گھٽ ۾ گھٽ واپسي جي قيمت ۽ وڌ ۾ وڌ واپسي جي قيمت جي انتهائي پوائنٽن تي بحث ڪندڙ مثال سوال

مثال طور انتهائي پوائنٽس جا سوال ۽ بحث: گھٽ ۾ گھٽ واپسي جي قيمت ۽ وڌ ۾ وڌ واپسي جي قيمت

انتهائي پوائنٽس جو تعين ڪرڻ، اهي پوائنٽس جن تي هڪ فنڪشن پنهنجي گهٽ ۾ گهٽ يا وڌ ۾ وڌ قدر تائين پهچي ٿو، حساب ۽ رياضياتي تجزيي ۾ هڪ بنيادي تصور آهي. هن آرٽيڪل ۾، اسان گهٽ ۾ گهٽ ۽ وڌ ۾ وڌ واپسي جي قدرن سان لاڳاپيل ڪيترن ئي مثالن جي مسئلن ذريعي انتهائي پوائنٽس کي ڪيئن ڳولڻ ۽ تجزيو ڪرڻ جي ڳولا ڪنداسين.

موضوع جون وصفون ۽ نظريا

مثال جي مسئلن تي بحث ڪرڻ کان اڳ، اسان کي ڪجھ بنيادي تصورن ۽ نظرين کي سمجهڻ جي ضرورت آهي:

1. نازڪ نقطو: اهو \( x \) جو قدر آهي جتي فنڪشن \( f(x) \) جو پهريون مشتق \( f'(x) \) صفر آهي يا موجود ناهي.
2. وڌ ۾ وڌ واپسي جي قيمت: ڇا \( f(x) \) جي قيمت ان نقطي جي چوڌاري \( f(x) \) جي قيمت کان وڌيڪ آهي.
3. گھٽ ۾ گھٽ واپسي جي قيمت: ڇا \( f(x) \) جي قيمت آهي جيڪا ان نقطي جي چوڌاري \( f(x) \) جي قيمت کان ننڍي آهي.
4. فرميٽ جو ٿيوريم: جيڪڏهن \( f \) جي مقامي انتهائي قدر \( c \) تي آهي ۽ مشتق \( f'(c) \) موجود آهي، ته پوءِ \( f'(c) = 0 \).

مثال سوال 1: چوطرفي ڪم

پهرين، اسان هڪ سادي چوٿائي فعل سان شروع ڪريون ٿا:

\[ ف(ايڪس) = 2x^2 – 4x + 1 \]

مرحلا:

1. \( f'(x) \ جو پهريون مشتق ڳولهيو):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x + 1) = 4x – 4
\]

2. \( f'(x) = 0 \) حل ڪندي اهم نقطا ڳوليو:
\[
4x – 4 = 0 \ مطلب x = 1
\]

3. نازڪ نقطي تي فنڪشن جي قيمت جو تعين ڪريو:
\[
f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1
\]

4. نقطي جي نوعيت کي طئي ڪرڻ لاءِ ٻئي مشتق کي استعمال ڪريو:
\[
f”(x) = \frac{d}{dx}(4x – 4) = 4
\]
جيئن ته \( f”(1) > 0 \)، نقطو \( x = 1 \) هڪ مقامي گهٽ ۾ گهٽ نقطو آهي.

مثال سوال 2: پولينوميل افعال

هاڻي اچو ته هڪ وڌيڪ پيچيده پولينوميل فنڪشن سان ڪوشش ڪريون:

\[ جي (x) = x^3 – 3x^2 + 2 \]

مرحلا:

1. پهرين مشتق \( g'(x) \) جو تعين ڪريو:
\[
جي'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2) = 3x^2 – 6x
\]

2. \( g'(x) = 0 \) حل ڪندي اهم نقطا ڳوليو:
\[
3x^2 – 6x = 0 \ مطلب 3x(x – 2) = 0 \ مطلب x = 0 \ متن { ​​يا } x = 2
\]

3. نازڪ نقطي تي فنڪشن جي قيمت جو تعين ڪريو:
\[
جي(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2
\]
\[
جي(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = -2
\]

4. نقطي جي نوعيت کي طئي ڪرڻ لاءِ ٻئي مشتق کي استعمال ڪريو:
\[
جي”(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 6x) = 6x – 6
\]
\[
g”(0) = 6(0) – 6 = -6 \quad (\text{مقامي وڌ ۾ وڌ قدر})
\]
\[
g”(2) = 6(2) – 6 = 6 \quad (\text{مقامي گھٽ ۾ گھٽ قدر})
\]

تنهن ڪري، \( g(x) \) جي مقامي وڌ ۾ وڌ \( x = 0 \) ۽ مقامي گهٽ ۾ گهٽ \( x = 2 \) تي آهي.

مثال سوال 3: ماورائي افعال

اچو ته هڪ فنڪشن تي نظر وجهون جنهن ۾ ايڪسپونٽيشن شامل آهي:

\[ ايڇ (ايڪس) = ايڪس ^ {-ايڪس} \]

مرحلا:

1. پهرين مشتق \( h'(x) \) جو تعين ڪريو:
\[
h'(x) = frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = (1 - x)e^{-x}
\]

2. \( h'(x) = 0 \) حل ڪندي نازڪ نقطو ڳوليو:
\[
(1 – x)e^{-x} = 0 \ مطلب 1 – x = 0 \ مطلب x = 1
\]

3. نازڪ نقطي تي فنڪشن جي قيمت جو تعين ڪريو:
\[
ايڇ(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}
\]

4. نقطي جي نوعيت کي طئي ڪرڻ لاءِ ٻئي مشتق کي استعمال ڪريو:
\[
ح”(x) = \frac{d}{dx}((1 – x)e^{-x}) = -e^{-x} – (1 – x)e^{-x} = (x – 2)e^{-x}
\]
\[
h”(1) = (1 – 2)e^{-1} = -\frac{1}{e}
\]
جيئن ته \( h”(1) < 0 \)، نقطو \( x = 1 \) هڪ مقامي وڌ ۾ وڌ آهي. مثال مسئلو 4: عقلي ڪم آخرڪار، اسان عقلي ڪم جو جائزو وٺون ٿا: \[ k(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \] قدم: 1. ڪوئينٽ قاعدي کي استعمال ڪندي پهريون مشتق ڳولهيو: \[ k'(x) = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \] 2. \( k'(x) = 0 \) کي حل ڪندي نازڪ نقطا ڳوليو: \[ \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} = 0 \مطلب x^2 - 2 = 0 \ مطلب x = \pm \sqrt{2} \] 3. نازڪ نقطي تي فنڪشن جي قيمت جو تعين ڪريو: \[ k(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{1} = 4 + 4\sqrt{2} \] \[ k(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2 + 2(-\sqrt{2})}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{-\sqrt{2} - 1} \times \frac{-\sqrt{2} + 1}{-\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 - 2\sqrt{2})(-\sqrt{2} + 1)}{1} = -4 + 4\sqrt{2} \] 4. نقطي جي خاصيتن کي جانچڻ لاءِ ٻئي نڪتل کي استعمال ڪريو: \[ k''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \right) \] وڌيڪ حساب ڪتاب \( k'(x) \) کي فرق ڪندي ڪري سگهجي ٿو نتيجا ظاهر ڪندا ته ڇا \( x = \sqrt{2} \) ۽ \( x = -\sqrt{2} \) مقامي وڌ ۾ وڌ يا گھٽ ۾ گھٽ نقطا آهن. نتيجو هن آرٽيڪل ۾، اسان ڪيترن ئي مثالن جي مسئلن تي بحث ڪيو آهي جيڪي ڏيکارين ٿا ته مختلف قسمن جي ڪمن جي ايڪسٽريما، يعني گھٽ ۾ گھٽ ۽ وڌ ۾ وڌ الٽي قدرن کي ڪيئن ڳولجي. استعمال ٿيندڙ طريقن ۾ نازڪ نقطا ڳولڻ لاءِ پھريون نڪتل ڳولڻ، پوائنٽن جي نوعيت کي طئي ڪرڻ لاءِ ٻئي نڪتل کي استعمال ڪرڻ، ۽ جائزو وٺڻ شامل آهن. انهن نقطن تي ڪم. هي حسابن ۾ ڪم ڪندڙ تجزيي ۾ وڌيڪ گہرائي ۾ وڃڻ لاءِ هڪ مضبوط بنياد آهي.