කිරීම
ප්රශ්නය 2
\( z_1 = 2 + 3i \) හි ගුණිතය \( z_2 = 4 – i \) මගින් ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡා
සංකීර්ණ සංඛ්යා දෙකක් ගුණ කිරීම සඳහා, අපි වීජ ගණිතයේ ව්යාප්ති ගුණය භාවිතා කරමු:
\[
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]
අපි එක් එක් සංරචකය ගුණ කරමු:
\[
2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)
\]
\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]
\( i^2 = -1 \) සිට, එසේ නම්:
\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]
එබැවින්, ගුණිතය \( z_1 \cdot z_2 \) යනු \( 11 + 10i \) වේ.
3. සංකීර්ණ සංඛ්යා බෙදීම
ප්රශ්නය 3
\( z_1 = 3 + 4i \) හි ප්රතිශතය \( z_2 = 1 – i \) මගින් ගණනය කරන්න.
සාකච්ඡා
සංකීර්ණ සංඛ්යාවක් බෙදීම සඳහා, අපි සංකීර්ණ සංඛ්යාවේ හරයේ සංයෝජකයෙන් සංඛ්යාව සහ හරය ගුණ කරමු. \( 1 – i \) හි සංයෝජකය \( 1 + i \) වේ.
\[
\frac{3 + 4i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]
අපි මුලින්ම හරය ගණනය කරමු:
\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]
දැන් අපි සංඛ්යාංකය ගණනය කරමු:
\[
(3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4(-1) = 3 + 7i - 4 = -1 + 7i
\]
ඉතින්, ප්රතිඵලය:
\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]
4. සංකීර්ණ සංඛ්යා වල මොඩියුලස් සහ තර්කය
ප්රශ්නය 4
\( z = 1 + i \) හි මොඩියුලය සහ තර්කය නිර්ණය කරන්න.
සාකච්ඡා
සංකීර්ණ සංඛ්යාවක මොඩියුලස් \( z = a + bi \) වන්නේ:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
\( z = 1 + i \) සඳහා, අපට \( a = 1 \) සහ \( b = 1 \):
\[
|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]
සංකීර්ණ සංඛ්යාවක තර්කය වන්නේ ධන තාත්වික අක්ෂය සමඟ සාදන ලද කෝණය \( \theta \) වන අතර එය මූල ලක්ෂ්යයේ සිට \( (a, b) \) දෙසට මනිනු ලැබේ.
\[
\තීටා = \tan^{-1}\වම(\frac{b}{a}\දකුණ)
\]
\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]
ඉතින්, \( z = 1 + i \) හි මොඩියුලය \( \sqrt{2} \) වන අතර තර්කය \( \frac{\pi}{4} \) වේ.
5. ඝාතීය ආකෘතිය සහ ඉයුලර් රටාව
ප්රශ්නය 5
සංකීර්ණ සංඛ්යාව \( z = 1 + i \) ඝාතීය ආකාරය බවට පරිවර්තනය කරන්න.
සාකච්ඡා
ඉයුලර් සූත්රය භාවිතා කරමින් සංකීර්ණ සංඛ්යාවල ඝාතීය ආකාරය:
\[
z = re^{i\theta}
\]
\( r \) යනු මොඩියුලස් වන අතර \( \theta \) යනු තර්කයයි. පෙර සාකච්ඡාවෙන්, අපි දන්නේ:
\[
r = \sqrt{2}, \quad \theta = \frac{\pi}{4}
\]
ඉතින්, ඝාතීය ආකාරය වන්නේ:
\[
z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}
\]
6. සංකීර්ණ සංඛ්යා වල මූලයන්
ප්රශ්නය 6
\( z = -1 \) යන සංකීර්ණ සංඛ්යාවේ වර්ගමූල සොයන්න.
සාකච්ඡා
සංකීර්ණ සංඛ්යාවල වර්ග මූලයන් ධ්රැවීය හෝ ඝාතීය ආකාරය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය. අපි \( z = -1 \) ඝාතීය ආකාරය බවට පරිවර්තනය කරමු:
\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]
\( e^{i\pi} \) හි වර්ගමූලය මෙසේ ලිවිය හැකිය:
\[
z_k = \sqrt{r} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/n}
\]
\( r = 1 \), \( \theta = \pi \), \( n = 2 \), සහ \( k = 0, 1 \) සමඟ:
\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]
\[
z_1 = e^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]
ඉතින්, \( -1 \) හි වර්ග මූලයන් \( i \) සහ \( -i \) වේ.
7. චතුරස්ර සමීකරණවල යෙදුම්
ප්රශ්නය 7
\( z^2 + 4z + 13 = 0 \) යන චතුරස්ර සමීකරණය විසඳන්න.
සාකච්ඡා
අපට චතුරස්ර සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය:
\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
\( z^2 + 4z + 13 = 0 \) සමීකරණය සඳහා:
\[
a = 1, b = 4, c = 13
\]
\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]
ඉතින්, \( z^2 + 4z + 13 = 0 \) හි විසඳුම් \( z = -2 + 3i \) සහ \( z = -2 – 3i \) වේ.
නිගමනය
සංකීර්ණ සංඛ්යා යනු බොහෝ යෙදුම් සහිත ඉතා පුළුල් ගණිතමය සංකල්පයකි. එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, ගුණ කිරීම සහ බෙදීම වැනි මූලික මෙහෙයුම් මෙන්ම මොඩියුලස් සහ තර්කය ගණනය කරන ආකාරය තේරුම් ගැනීමෙන්, අපට සංකීර්ණ සංඛ්යා සම්බන්ධ විවිධ ගැටළු විසඳා ගත හැකිය. ඉහත උදාහරණ ඔබට මෙම මාතෘකාව වඩා හොඳින් තේරුම් ගැනීමට සහ ප්රගුණ කිරීමට උපකාරී වනු ඇතැයි අපි බලාපොරොත්තු වෙමු.
