د لومړني عدد تیوري
لومړني عددونه په ریاضي کې یو له ساده خو خورا پراسرار شیانو څخه دی. ساده ځکه چې د دوی تعریف مستقیم دی: یو لومړني عدد د 1 څخه لوی عدد دی چې یوازې دوه مثبت ویشونکي لري: 1 او پخپله. پراسرار ځکه چې، سره له دې چې د زرګونو کلونو لپاره مطالعه کیږي، د لومړني عددونو په اړه ډیری بنسټیز پوښتنې تر نن ورځې پورې بې ځوابه پاتې دي. د ریاضیاتو هغه څانګه چې د لومړني عددونو ملکیتونه، نمونې او ویش مطالعه کوي ډیری وختونه د شمیرې تیوري کې بحث کیږي ، او دا موضوع په پراخه کچه د لومړني عدد تیوري په نوم پیژندل کیږي.
د لومړني شمېرو تعریف او مثالونه
لومړني عددونه د ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹ او داسې نورو سره پیل کیږي. له دې لیست څخه، موږ لیدلی شو چې ۲ یوازینی جفت لومړني عدد دی. نور ټول جفت عددونه په ۲ ویشل کیدی شي، نو دوی له دوو څخه ډیر ویشونکي لري او لومړني عدد نشي بلل کیدی.
د لومړني عدد برعکس یو مرکب عدد دی، کوم چې د ۱ څخه لوی عدد دی چې له دوو څخه ډیر ویشونکي لري. د مثال په توګه، ۴ ویشونکي ۱، ۲، او ۴ لري؛ ۱۲ ویشونکي ۱، ۲، ۳، ۴، ۶، او ۱۲ لري. ۱ عدد نه لومړنی دی او نه مرکب، ځکه چې دا یوازې یو ویشونکی لري، ۱.
د لومړنيو شمېرو پوهېدل مهم دي ځکه چې دوی ډیری وختونه د بشپړو شمېرو "جوړونکي بلاکونه" بلل کیږي. هر بشپړو شمېر چې له ۱ څخه لوی وي د لومړنيو شمېرو په محصول ویشل کیدی شي.
د حساب اساسي تیورمونه
د لومړني عددونو په تیوري کې یو له مهمو پایلو څخه د حساب اساسي تیورم دی. دا تیورم وايي چې هر عدد چې له ۱ څخه لوی وي د لومړني عددونو د یو ځانګړي محصول په توګه لیکل کیدی شي، د هغې د فکتورونو په ترتیب پورې.
مثال:
– ۸۴ = ۲ × ۲ × ۳ × ۷ = ۲² × ۳ × ۷
– ۸۴ = ۲ × ۲ × ۳ × ۷ = ۲² × ۳ × ۷
د لومړني فکتوریزیشن دا ځانګړتیا د ډیری ریاضيکي مفاهیمو لپاره بنسټ دی، د ویش، لږترلږه عام ضرب (LCM)، ترټولو لوی عام فکتور (GCF) څخه، د کمپیوټر ساینس کې مختلف الګوریتمونو پورې.
د لومړنيو شمېرو د ټاکلو څرنګوالی
د دې معلومولو لپاره څو طریقې شتون لري چې آیا یو عدد اعظم دی. تر ټولو اساسي طریقه دا ده چې وګورو چې آیا دا عدد د ۱ او پخپله پرته د بل کوم عدد لخوا ویشل کیدی شي. په هرصورت، دا طریقه د لویو شمیرو لپاره غیر موثره ده.
یوه ډیره اغیزمنه طریقه دا ده چې د عدد د مربع ریښې پورې د ویشونکو معاینه وشي . که چیرې یو عدد n د 1 او n پرته نور عوامل ولري، نو لږترلږه یو له فکتورونو څخه √n څخه ډیر نه وي. د مثال په توګه، د دې لپاره چې وګورئ چې 97 اعظم دی، په ساده ډول یې د ≤ √97 (تقریبا 9,8)، یعنې 2، 3، 5، او 7 لخوا د ویشلو لپاره ازموینه وکړئ. څرنګه چې 97 د دې څلورو څخه هیڅ یو لخوا نه ویشل کیږي، نو دا اعظم دی.
سربېره پردې، د اراتوستینز د غلبیل په څېر کلاسیک میتودونه هم شته، چې تر یوې ټاکلې کچې پورې د ټولو لومړني شمېرو موندلو لپاره اغیزمن دي. په دې میتود کې د ۲ څخه تر N پورې ټولې شمېرې لیست کول، بیا د ۲ ضربونه، د ۳ ضربونه، د ۵ ضربونه، او داسې نور په نښه کول شامل دي. بې نښه شوي شمېرې لومړني شمېرې دي.
د لومړنيو شمېرو نمونې او وېش
یو له هغو شیانو څخه چې لومړني عددونه په زړه پورې کوي د دوی ظاهرا ناڅاپي ویش دی. هیڅ ساده نمونه نشته چې ټول لومړني عددونه سمدلاسه تولید کړي. ځینې وختونه لومړني عددونه یو بل ته نږدې ښکاري، لکه 11 او 13، یا 17 او 19، مګر بیا د دوی ترمنځ واټن لوی کیدی شي.
د لومړني عددونو په تیوري کې یوه مهمه پوښتنه دا ده: "څو ځله لومړني عددونه واقع کیږي؟" د دې ځواب لپاره، ریاضي پوهانو د لومړني عددونو تیورم رامینځته کړ. دا تیورم وايي چې د لومړني عددونو شمیر چې د n څخه کم یا مساوي وي، د π(n) په توګه لیکل کیږي، تقریبا د n / ln(n) سره مساوي دي. دا پدې مانا ده چې لکه څنګه چې n زیاتیږي، لومړني عددونه نادر کیږي، مګر دوی د نامعلوم وخت لپاره پیښیږي.
د مثال په توګه، د ډېر لوی n لپاره، د n شاوخوا یو ناڅاپي شمېره د لومړني شمېرې په توګه احتمال تقریبا 1/ln(n) دی. دا د لومړني شمېرو د وېش احصایوي کتنه وړاندې کوي.
دوه ګوني لومړني عددونه او مشهور اټکلونه
دوه ګونی لومړني عددونه د هغو لومړني عددونو جوړې دي چې توپیر یې ۲ دی، لکه (۳، ۵)، (۱۱، ۱۳)، (۱۷، ۱۹)، او داسې نور. یوه لویه پوښتنه چې نن ورځ خلاصه پاتې ده د دوه ګونی لومړني عدد اټکل دی: "ایا د دوه ګونی لومړني عددونو بې حده ډیرې جوړې شتون لري؟" سره له دې چې په وروستیو لسیزو کې ډیری ملاتړي شواهد او د پام وړ پرمختګونه شتون لري، دا اټکل په بشپړ ډول ثابت شوی نه دی.
سربېره پردې، د ګولډ باخ اټکل هم شته، چې وايي چې هر جفت عدد چې له ۲ څخه لوی وي د دوو لومړني عددونو د مجموعې په توګه لیکل کیدی شي. د مثال په توګه:
– ۱۰۰ = ۴۷ + ۵۳
– ۱۰۰ = ۴۷ + ۵۳
– ۱۰۰ = ۴۷ + ۵۳
دا اټکل د ډیرو لویو شمیرو لپاره ازمول شوی او تل د دې ازموینو لاندې ریښتیا وي، مګر لاهم بشپړ رسمي ثبوت شتون نلري.
په عصري کریپټوګرافي کې د لومړني شمېرو رول
د خالص ریاضي هاخوا، لومړني شمیرې په عصري ژوند کې، په ځانګړې توګه د معلوماتو امنیت کې د پام وړ رول لوبوي. د RSA کریپټو سیسټم، چې د کوډ کولو یو له خورا مشهورو میتودونو څخه دی، د لویو شمیرو د لومړني فاکتورونو په فکتور کولو کې د ستونزو پورې اړه لري. په RSA کې، عامه کیلي د دوو لویو لومړني شمیرو له محصول څخه رامینځته کیدی شي. د دې محصول کمول په خپلو دوو اصلي لومړني شمیرو کې خورا ستونزمن ستونزه ده که چیرې شمیرې کافي لویې وي، پدې توګه د امنیت لپاره اساس چمتو کوي.
په بل عبارت، د لومړنيو شمېرو ښکلا نه یوازې نظري ده بلکې عملي هم ده، ځکه چې دوی د ډیجیټل معاملو، کوډ شوي مخابراتو، او په انټرنیټ کې د محرم معلوماتو تبادلې امنیت ساتلو کې مرسته کوي.
تړل
د لومړني عددونو تیوري د ریاضیاتو یو له بډایه برخو څخه دی. د لومړني عددونو د ساده تعریف څخه، موږ ژورو مفاهیمو ته رسیږو لکه بې ساري فکتوریزیشن، د لومړني ویش تیورم، او حتی نا حل شوي اټکلونه. لومړني عددونه موږ ته په زړه پورې کوي ځکه چې دوی د نظم او تصادفي ترمنځ پوله پوښي: په ظاهري ډول بې نمونې، مګر ژور ریاضيکي قوانینو اطاعت کوي.
د لومړنيو شمېرو مطالعه یوازې د دې معلومولو په اړه نه ده چې کوم لومړني شمېرې لومړني دي او کوم نه دي، بلکې د دې په اړه هم پوهیدل دي چې دوی څنګه د بشپړو شمېرو ترمنځ "ویشل شوي" دي، ولې دوی دومره بنسټیز رول لوبوي، او څنګه دوی په عصري ټیکنالوژۍ اغیزه کوي. د دې دلیل لپاره، د لومړنيو شمېرو تیوري تر نن ورځې پورې د ریاضي زده کونکو، ښوونکو او څیړونکو لپاره یو له خورا فعاله څیړل شوي او په زړه پورې موضوعاتو څخه پاتې ده.
