په ویکتورونو کې د نقطو ضرب
د نقطې محصول (چې د نقطې محصول یا د مقطعې محصول هم ورته ویل کیږي) د ویکتور ریاضي کې یو له خورا مهمو عملیاتو څخه دی. دا عملیات ډیری وختونه په فزیک، انجینرۍ، احصایې، کمپیوټر ساینس (د مثال په توګه، د ماشین زده کړه)، او کمپیوټر ګرافیکونو کې څرګندیږي. د عادي ضرب برعکس، کوم چې د دوو شمیرو څخه یو شمیر تولیدوي، د نقطې محصول دوه ویکتورونه د ان پټ په توګه اخلي او یو مقطع (یو واحد شمیره) تولیدوي. د نقطې محصول له لارې، موږ کولی شو د دوو ویکتورونو ترمنځ اړیکه پوه شو: ایا دوی په ورته لوري کې دي، مخالف لوري دي، یا یو بل ته عمودي دي.
د ټکو ضرب پوهیدل
په عمومي توګه، که موږ دوه ویکتورونه a او b ولرو، نو د نقطې محصول په لاندې ډول لیکل کیږي:
الف · ب
پایله یې یو پیمانه شمیره ده چې منعکس کوي چې "څومره" ویکتور a د ویکتور b په څیر په ورته لوري کې دی. دا مفهوم د لاندې انځور لخوا درک کیدی شي: کله چې موږ ویکتور a د ویکتور b په لور پروجیکټ کوو، موږ اندازه کوو چې د a څومره برخه د b په لور "سواریږي". هرڅومره چې دوه ویکتورونه په ورته لوري کې وي، د دوی د نقطې محصول به لوی وي؛ هرڅومره چې دوی مخالف وي، د دوی محصول به کوچنی (حتی منفي) وي؛ او که دوی عمودي وي، د نقطې محصول به صفر وي.
د اجزاو له مخې د نقطو ضرب فورمول
فرض کړئ چې یو دوه بعدي ویکتور:
الف = (الف₁، الف₂)
ب = (ب₁، ب₂)
نو د نقطې ضرب دا دی:
الف · ب = الف₁ب₁ + الف₂ب₂
د درې بعدي ویکتورونو لپاره:
الف = (الف₁، الف₂، الف₃)
ب = (ب₁، ب₂، ب₃)
نو:
الف · ب = الف₁ب₁ + الف₂ب₂ + الف₃ب₃
په عمومي توګه، د n-dimensional ویکتور لپاره:
a · b = Σ (aᵢ bᵢ) د i = 1 څخه تر n پورې.
دا فورمول ساده خو ځواکمن دی. موږ په ساده ډول اړونده اصطلاحات ضرب کوو او بیا یې یوځای کوو. له همدې امله د ټکو ضرب په کمپیوټر کې خورا پراخه کارول کیږي: پلي کول یې اسانه او اغیزمن دي.
د ویکتورونو ترمنځ د زاویې سره د نقطې ضرب فورمول
د اجزاوو سربیره، د نقطې محصول هم په زاویه (جیومیټریک) بڼه کې څرګند کیدی شي. که θ د ویکتورونو a او b ترمنځ زاویه وي، نو:
الف · ب = |الف| |ب| کاز(θ)
معلومات:
– |a| د ویکتور a اوږدوالی (شدت) دی
– |b| د ویکتور b اوږدوالی دی
- cos(θ) د دوو ویکتورونو ترمنځ د زاویې کوزائن دی
دا فورمول په هندسي معنی ټینګار کوي: د نقطې محصول د دوو ویکتورونو د لارښوونو "سمون" اندازه کوي. کله چې θ کوچنی وي (0° ته نږدې)، cos(θ) 1 ته نږدې وي، نو د نقطې محصول لوی او مثبت وي. کله چې θ = 90°، cos(90°)=0 وي، نو د نقطې محصول صفر وي. کله چې θ > 90° وي، cos(θ) منفي وي، نو د نقطې محصول منفي وي.
د ډاټ محصول محاسبې مثال
بېلګه ۱ (دوه بعدي ویکتور)
د مثال په ډول:
– الف = (۲، ۳)
– ب = (۴، -۱)
نو:
a b = ۲·۴ + ۳·(-۱) = ۸ – ۳ = ۵
پایله ۵ (سکالر) ده. دا پدې مانا ده چې په ټولیز ډول، د ویکتور الف لوري لاهم د b په څیر ورته لوري کې یوه برخه لري، که څه هم یو له اجزاو څخه مخالف دی.
بېلګه ۲ (عمودي)
د مثال په ډول:
– الف = (۲، ۳)
– ب = (۴، -۱)
ټکی:
a b = ۲·۴ + ۳·(-۱) = ۸ – ۳ = ۵
ځکه چې د نقطې محصول 0 دی، دوه ویکتورونه عمودي (اورتوګونل) دي.
د نقطو ضرب ځانګړتیاوې
د ټکو ضرب څو مهمې ځانګړتیاوې لري:
۱. بدلون موندونکی
الف · ب = ب · الف
۲. د اضافه کولو لپاره ویشونکی
الف · (ب + ج) = الف · ب + الف · ج
۳. د پیمانه ضرب سره ملګری
(ka) · b = k (a · b) د سکالر k لپاره
۴. د صفر ویکتور سره د نقطې محصول
الف · ۰ = ۰
۵. د ویکتور اوږدوالی سره اړیکه
الف · الف = |الف|²
دا ډېر ګټور دی ځکه چې له دې ځایه موږ د ویکتور اوږدوالی ترلاسه کولی شو:
|الف| = √(الف · الف)
دا ځانګړتیاوې د نقطې محصول په خطي الجبرا کې یو بنسټیز عملیات ګرځوي چې په ډیری پرمختللو مفکورو باندې جوړ شوی دی.
هندسي معنی او تفسیر
د نقطې محصول د پروجیکشن د اندازې په توګه تعبیر کیدی شي. که موږ غواړو د ویکتور a پروجیکشن د b لوري ته وپیژنو، موږ کولی شو د نقطې محصول وکاروو. د ویکتور a اجزا د b په څیر په ورته لوري کې د کمیتي پلوه ترلاسه کیدی شي:
د الف څخه تر ب پورې د سکالر پروجیکشن:
کمپ_ب(الف) = (الف · ب) / |ب|
د ویکتور الف څخه تر ب پورې اټکل:
proj_b(a) = ((a · b) / |b|²) ب
دا تفسیر ډېر ګټور دی، د مثال په توګه کله چې د یوې قوې سیوري په یوه ټاکلي لوري محاسبه کیږي یا کله چې حرکت په افقي او عمودي برخو ویشل کیږي.
په ژوند او ساینس کې د نقطو ضرب استعمالونه
۱. فزیک (کار او انرژي)
په فزیک کې، د ځواک له مخې کار په لاندې ډول تعریف شوی:
W = F · s = |F||s|cos(θ)
چیرې چې F قوه ده او s بې ځایه کیدل دي. که چیرې قوه د بې ځایه کیدو په ورته لوري کې وي، کار مثبت دی؛ که چیرې دا په مخالف لوري کې وي، کار منفي دی؛ که چیرې دا عمودي وي (د مثال په توګه، په یوه الوتکه کې نورمال ځواک)، کار صفر دی.
۲. د ویکتورونو ترمنځ د زاویې ټاکل
که موږ a · b، |a|، او |b| پوهیږو، نو زاویه θ محاسبه کیدی شي:
کاس(θ) = (a · b) / (|a||b|)
بیا θ د معکوس کوزین (arccos) فعالیت سره ترلاسه کیدی شي.
۳. د ماشین زده کړه او د معلوماتو ساینس
د نقطې محصول د دوو ځانګړتیا ویکتورونو ترمنځ د نمره یا ورته والي محاسبه کولو لپاره کارول کیږي. په خطي ماډلونو کې، وړاندوینه ډیری وخت دا بڼه اخلي:
y = w · x + b
چیرې چې w وزن دی او x د ننوتلو ویکتور دی. دلته د نقطې محصول د پریکړې کولو میکانیزم مرکز دی.
۴. د کمپیوټر ګرافیک (رڼا)
په درې بعدي رینډرینګ کې، د نقطې محصول د سطحې د رڼا شدت ټاکلو لپاره کارول کیږي. شدت اکثرا د رڼا لوري او د سطحې نورمال ترمنځ د زاویې په کوزین پورې اړه لري. د نقطې محصول سره، محاسبه کیږي:
زه ∝ ن · ل
د سطحې نورمال او د رڼا لوري سره (معمولا نورمال شوی).
د مخنیوي لپاره عامې غلطۍ
د ډاټ محصولاتو زده کولو پر مهال ځینې عامې غلطۍ:
- فکر کول چې د نقطې محصول پایله یو ویکتور دی (کله چې دا په حقیقت کې یو سکیلر وي).
- د اجزاو ناسمه جوړه (باید مطابقت لرونکي اجزا وي).
- هېر مو کړل چې د نقطې محصول منفي کیدی شي.
- د زاویې فورمولونو کارول پرته له دې چې ډاډ ترلاسه شي چې کارول شوی ویکتور او محاسبه شوی شدت سم دي.
– غلط فهم چې د صفر نقطې محصول معنی لري عمودي (دا ریښتیا ده)، مګر یوازې هغه وخت چې دواړه ویکتورونه صفر ویکتورونه نه وي.
تړل
د ویکتورونو د نقطې محصول یو بنسټیز مفهوم دی چې الجبرا او جیومیټري سره نښلوي. د نقطې محصول سره، موږ نه یوازې د دوو ویکتورونو شمیر محاسبه کولی شو، بلکې د دوی ترمنځ سمتي اړیکه هم درک کولی شو: ایا دوی په ورته لوري، مخالف لوري، یا اورتوګونل کې دي. د دې ساده فورمول په لاسي محاسبو او لوی پیمانه محاسبو کې پلي کول اسانه کوي. د فزیک او معلوماتو تحلیل څخه تر کمپیوټر ګرافیک پورې په مختلفو برخو کې د دې ډیری غوښتنلیکونو له امله - د نقطې محصول پوهیدل د ویکتور ریاضي او خطي الجبرا مطالعه کونکي هرچا لپاره یو اړین ګام دی.
که تاسو وغواړئ، زه کولی شم انځورونه هم اضافه کړم، د توضیحاتو سره پوښتنې تمرین کړم، یا د مقالې یوه نسخه چې په یو ځانګړي غوښتنلیک (فزیک، ماشین زده کړه، یا جیومیټري) باندې ډیر تمرکز کوي.
