අන්යෝන්ය වශයෙන් බැහැර නොවන සිදුවීම් දෙකක් A සහ B එකතු කිරීමේ රීතිය සාකච්ඡා කරන උදාහරණ ප්රශ්න
පෙන්ඩහුලුවන්
සම්භාවිතාවයේ දී, මූලික සංකල්ප සහ ඒවායේ යෙදීම් තේරුම් ගැනීම ඉතා වැදගත් වේ. නිතර පැන නගින සංකල්පයක් වන්නේ සම්භාවිතා එකතු කිරීමේ රීතියයි. මෙම ලිපියෙන්, අපි අනන්ය නොවන සිදුවීම් දෙකක් සඳහා එකතු කිරීමේ රීතිය ගැඹුරින් සොයා බලමු. අනන්ය නොවන සිදුවීම් සිදුවන්නේ සිදුවීම් දෙකක් විය හැකි මූලද්රව්යයක් බෙදා ගන්නා විටය, නැතහොත් වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සිදුවීම් දෙකම එකවර සිදුවිය හැකිය. තේරුම් ගැනීම පහසු කිරීම සඳහා, උදාහරණ ගැටලුවක් සහ එහි පැහැදිලි කිරීම දෙස බලමු.
මූලික සිද්ධාන්තය
අපට A සහ B සිදුවීම් දෙකක් අන්යෝන්ය වශයෙන් බැහැර නොවේ නම්, A හෝ B සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ගණනය කිරීම සඳහා එකතු කිරීමේ රීතිය මෙසේ ප්රකාශ කළ හැකිය:
\[ P(A \කුසලාන B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
මෙතන:
– \( P(A \cup B) \) යනු A හෝ B (හෝ දෙකම) ඇතිවීමේ සම්භාවිතාවයි.
– \( P(A) \) යනු A සිදුවීම සිදුවීමේ සම්භාවිතාවයි.
– \( P(B) \) යනු B සිදුවීම සිදුවීමේ සම්භාවිතාවයි.
– \( P(A \cap B) \) යනු A සහ B එකවර සිදුවීමේ සම්භාවිතාවයි.
ගැටළු උදාහරණය
ප්රශ්නය 1: පාසලක, සිසුන්ගෙන් 70% ක් පාපන්දු ක්රීඩා කිරීමට කැමතියි (ඉසව්ව A), සිසුන්ගෙන් 40% ක් පැසිපන්දු ක්රීඩා කිරීමට කැමතියි (ඉසව්ව B), සහ සිසුන්ගෙන් 20% ක් ක්රීඩා දෙකම කිරීමට කැමතියි. ශිෂ්යයෙකු පාපන්දු හෝ පැසිපන්දු ක්රීඩා කිරීමට කැමති වීමේ සම්භාවිතාව කුමක්ද?
සාකච්ඡාව:
එය දන්නවා:
– \( පී(ඒ) = 0.70 \)
– \( පී(බී) = 0.40 \)
– \( P(A \cap B) = 0.20 \)
අන්යෝන්ය වශයෙන් බැහැර සිදුවීම් දෙකක් එකතු කිරීමේ රීතිය භාවිතා කරමින්:
\[ P(A \කුසලාන B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \කුසලාන B) = 0.70 + 0.40 – 0.20 \]
\[ P(A \කුසලාන B) = 0.90 \]
ඉතින්, ශිෂ්යයෙකු පාපන්දු හෝ පැසිපන්දු ක්රීඩා කිරීමට කැමති වීමේ සම්භාවිතාව 0.90 හෝ 90% කි.
ප්රශ්නය 2: සමීක්ෂණයකදී, ප්රතිචාර දැක්වූවන්ගෙන් 35% ක් කෝපි (සිදුවීම A), ප්රතිචාර දැක්වූවන්ගෙන් 50% ක් තේ (සිදුවීම B) සහ ප්රතිචාර දැක්වූවන්ගෙන් 10% ක් දෙකම කැමති විය. ප්රතිචාර දක්වන්නෙකු කෝපි හෝ තේ වලට කැමති වීමේ සම්භාවිතාව කුමක්ද?
සාකච්ඡාව:
එය දන්නවා:
– \( පී(ඒ) = 0.35 \)
– \( පී(බී) = 0.50 \)
– \( P(A \cap B) = 0.10 \)
අන්යෝන්ය වශයෙන් බැහැර සිදුවීම් දෙකක් එකතු කිරීමේ රීතිය භාවිතා කරමින්:
\[ P(A \කුසලාන B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \කුසලාන B) = 0.35 + 0.50 – 0.10 \]
\[ P(A \කුසලාන B) = 0.75 \]
එබැවින්, ප්රතිචාර දක්වන්නෙකු කෝපි හෝ තේ වලට කැමති වීමේ සම්භාවිතාව 0.75 හෝ 75% කි.
ප්රශ්නය 3: සංඛ්යාලේඛන දත්ත අනුව, 60% ක් පොත් කියවීමට කැමති බවත් (සිදුවීම A), 30% ක් චිත්රපට නැරඹීමට කැමති බවත් (සිදුවීම B) සහ 15% ක් දෙකම කිරීමට කැමති බවත් දන්නා කරුණකි. පුද්ගලයෙකු පොත් කියවීමට හෝ චිත්රපට නැරඹීමට කැමති වීමේ සම්භාවිතාව කුමක්ද?
සාකච්ඡාව:
එය දන්නවා:
– \( පී(ඒ) = 0.60 \)
– \( පී(බී) = 0.30 \)
– \( P(A \cap B) = 0.15 \)
අන්යෝන්ය වශයෙන් බැහැර සිදුවීම් දෙකක් එකතු කිරීමේ රීතිය භාවිතා කරමින්:
\[ P(A \කුසලාන B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \කුසලාන B) = 0.60 + 0.30 – 0.15 \]
\[ P(A \කුසලාන B) = 0.75 \]
ඉතින්, පුද්ගලයෙකු පොත් කියවීමට හෝ චිත්රපට නැරඹීමට කැමති වීමේ සම්භාවිතාව 0.75 හෝ 75% කි.
ප්රශ්නය 4: අවන්හලක කරන ලද සමීක්ෂණයකින්, ගනුදෙනුකරුවන්ගෙන් 55% ක් පීසා (සිදුවීම A), ගනුදෙනුකරුවන්ගෙන් 35% ක් පැස්ටා (සිදුවීම B) ඇණවුම් කළ අතර, ගනුදෙනුකරුවන්ගෙන් 20% ක් දෙකම ඇණවුම් කළහ. ගනුදෙනුකරුවෙකු පීසා හෝ පැස්ටා ඇණවුම් කිරීමේ සම්භාවිතාව කුමක්ද?
සාකච්ඡාව:
එය දන්නවා:
– \( පී(ඒ) = 0.55 \)
– \( පී(බී) = 0.35 \)
– \( P(A \cap B) = 0.20 \)
අන්යෝන්ය වශයෙන් බැහැර සිදුවීම් දෙකක් එකතු කිරීමේ රීතිය භාවිතා කරමින්:
\[ P(A \කුසලාන B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \කුසලාන B) = 0.55 + 0.35 – 0.20 \]
\[ P(A \කුසලාන B) = 0.70 \]
ඉතින්, ගනුදෙනුකරුවෙකු පීසා හෝ පැස්ටා ඇණවුම් කිරීමේ සම්භාවිතාව 0.70 හෝ 70% කි.
නිගමනය
සම්භාවිතාව අධ්යයනය කිරීමේදී, එක් හෝ දෙකම එකවර සිදුවීමේ සම්භාවිතාව තීරණය කිරීම සඳහා, A සහ B යන සුවිශේෂී නොවන සිදුවීම් දෙකක් එකතු කිරීමේ රීතිය ඉතා වැදගත් වේ. \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \) සූත්රය භාවිතා කිරීමෙන් ඡේදනය හෝ පොදු මූලද්රව්යයක් ඇති සිදුවීම් දෙකක ඒකාබද්ධ සම්භාවිතාව ගණනය කිරීම පහසු කරයි.
ඉහත උදාහරණ හරහා, මෙම ගණනය කිරීමේ මූලික පියවර තේරුම් ගැනීමෙන් අධ්යාපනය, සමීක්ෂණ හෝ එදිනෙදා ජීවිතයේදී විවිධ අවස්ථාවන්හිදී එය යෙදීමට අපට ඉඩ සලසන බව අපට දැකගත හැකිය. කුමන සිදුවීම්වලට අංග බෙදා ගන්නේද යන්න හඳුනා ගැනීමේදී පැහැදිලිකම සහ නිරවද්යතාවය සම්භාවිතාව නිවැරදිව ගණනය කිරීම සඳහා ඉතා වැදගත් වේ. එබැවින්, ස්ථාවර පුහුණුව සහ මූලික සංකල්ප පිළිබඳ අවබෝධය මෙම මාතෘකාව ප්රගුණ කිරීමට බෙහෙවින් උපකාරී වනු ඇත.
