مثال طور سوال ۽ ايڪسپونيشل ڊيڪي جا بحث
ايڪسپونيشل ڊيڪي هڪ قدرتي رجحان آهي جيڪو مختلف شعبن جهڙوڪ فزڪس، ڪيمسٽري، حياتيات، ۽ معاشيات ۾ ملي ٿو. هڪ رياضياتي ماڊل جي طور تي، ايڪسپونيشل ڊيڪي ان عمل کي بيان ڪري ٿو جنهن جي ذريعي هڪ ڏنل مقدار ان جي موجوده مقدار جي تناسب سان گهٽجي ٿي. رياضي ۾، ايڪسپونيشل ڊيڪي عام شڪل جي پيروي ڪري ٿو:
\[ ن(ٽي) = ن_0 اي^{-\ليمبڊا ٽي} \]
انسان ۾:
– \( N(t) \) وقت تي باقي رقم آهي \( t \),
– \( N_0 \) شروعاتي انگ آهي،
– \( \lambda \) ڪٽڻ جو مستقل آهي (جنهن کي اڪثر ڪٽڻ جي شرح سڏيو ويندو آهي)،
- \( t \) وقت آهي،
– \( e \) قدرتي لاگارٿم جو بنياد آهي (تقريبن 2.718).
هن مضمون ۾، اسين ايڪسپونينشل ڊيڪي مسئلن جي ڪجهه مثالن تي بحث ڪنداسين ۽ انهن جي حلن سان گڏ هن تصور کي وڌيڪ گہرائي سان سمجهڻ ۾ مدد ڪنداسين.
مثال سوال 1: ريڊيو ايڪٽو ڪٽڻ
سوال:
هڪ تابڪاري مادو جي اڌ زندگي 5 سال هوندي آهي. جيڪڏهن شروعات ۾ 100 گرام مادو هجي ها ته 15 سالن کان پوءِ ڪيترو بچي ويندو؟
بحث:
تابڪاري خرابي کي ايڪسپونينشل ڊڪي فارمولا استعمال ڪندي ماڊل ڪري سگهجي ٿو. اڌ زندگي (\( t_{1/2} \)) اهو وقت آهي جيڪو تابڪاري مواد جي اڌ مقدار کي سڙڻ لاءِ گهربل آهي. اهو معلوم آهي ته \( t_{1/2} = 5 \) سال.
پهرين اسان کي فارمولا سان خرابي مستقل \( \lambda \) ڳولڻ جي ضرورت آهي:
\[ \ليمبڊا = \فريڪ{\ln 2}{t_{1/2}} \]
\[ \ليمبڊا = \فريڪ{\ln 2}{5} \لڳ ڀڳ 0.1386 \ٽيڪسٽ{ سال}^{-1} \]
تنهن ڪري، ايڪسپونشنل ڊيڪي فارمولا آهي:
\[ ن(ٽي) = ن_0 اي^{-\ليمبڊا ٽي} \]
\[ ن ( ٽي ) = 100 اي ^ {-0.1386 \ ڀيرا 15} \]
هاڻي، اسان قيمت جو حساب ڪريون ٿا:
\[ ن (ٽي) = 100 اي ^ {-2.079} \]
\[ ن (ٽي) = 100 \ ڀيرا 0.125 \]
\[ ن(ٽي) \لڳ ڀڳ 12.5 \ٽيڪسٽ{ گرام} \]
تنهن ڪري، 15 سالن کان پوءِ، لڳ ڀڳ 12.5 گرام تابڪاري مواد باقي رهي ٿو.
مثال 2: ڪيپيسيٽر ڊيڪي
سوال:
هڪ ڪيپيسيٽر جنهن جي شروعاتي چارج \( Q_0 = 200 \text{ C} \) آهي، ان کي سرڪٽ ۾ خارج ٿيڻ جي اجازت آهي. وقت جو مستقل \( \tau = 4 \text{ s} \) آهي. 10 سيڪنڊن کان پوءِ ڪيترو چارج باقي رهي ٿو؟
بحث:
ڪيپيسيٽر چارج جي خرابي جي صورت ۾، استعمال ٿيندڙ ايڪسپونشنل ماڊل آهي:
\[ ق(ٽي) = ق_0 اي^{-ٽي/\ٽائو} \]
ڏنو ويو \( Q_0 = 200 \text{ C} \) ۽ \( \tau = 4 \text{ s} \). اسان کي \( Q(10) \) ڳولڻ جي ضرورت آهي:
\[ سوال (10) = 200 اي ^ {-10/4} \]
\[ سوال (10) = 200 اي^{-2.5} \]
ايڪسپونشنل قدرن جو حساب ڪرڻ:
\[ سوال (10) = 200 \ ڀيرا 0.0821 \]
\[ سوال (10) \لڳ ڀڳ 16.42 \ٽيڪسٽ{ سي} \]
تنهن ڪري، 10 سيڪنڊن کان پوءِ، ڪيپيسيٽر تي باقي چارج تقريباً 16.42 سينٽي گريڊ آهي.
مثال سوال 3: ڪيميائي زوال
سوال:
هڪ ڪيميڪل جو زوال مستقل \( \lambda = 0.05 \text{ ڏينهن}^{-1} \) هوندو آهي. ڪيميڪل کي ان جي اصل مقدار جي 25٪ تائين گهٽجڻ ۾ ڪيترو وقت لڳندو؟
بحث:
اسان ايڪسپونينشل ڊيڪي لاءِ عام فارمولي سان شروع ڪريون ٿا:
\[ ن(ٽي) = ن_0 اي^{-\ليمبڊا ٽي} \]
اسان چاهيون ٿا ته N(t) \( N_0 \) جو 25٪ هجي، ته جيئن:
\[ 0.25 N_0 = N_0 e^{-0.05 t} \]
ٻنهي پاسن کان \( N_0 \) کي ختم ڪرڻ:
\[ 0.25 = اي ^{-0.05 ٽي} \]
قدرتي لاگارٿم استعمال ڪندي ايڪسپونينشل ڪيسن کي حل ڪرڻ لاءِ:
\[ \ln 0.25 = -0.05 ٽي \]
\[ -1.3863 = -0.05 ٽي \]
\( t \) لاءِ حل ڪرڻ:
\[ ٽي = \فريڪ{1.3863}{0.05} \]
\[ t \لڳ ڀڳ 27.726 \ٽيڪسٽ{ ڏينهن} \]
تنهن ڪري، ڪيميڪل کي ان جي شروعاتي مقدار جي 25 سيڪڙو تائين گهٽائڻ لاءِ گهربل وقت لڳ ڀڳ 27.726 ڏينهن آهي.
مثال سوال 4: بيڪٽيريا جي آبادي جو زوال
سوال:
هڪ بيڪٽيريا جي آبادي تيزيءَ سان گهٽجي ٿي ته جيئن 3 ڪلاڪن کان پوءِ، آبادي ان جي شروعاتي تعداد جو اڌ ٿي وڃي. جيڪڏهن شروعاتي آبادي 8000 بيڪٽيريا هئي، ته 9 ڪلاڪن کان پوءِ ڪيترا بيڪٽيريا بچيا آهن؟
بحث:
اهو معلوم آهي ته اڌ زندگي \( t_{1/2} = 3 \) ڪلاڪ. پهرين اسان کي زوال جو مستقل \( \lambda \) ملندو آهي:
\[ \ليمبڊا = \فريڪ{\ln 2}{t_{1/2}} \]
\[ \ليمبڊا = \فريڪ{\ln 2}{3} \تقريبن 0.231 \ٽيڪسٽ{ ڪلاڪ}^{-1} \]
ان کان پوءِ، اسين ايڪسپونينشل ڊيڪي فارمولا استعمال ڪندا آهيون:
\[ ن(ٽي) = ن_0 اي^{-\ليمبڊا ٽي} \]
\[ ن(9) = 8000 e^{-0.231 \ ڀيرا 9} \]
ايڪسپونشنل قدرن جو حساب ڪرڻ:
\[ ن(9) = 8000 اي^{-2.079} \]
\[ ن(9) = 8000 \ ڀيرا 0.125 \]
\[ ن(9) \لڳ ڀڳ 1000 \]
تنهن ڪري، 9 ڪلاڪن کان پوءِ، لڳ ڀڳ 1000 بيڪٽيريا باقي رهندا.
نتيجو
ايڪسپونشنل ڊيڪي ماڊل مختلف سائنسي ۽ انجنيئرنگ ايپليڪيشنن ۾ ڊيڪي عملن سان لاڳاپيل مسئلن کي حل ڪرڻ لاءِ هڪ ڪارآمد طريقو فراهم ڪري ٿو. ڊيڪي مستقل، اڌ زندگي، ۽ ايڪسپونشنل فارمولن جي استعمال جهڙن بنيادي تصورن کي سمجهڻ سان، اسان وقت سان گڏ مقدار ۾ تبديلي کي نسبتا آساني سان حساب ڪري سگهون ٿا. مٿي بحث ڪيل عملي مسئلن کي اسان کي وڌيڪ پيچيده حالتن ۾ ايڪسپونشنل ڊيڪي جي تصور کي سمجهڻ ۽ لاڳو ڪرڻ ۾ مدد ڪرڻ گهرجي.
