د ریښو موندلو لپاره د تکرار طریقه
په تطبیقي ریاضي، فزیک، انجینرۍ، او کمپیوټر ساینس کې، د "ریښې موندلو" ستونزه ډیر ځله راپورته کیږي. ریښه د \(x\) ارزښت دی چې یو فعالیت صفر کوي، دا د معادلې حل دی:
\[
f(x)=0
\]
ټولې معادلې داسې حل لارې نه لري چې په تړلو فورمولونو کې څرګندې شي، لکه څلور اړخیزه مساوات. د ډیری حقیقي نړۍ قضیو لپاره - لکه پیچلي غیر خطي مساوات - موږ عددي طریقو ته اړتیا لرو. یو له خورا مهمو طریقو څخه تکراري میتود دی، یوه پروسه چې د نږدې حلونو لړۍ تولیدوي چې د تکرار له لارې ریښې ته نږدې کیږي.
دا مقاله د تکرار میتودونو اساسي مفاهیمو ، د دوی د همغږۍ شرایطو، او د ریښو موندلو لپاره ځینې عام کارول شوي تکراري میتودونو په اړه بحث کوي.
-
۱. د تکرار میتود بنسټیز نظر
د تکرار طریقه د لومړني اټکل \(x_0\) په کولو سره کار کوي، بیا په تدریجي ډول یې ښه کوي ترڅو ترتیب ترلاسه کړي:
\[
x_0، x_1، x_2، \ نقطې، x_n
\]
د تمو سره:
\[
x_n \ته \الفا
\]
چیرې چې \(\alpha\) د معادلې \(f(x)=0\) اصلي ريښه ده.
په عمومي توګه، د تکرار طریقه ستونزه \(f(x)=0\) په مساوي بڼه بدلوي:
\[
x = g(x)
\]
بیا تکرار ترسره کیږي:
\[
x_{n+1} = g(x_n)
\]
که چیرې دا پروسه سره یوځای شي، نو د \(g(x)\) ثابت ټکی د اصلي معادلې ریښه حل دی.
-
۲. همغږي: کله تکرار بریالی وي؟
ټول افعال \(g(x)\) باثباته تکرارونه نه تولیدوي. د تکرار لپاره \(x_{n+1}=g(x_n)\) د ریښې \(\alpha\) سره یوځای کیږي، هغه عمومي شرایط چې ډیری وختونه کارول کیږي دا دي:
۱. \(g(\alpha)=\alpha\) (ریښه یوه ثابته نقطه ده)
۲. \(|g'(\alpha)| < 1\) (محلي انقباض)
د \(|g'(\alpha)| < 1\) وجدان دا دی: د محلول په شاوخوا کې، فعالیت \(g\) "ډیر ګړندی نه دی"، نو هر تکرار د \(x_n\) ارزښت نږدې راوړي، نه نور لرې.
همغږي هم د لومړني اټکل لخوا اغیزمن کیږي. ورته دوه میتودونه د \(x_0\) پورې اړه لري بریالي یا ناکام کیدی شي.
-
۳. د دوه برخې کولو طریقه د ساده تکرار په توګه
که څه هم ډیری وختونه په جلا توګه طبقه بندي کیږي، د دوه برخې کولو طریقه د یو ډیر پیاوړي تکراري میتود په توګه لیدل کیدی شي. شرایط دا دي: فعالیت \(f(x)\) په وقفه \([a,b]\) کې دوامداره دی او د نښې بدلون شتون لري:
\[
f(a)\cdot f(b) < 0
\]
دا چې، د \(a\) او \(b\) ترمنځ یوه ریښه شتون لري. الګوریتم دا دی:
۱. د منځنۍ نقطې محاسبه وکړئ \(c=\frac{a+b}{2}\)
۲. هغه فرعي وقفه معلومه کړئ چې لاهم ریښه قوس کوي (د نښو بدلونونو پراساس)
۳. تکرار کړئ تر هغه چې زغم ته ورسیږي
د دې طریقې ګټه دا ده چې که د نښې بدلون شرط پوره شي نو د یوځای کېدو تضمین کیږي. زیان یې دا دی چې یوځای کېدل نسبتا ورو دي ځکه چې تېروتنه د هر تکرار سره نږدې نیمایي کمیږي (خطي یوځای کېدل).
-
۴. د ثابت ټکي تکرار طریقه
دلته د تکرار ترټولو مستقیمه بڼه ده:
\[
x_{n+1} = g(x_n)
\]
ګامونه:
۱. \(f(x)=0\) په \(x=g(x)\) بدل کړئ
۲. لومړنی اټکل غوره کړئ \(x_0\)
۳. تکرار کړئ تر هغه چې \(|x_{n+1}-x_n|\) یا \(|f(x_n)|\) د زغم څخه کوچنی وي.
د دې ګټه د هغې ساده والی دی. په هرصورت، دا طریقه د \(g(x))\ انتخاب لپاره ډیره حساسه ده. د ورته معادلې لپاره، د \(x=g(x))\ لیکلو لپاره ډیری لارې شتون لري، مګر یوازې ځینې یې سره یوځای کیږي.
د مثال په توګه، که موږ غواړو د \(f(x)=x^3-2x-5\ ريښې ومومو، نو موږ کولی شو ولیکو:
– \(x = \sqrt[3]{2x+5}\) نو \(g(x)=\sqrt[3]{2x+5}\)
بیا تکرار \(x_{n+1}=\sqrt[3]{2x_n+5}\) ترسره کړئ. د تکرار بریالیتوب پدې پورې اړه لري چې ایا \(|g'(x)|<1\) د ریښې شاوخوا دی.
-
۵. د نیوټن-رافسن طریقه: د مشتق پر بنسټ چټک تکرار
د نیوټن-رافسن میتود یو له خورا مشهورو میتودونو څخه دی ځکه چې د هغې همغږي معمولا ډیره چټکه وي. د تکرار فورمول دا دی:
\[
x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
\]
تفسیر: په \(x_n\) کې، موږ د \(f(x)\ فعالیت لپاره یو ټانجینټ جوړوو. د \(x\)-محور سره د ټانجینټ تقاطع د راتلونکي اټکل په توګه کارول کیږي.
غوره والی:
– څلور اړخیزه همغږي (ډیر ګړندی) که چیرې دا ریښې او \(f'(\alpha)\neq 0\) ته نږدې وي.
کمښت:
– مشتق \(f'(x)\) ته اړتیا لري.
– که لومړنی اټکل خراب وي، یا که \(f'(x_n)\) صفر ته نږدې وي، نو د تکرار مرحله بې ثباته کیدی شي.
دا طریقه په پراخه کچه په اصلاح کولو، فزیک ماډلینګ، او انجینرۍ کمپیوټر کې کارول کیږي ځکه چې د شرایطو په مناسب وخت کې د هغې موثریت ډیر وي.
-
۶. د سیکینټ طریقه: د نیوټن بدیل پرته له مشتقاتو څخه
که چیرې مشتقات محاسبه کول ستونزمن وي، نو د سیکینټ میتود یو جوړجاړی وړاندې کوي. اصلي مفکوره دا ده چې د محدود توپیرونو له مخې مشتق نږدې شي:
\[
f'(x_n)\تقریباً \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}
\]
نو د تکرار فورمول دا دی:
\[
x_{n+1}=x_n – f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}
\]
دا طریقه دوه لومړني اټکلونو ته اړتیا لري: \(x_0\) او \(x_1\). د دې د همغږۍ سرعت عموما د ساده دوه برخې او ثابت ټکي څخه غوره دی، که څه هم معمولا د نیوټن په پرتله یو څه ورو دی. په هرصورت، ځکه چې دا مشتقاتو ته اړتیا نلري، سیکینټ اکثرا ډیر عملي وي.
-
۵. د بندولو معیارونه
په عددي محاسبه کې، تکرار باید هغه وخت ودرول شي کله چې دا په کافي اندازه دقیق وي یا که شک وي چې نه بدلیږي. عمومي معیارونه:
۱. د تکرار کوچنۍ تېروتنه:
\[
|x_{n+1}-x_n|<\وارپسيلون
\]
۲. د فعالیت ارزښت صفر ته نږدې کیږي:
\[
|f(x_n)|<\وارپسيلون
\]
۳. د نه ختمیدونکي حلقو د مخنیوي لپاره د تکرار اعظمي حد:
\[
n \le n_{\ اعظمي}
\]
د زغم انتخاب \(\varepsilon\) په اړتیاو پورې اړه لري: د انجینرۍ سمولیشنونه ممکن سخت زغم ته اړتیا ولري، پداسې حال کې چې سخت محاسبې خورا خلاصې وي.
-
۸. د تکرار میتودونو لنډه پرتله کول
په لنډه توګه:
– دوه برخې: تر ټولو باثباته، یقینا متقابل (په دې شرط چې د نښې بدلون شتون ولري)، مګر ورو.
- ثابت ټکی: ډېر ساده، خو همغږي تل تضمین نه کیږي.
– نیوټن-رافسن: ډېر ګړندی، خو مشتقاتو ته اړتیا لري او د لومړنیو اټکلونو سره حساس دی.
- سیکینټ: هیڅ مشتق ته اړتیا نشته، خورا ګړندی، مګر د دوه برخې په پرتله لږ مستحکم کیدی شي.
په عمل کې، د میتود انتخاب د فعالیت په نوعیت، د مشتقاتو شتون، د سرعت اړتیا او ثبات پورې اړه لري.
-
پایله
د تکرار طریقې د غیر خطي معادلو لپاره د عددي ریښې موندلو ملا تیر دي . د تکراري تازه شوي نږدېوالي ترتیب په جوړولو سره، موږ کولی شو هغه حلونو ته ورسیږو کله چې تحلیلي میتودونه شتون ونلري. د همغږۍ، لومړني اټکل انتخاب، او د بندولو معیارونو پوهیدل د تکرار لپاره خورا مهم دي ترڅو سم او مؤثر ریښې تولید کړي.
په حقیقي نړۍ کې غوښتنلیکونو کې، یوه ګډه ستراتیژي ډیری وخت کارول کیږي: د یوې باثباته طریقې سره پیل کول لکه د ریښې وقفه "بند" کولو لپاره دوه برخې کول، بیا د متقابل سرعت لپاره نیوټن یا سیکینټ ته بدلول. پدې توګه، موږ د اعتبار او سرعت ترمنځ توازن ترلاسه کوو - په عددي کمپیوټر کې دوه خورا ارزښتناک اړخونه.
-
که تاسو وغواړئ، زه کولی شم د پورته ذکر شویو میتودونو لپاره د ګام په ګام (عددي) محاسبې مثالونه اضافه کړم ترڅو مقاله نوره هم مشخصه کړم.
