بشپړونکي او د هغوی ځانګړتیاوې

بشپړونکي او د هغوی ځانګړتیاوې

انټیجرونه په ریاضي کې یو له خورا اساسي مفاهیمو څخه دی، مګر دوی په ورځني ژوند کې د پام وړ رول لوبوي. کله چې موږ توکي حساب کوو، د صفر څخه ښکته تودوخه ټاکو، په زیرزمین کې د پوړونو شمیر محاسبه کوو، یا په سوداګرۍ کې ګټه او زیان ثبتوو، موږ په حقیقت کې د انټیجرونو سره معامله کوو. د انټیجرونو او د هغوی د ملکیتونو پوهیدل به د ریاضي، الجبرا، او حتی د لوړې کچې ریاضيکي مفاهیمو زده کړه اسانه کړي.

د بشپړو تعریف

عددونه د هغو شمېرو ټولګه ده چې د منفي عددونو، صفر او مثبت عددونو څخه جوړه شوې ده. هغه سمبول چې ډیری وختونه د عددونو د ټولګې د ښودلو لپاره کارول کیږي Z دی (د جرمني کلمې Zahlen څخه اخیستل شوی، چې معنی یې "شمیرې" ده). په عمومي توګه، عددونه په لاندې ډول لیکل کیدی شي:

…، -۳، -۲، -۱، ۰، ۱، ۲، ۳، …

د بشپړو شمېرو برعکس چې یوازې 0 او مثبت شمېرې لري، عددونه منفي شمېرې لري نو دوی د مختلفو حالتونو په تشریح کې ډیر بشپړ دي.

په ورځني ژوند کې د بشپړو عددونو مثالونه

انټیجرونه د انسان فعالیت سره نږدې تړاو لري. د دوی د کارولو ځینې مثالونه په لاندې ډول دي:

۱. د هوا تودوخه: د -۵ درجو سانتي ګراد تودوخه ښيي چې تودوخه له صفر څخه ۵ درجې ښکته ده.
۲. لوړوالی: د -۲۰ مترو لوړوالی د سمندر له سطحې څخه ۲۰ متره لاندې موقعیت معنی لري.
۳. مالي مرسته: د -۵۰،۰۰۰ بیلانس د ۵۰،۰۰۰ پور یا کمښت په ګوته کوي.
۴. د ودانۍ فرش: پوړ -۱ یا -۲ معمولا د زیرزمین لپاره کارول کیږي.
۵. د لوبې نمره: په ځینو لوبو کې، نمره زیاتیدلی یا کمیدلی شي، پدې توګه مثبت او منفي شمیرې شاملې دي.

له دې مثالونو څخه دا لیدل کیدی شي چې عددونه موږ سره مرسته کوي چې د صفر سره د "څخه ډیر"، "لږ"، یا "برابر" حالتونه د حوالې نقطې په توګه څرګند کړو.

د بشپړ عدد کرښه

د بشپړو شمېرو د پوهېدو لپاره، موږ ډیری وخت د شمېرو کرښه کاروو. د شمېرو کرښه یوه مستقیمه کرښه ده چې شمېرې په ځانګړو موقعیتونو کې ځای پر ځای کوي:

- مثبت عددونه د صفر ښي خوا ته دي.
- منفي عددونه د صفر کیڼ اړخ ته دي.
- څومره چې ارزښت ښي خوا ته وي، هومره یې لوړ وي.
- هر څومره چې کیڼ اړخ ته لرې وي، ارزښت یې کوچنی وي.

د عددي کرښې په مرسته، موږ کولی شو په اسانۍ سره ټولې شمېرې پرتله کړو. د مثال په توګه، -2 د -5 څخه لوی دی ځکه چې -2 د -5 څخه ښي خوا ته دی.

د بشپړو (integers) ځانګړتیاوې

په ریاضيکي عملیاتو کې عددونه څو مهم ملکیتونه لري. دا ملکیتونه خورا ګټور دي کله چې موږ محاسبې ترسره کوو، د الجبریک عبارتونه ساده کوو ، یا یو مفهوم ثابتوو.

۱. تړل شوی طبیعت (تړل)

د عددونو سیټ د ځانګړو عملیاتو لاندې تړل شوی، پدې معنی چې که موږ دا عملیات په عددونو ترسره کړو، پایله به بیا هم یو عدد وي.

– اضافه: که a او b عددونه وي، نو a + b هم یو عدد دی.
مثال: -۳ + ۷ = ۴
- منفي کول: که a او b عددونه وي، نو a - b هم یو عدد دی.
مثال: ۵ − ۱۲ = -۷
– ضرب: که a او b عددونه وي، نو a × b هم یو عدد دی.
مثال: (-۴) × ۶ = -۲۴

په هرصورت، عددونه تل د ویش په وړاندې نه تړل کیږي، ځکه چې د ویش پایله کیدای شي یوه کسر وي.
مثال: ۱ ÷ ۲ = ۱/۲ (بشپړ شمېره نه ده).

۲. بدلېدونکې ملکیت (تبادله)

د تبادلې وړ ملکیت پدې مانا ده چې د شمیرو ترتیب د پایلې بدلولو پرته بدلیدلی شي.

– اضافه: a + b = b + a
مثال: ۲ + (-۵) = (-۵) + ۲ = -۳
– ضرب: a × b = b × a
مثال: (-۳) × ۴ = ۴ × (-۳) = -۱۲

دا مهمه ده چې په یاد ولرئ چې منفي او ویش بدلون نه راولي.
مثال: ۷ − ۲ ≠ ۲ − ۷.

۳. د ټولنې ځانګړتیاوې (ګروپینګ)

د ملګرتیا ملکیت پدې مانا ده چې هغه طریقه چې شمیرې په یوه عملیات کې ګروپ کیږي پایله نه بدلوي.

– اضافه: (a + b) + c = a + (b + c)
مثال: (۱ + ۲) + ۳ = ۱ + (۲ + ۳) = ۶
– ضرب: (a × b) × c = a × (b × c)
مثال: (۲ × ۳) × ۴ = ۲ × (۳ × ۴) = ۲۴

لکه د بدلیدونکي په څیر، د ملګرتیا ملکیت هم په منفي کولو او ویش باندې نه پلي کیږي.

۴. د وېش ځانګړتیاوې (خپورول)

د وېش ملکیت د ضرب عملیات د اضافه یا منفي کولو سره تړاو لري:

– a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
مثال: ۳ × (۲ + ۵) = (۳ × ۲) + (۳ × ۵) = ۶ + ۱۵ = ۲۱
– a × (b − c) = (a × b) − (a × c)
مثال: ۴ × (۱۰ − ۳) = ۴۰ − ۱۲ = ۲۸

دا ملکیت د الجبریک بڼو ساده کولو او د معادلو په حل کې خورا مهم دی.

۵. د هویت عناصر (اضافه او ضرب پیژندنه)

هویت هغه شمېره ده چې د چلولو پر مهال د بلې شمېرې ارزښت نه بدلوي.

– اضافه کوونکی هویت 0 دی: a + 0 = a
مثال: -۹ + ۰ = -۹
– د ضرب هویت ۱ دی: a × 1 = a
مثال: ۸ × ۱ = ۸

هویتونه موږ سره د ریاضيکي عملیاتو کې د بې طرفه مفهوم په پوهیدو کې مرسته کوي.

۶. معکوس عناصر (مخالف عددونه)

هر عدد یو اضافه معکوس لري، کوم چې د هغه عدد برعکس دی چې کله یوځای شي نو 0 پایله لري.

– د a معکوس -a دی، نو: a + (-a) = 0
مثال: ۶ + (-۶) = ۰، او -۴ + ۴ = ۰

خو، ټول عددونه په ضرب کې معکوس نه لري. د مثال په توګه، د ۲ ضرب معکوس ۱/۲ دی، کوم چې عدد نه دی.

۷. په عملیاتو کې مثبت او منفي نښې

په عددونو کې، مثبت او منفي نښې په ضرب او ویش کې ځانګړي قواعد ورکوي:

– (+) × (+) = (+)
– (+) × (-) = (-)
– (-) × (+) = (-)
– (-) × (-) = (+)

مثال:
– ۳ × (-۲) = -۶
– (-۵) × (-۴) = ۲۰

د جمع او تفریق لپاره، موږ ډیری وخت د عددي کرښې مفهوم یا قاعده کاروو:
- د منفي شمېرو اضافه کول د "منفي کولو" سره ورته دي.
- د منفي عدد کمول د "اضافه کولو" سره ورته دي.

مثال:
– ۷ + (-۳) = ۴
– ۵ − (-۲) = ۷

پایله

انټیجرونه د شمېرو یوه ټولګه ده چې د منفي شمېرو، صفر او مثبت شمېرو څخه جوړه ده. دا شمېرې ډېرې مهمې دي ځکه چې دوی کولی شي د ژوند مختلف شرایط بیان کړي، لکه د صفر څخه ښکته تودوخه، مالي زیانونه، یا د سمندر له سطحې څخه ښکته موقعیتونه. انټیجرونه هم بنسټیز ځانګړتیاوې لري لکه تړل (د اضافه کولو، کمولو او ضرب کولو لپاره)، بدلیدونکی، ملګری، ویشونکی، هویت، او اضافه کول معکوس. د انټیجرونو د ځانګړتیاوو په پوهیدو سره، موږ به په اسانۍ سره محاسبه ترسره کړو، عملیات ساده کړو، او د ریاضيکي موضوعاتو لکه الجبرا، مساواتو او نورو شمیرو سیسټمونو زده کړه وکړو.

که تاسو وغواړئ، زه کولی شم د دې مقالې یوه نسخه د لومړني/منځني ښوونځي کچې لپاره (ساده) یا یو ډیر رسمي نسخه لکه د تمرین پوښتنو او بحثونو سره بشپړ مقاله جوړه کړم.