جزو جي لحاظ کان ویکٹر جي اضافي تي بحث ڪندڙ مثال سوال
ویکٹر اضافو فزڪس ۽ رياضي ۾ هڪ بنيادي طريقو آهي جيڪو ٻن يا وڌيڪ ویکٹرن جي نتيجي کي ڳولڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي. ویکٹر اضافو حل ڪرڻ لاءِ جزو وار طريقو هڪ خاص طور تي مفيد طريقو آهي، خاص طور تي جڏهن ٻن يا ٽن طول و عرض ۾ ویکٹرن سان معاملو ڪيو وڃي. هي مضمون جزو وار ویکٹر اضافو جي تصور جي وضاحت ڪندو ۽ ڪيترائي مثال مسئلا ۽ حل فراهم ڪندو.
جزوي ویکٹر اضافي جو تصور
ٻه-dimensional (2D) خلا ۾ هر ویکٹر کي ٻن حصن ۾ ورهائي سگهجي ٿو: هڪ x (افقي) جزو ۽ هڪ y (عمودي) جزو. ٽن طول و عرض (3D) ۾، ویکٹرن ۾ هڪ اضافي جزو هوندو آهي، z (گہرائي) جزو.
فرض ڪريو ته اسان وٽ ٻہ ویکٹر A ۽ B آهن. انهن ویکٹرن جي جزن کي هن ريت بيان ڪري سگهجي ٿو:
- ویکٹر A ۾ 2D ۾ جزا \(A_x\) ۽ \(A_y\) آهن (يا 3D ۾ \(A_z\) پڻ).
- ویکٹر B ۾ 2D ۾ جزا \(B_x\) ۽ \(B_y\) آهن (يا 3D ۾ \(B_z\) پڻ).
انهن ٻن ویکٹرن جي اضافي سان هڪ نتيجو ڏيندڙ ویکٹر R پيدا ٿيندو جنهن ۾ هيٺيان جزا هوندا:
\[ آر_ايڪس = اي_ايڪس + بي_ايڪس \]
\[ آر_وائي = اي_وائي + بي_وائي \]
3D ۾ ویکٹرز لاءِ، z جزو پڻ هيٺ ڏنل آهي:
\[ آر_ز = اي_ز + بي_ز \]
نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر جي هر جزو کي ڳڻڻ کان پوءِ، اسان فارمولا استعمال ڪندي نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر جي ماڊيولس (شدت) ۽ هدايت ڳولي سگهون ٿا:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (2D لاءِ)
يا 3D لاءِ:
\[ | آر| = \اسڪوارٽ{آر_ايڪس ^ 2 + آر_اي ^ 2 + آر_ز ^ 2} \]
۽ نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر جي هدايت ڪوآرڊينيٽ محور جي زاويه سان طئي ڪري سگهجي ٿي.
نموني سوال ۽ بحث
سوال 1
هڪ ٻه-dimensional جهاز ۾ ٻه ویکٹر ڏنا ويا آهن:
– الف اوڀر ۾ \(5 \, \text{unit}\) آهي.
- B اتر ۾ \(3 \, \text{unit}\) آهي.
نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر R جو تعين ڪريو.
بحث مباحثو
پهرين، اسين ویکٹر کي ان جي لاڳاپيل حصن ۾ تبديل ڪريون ٿا.
– ویکٹر A : \(A = (5, 0)\) ڇاڪاڻ ته ان ۾ صرف هڪ x جزو آهي.
– ویکٹر B : \(B = (0, 3)\) ڇاڪاڻ ته ان ۾ صرف هڪ y جزو آهي.
هتي اجزاء جو مجموعو آهي:
\[ آر_ايڪس = اي_ايڪس + ب_ايڪس = 5 + 0 = 5 \]
\" R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
پوءِ نتيجو ڏيندڙ ویکٹر R آهي:
\[ آر = (5، 3) \]
ویکٹر R جي ڊيگهه (ماڊيولس) جي حساب ڪرڻ لاءِ:
\[ |آر| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \لڳ ڀڳ 5.83 \]
ویکٹر R جي هدايت کي x-محور جي زاويه θ استعمال ڪندي ڳڻپيو وڃي ٿو:
\[ \ٽين(\ٿيٽا) = \فريڪ{آر_ي}{آر_ايڪس} = \فريڪ{3}{5} \]
\[ \ٿيٽا = \آرڪٽان \کاٻو (\فريڪ{3}{5}\ساڄو) \تقريبن 30.96^\سرڪ \]
اهڙيءَ طرح، نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر R جي ڊيگهه لڳ ڀڳ 5.83 يونٽ آهي ۽ x-محور سان 30.96° جو زاويه ٺاهي ٿو.
سوال 2
ٽن ماپن ۾ ٻه ویکٹر ڏنا ويا آهن:
- الف آهي \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\)
- ب آهي \(1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\)
نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر R جو تعين ڪريو.
بحث مباحثو
پهرين، اسان هر ویکٹر جي اجزاء جي سڃاڻپ ڪريون ٿا:
– ویکٹر الف : \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– ویکٹر ب : \(B_x = 1\)، \(B_y = 4\)، \(B_z = 2\).
هتي اجزاء جو مجموعو آهي:
\[ آر_ايڪس = اي_ايڪس + ب_ايڪس = 3 + 1 = 4 \]
\" R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ آر_ز = اي_ز + بي_ز = 1 + 2 = 3 \]
پوءِ نتيجو ڏيندڙ ویکٹر R آهي:
\[ آر = (4، 6، 3) \]
ویکٹر R جي ڊيگهه (ماڊيولس) جي حساب ڪرڻ لاءِ:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \لڳ ڀڳ 7.81 \]
x، y، ۽ z محور جي نسبت سان ویکٹر R جي هدايت ڊائريڪٽر جي ڪوسائن استعمال ڪندي ڳڻپي سگهجي ٿي:
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \لڳ ڀڳ 0.512 \]
\[ \الفا = \آرڪوس (0.512) \تقريبن 59.50^\سرڪشي \]
\[ \cos(\بيٽا) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \لڳ ڀڳ 0.768 \]
\[ \بيٽا = \آرڪوس (0.768) \تقريبن 39.50^\سرڪش \]
\[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \لڳ ڀڳ 0.384 \]
\[ \گاما = \آرڪوس (0.384) \تقريبن 67.64^\سرڪشي \]
اهڙيءَ طرح، نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر R جي ڊيگهه لڳ ڀڳ 7.81 يونٽ آهي ۽ x، y، ۽ z محور جي نسبت ان جون هدايتون 59.50°، 39.50°، ۽ 67.64° آهن.
سوال 3
ٻه ویکٹر ڏنا ويا آهن:
- P جو شدت 4 يونٽ آهي ۽ مثبت x-محور ڏانهن 45° جو زاويه ٺاهي ٿو.
- Q جي شدت 6 يونٽ آهي ۽ مثبت x-محور ڏانهن 120° جو زاويه ٺاهي ٿي.
نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر R جو تعين ڪريو.
بحث مباحثو
پهرين، اسين ویکٹر کي ان جي x ۽ y حصن ۾ ٽوڙيون ٿا:
- ویکٹر پي: \(P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \تقريبن 2.83\), \(P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \تقريبن 2.83\).
- ویکٹر ق : \(Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), \(Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \تقريبن 5.2\).
هتي اجزاء جو مجموعو آهي:
\[ آر_ايڪس = پي_ايڪس + ق_ايڪس = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
پوءِ، نتيجو ڏيندڙ ویکٹر R آهي:
\[ آر = (-0.17، 8.03) \]
ویکٹر R جي ڊيگهه (ماڊيولس) جي حساب ڪرڻ لاءِ:
\[ |آر| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \لڳ ڀڳ 8.03 \]
ویکٹر R جي هدايت:
\[ \ٽين(\ٿيٽا) = \فريڪ{آر_ي}{آر_ايڪس} = \فريڪ{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \ٿيٽا = \آرڪٽان (-47.24) \تقريبن -88.99^\سرڪش \]
جڏهن ته، هي زاويه منفي x-محور جي چوڌاري ماپيو ويندو آهي، تنهنڪري مسئلي جي حوالي سان اصل زاويه هي آهي:
\[ 180^\سرڪ – 88.99^\سرڪ \تقريبن 91.01^\سرڪ \]
اهڙيءَ طرح، نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر R جي ڊيگهه لڳ ڀڳ 8.03 يونٽ آهي ۽ مثبت x-محور سان 91.01° جو زاويه ٺاهي ٿو.
هن مضمون ۾ جزو وار ویکٹر جي اضافي تي بحث ڪيو ويو آهي، ڪيترن ئي مثالن جا مسئلا ۽ حل فراهم ڪيا ويا آهن. جزو وار طريقو حسابن کي آسان ڪرڻ ۽ خلا جي رياضياتي طول و عرض ۾ ویکٹر جي مسئلن کي حل ڪرڻ لاءِ هڪ منظم طريقو مهيا ڪرڻ ۾ تمام ڪارآمد آهي.
