Dynamika płynów – problemy i rozwiązania

Dynamika płynów – problemy i rozwiązania

Twierdzenie Torricellego

1. Pojemnik wypełniony wodą ma otwór , jak pokazano na poniższym rysunku. Jeśli przyspieszenie grawitacyjne wynosi 10 ms ^-2 , jaka jest prędkość wody przepływającej przez ten otwór?

Znany:

Wysokość (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metra

Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 m/ ^s2

Poszukiwany: Prędkość wody (v)

rozwiązanie:

Twierdzenie Torricellego głosi, że woda opuszcza otwór z taką samą prędkością, jak obiekt spadający swobodnie z tej samej wysokości. Wysokość (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metra

Prędkość wody oblicza się za pomocą równania ruchu swobodnego spadku :

v _t ² = 2 gh

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

vt = √9 = 3 m/ _s

2. Pojemnik wypełniony wodą ma otwór, jak pokazano na poniższym rysunku. Jeśli przyspieszenie grawitacyjne wynosi 10 ms ^-2 , jaka jest prędkość wody przepływającej przez ten otwór?

Znany:

Wysokość (h) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 metra

Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 m/ ^s2

Poszukiwany: Prędkość wody (v)

rozwiązanie:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

vt = √25 = 5 m/ _s

3. Pojemnik wypełniony wodą ma otwór, jak pokazano na poniższym rysunku. Jeśli przyspieszenie grawitacyjne wynosi 10 ms ^-2 , jaka jest prędkość wody przepływającej przez ten otwór?

Znany:

Wysokość (h) = 1 m – 0.20 m = 0.8 m

Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 m/ ^s2

Poszukiwany: Prędkość wody (v)

rozwiązanie:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

vt = √16 = 4 m/ _s

4. Pojemnik wypełniony wodą ma otwór, jak pokazano na poniższym rysunku. Jeśli przyspieszenie grawitacyjne wynosi 10 ms ^-2 , jaka jest prędkość wody przepływającej przez ten otwór?

Znany:

Wysokość (h) = 20 cm = 0.2 metra

Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 m/ ^s2

Poszukiwany: Prędkość wody (v)

rozwiązanie:

5. Pojemnik wypełniony wodą ma dwa otwory , jak pokazano na poniższym rysunku. Jaki jest stosunek x ₁ do x ₂?

Rozwiązanie

Przedział czasowy swobodnego spadania wody z otworu 1:

h = 1/2 przy ²

0.8 = 1/2 (10) ^t2

0.8 = 5 ton ²

t2 = 0.8 / 5 = ^0.16

t = 0.4 sekundy

Przedział czasowy swobodnego spadania wody z otworu 2:

h = 1/2 przy ²

0.5 = 1/2 (10) ^t2

0.5 = 5 ton ²

t2 = 0.5 / 5 = ^0.1

t = √0.1 sekundy

Odległość pozioma (x):

x ₁ = v ₁ t ₁ = (2)(0.4) = 0.8 metra

x ₂ = v ₂ t ₂ = (√10)(√0.1) = (10)(0.1) = 1 metr

Stosunek x ₁ do x ₂ :

x _{1 :} x ₂ = 0.8 : 1 = 8 : 10 = 4 : 5

Równanie ciągłości

6. Woda przepływa przez rurę o różnej średnicy, od A do B, a następnie do C. Stosunek A do C wynosi 8 : 3. Jeśli prędkość wody w rurze A wynosi v, jaka jest prędkość wody w rurze C?

Znany:

Obszar A (A_A) = 8

Pole C (A _C ) = 3

Prędkość wody w rurze A (v _A ) = v

Poszukiwana: prędkość wody w rurze C (v _C )

rozwiązanie:

Równanie ciągłości:

A _A v _A = A _C v _C

8 V = 3 V _C

v _C = 8/3 v

7. Jeśli prędkość wody w rurze o średnicy 12 cm wynosi 10 cm/s, jaka jest prędkość wody w rurze o średnicy 8 cm?

Znany:

Średnica 1 (d ₁ ) = 12 cm, promień 1 (r ₁ ) = 6 cm

Średnica 2 (d ₂ ) = 8 cm, promień 2 (r ₂ ) = 4 cm

Prędkość wody 1 (v ₁ ) = 10 cm/s

Poszukiwany: Prędkość wody 2 (v ₂ )

rozwiązanie:

Powierzchnia 1 (A ₁ ) = π r ² = π 6 ² = 36π cm ²

Powierzchnia 2 (A ₂ ) = π r ² = π 4 ² = 16π cm ²

Równanie ciągłości:

A ₁ na ₁ = A ₂ na ₂

(36π)(10) = (16π) w ₂

(36)(10) = (16) w ₂

360 = (16) w ₂

w2 = _360/16

v2 = _22.5 cm/s

8. Woda przepływa przez rurę o zmiennej średnicy, jak pokazano na poniższym rysunku. Jeśli pole powierzchni 1 (A ₁ ) = 8 cm ² , A ₂ = 2 cm ² , a prędkość wody w rurze 2 = v ₂ = 2 m/s, to jaka jest prędkość wody w rurze 1 = v ₁?

Znany:

Obszar 1 (A₁) = 8 cm²

Pole 2 (A ₂ ) = 2 cm ²

Prędkość wody w rurze 2 (v ₂ ) = 2 m/s

Poszukiwana: prędkość wody w rurze 1 (v ₁ )

rozwiązanie:

Równanie ciągłości:

A ₁ na ₁ = A ₂ na ₂

8 na ₁ = (2)(2)

8 na ₁ = 4

v ₁ = 4 / 8 = 0.5 m/s

9. Jeżeli średnica większej rury jest dwa razy większa od średnicy mniejszej rury, jaka jest prędkość płynu w mniejszej rurze?

Znany:

Średnica większej rury (d₁) = 2

Promień większej rury (r ₁ ) = ½ d ₁ = ½ (2) = 1

Powierzchnia większej rury ( A ₁ ) = π r ₁ ² = π (1) ² = π (1) = π

Średnica mniejszej rury (d ₂ ) = 1

Promień mniejszej rury (r ₂ ) = ½ d ₂ = ½ (1) = ½

Powierzchnia mniejszej rury ( A ₂ ) = π r ₂ ² = π (1/2) ² = π (1/4) = ¼ π

Prędkość cieczy w większej rurze ( v ₁ ) = 4 m/s

Poszukiwane: Prędkość płynu w mniejszej rurze ( wersja ₂ )

rozwiązanie:

Równanie ciągłości:

A ₁ na ₁ = A ₂ na ₂

π4 = ¼ π ( _v2 )

4 = ¼ (w ₂ )

v2 = ₈ m/s

Zasada i równania Bernoulliego

10. Wodę pompuje się sprężarką o ciśnieniu 120 kP , która wchodzi do dolnej rury (1) i płynie w górę z prędkością 1 m/ s. Przyspieszenie ziemskie wynosi 10 m/ s , a gęstość wody wynosi 1000 kg/m ^-3 . Jakie jest ciśnienie wody w górnej rurze (II ).

Znany:

Promień dolnej rury (r₁) = 12 cm

Promień dolnej rury (r ₂ ) = 6 cm

Ciśnienie wody w dolnej rurze (p ₁ ) = 120 kPa = 120 000 Paskali

Prędkość wody w dolnej rurze (v ₁ ) = 1 ms ^-1

Wysokość dolnej rury (h ₁ ) = 0 m

Wysokość górnej rury (h2 ₎ = 2 m

Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 ms ^-2

Gęstość wody = 1000 kg.m ^-3

Poszukiwane: Ciśnienie wody w rurze 2 ( _p2 )

rozwiązanie:

Prędkość wody w rurze 2 oblicza się za pomocą równania ciągłości:

Ciśnienie wody w rurze 2 oblicza się za pomocą równania Bernoulliego:

11. Duża rura znajduje się 5 metrów nad ziemią, a mała 1 metr nad ziemią. Prędkość wody w dużej rurze wynosi 36 km/h przy ciśnieniu 9.1 × 10 ⁵ Pa, podczas gdy ciśnienie w małej rurze wynosi 2.10 ⁵ Pa. Jaka jest prędkość wody w małej rurze? Gęstość wody = 10 ³ kg/ ^m3

Znany:

Ciśnienie wody w dużej rurze (p₁) = 9.1 x 10⁵ Pascal = 910 000 Pascal

Ciśnienie wody w małej rurze (p ₂ ) = 2 x 10 ⁵ Paskali = 200 000 Paskali

Prędkość wody w dużej rurze (v ₁ ) = 36 km/h = 36(1000)/(3600) = 36000/3600 =10 m/s

Wysokość dużej rury (h1 ₎ = -4 metry

Wysokość małej rury (h2 ₎ = 0 metrów

Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 ms ^-2

Gęstość wody = 1000 kg/ ^m3

Poszukiwana: prędkość wody w małej rurze (v ₂ )

rozwiązanie:

Prędkość wody w małej rurze (v ₂ ) oblicza się za pomocą równania Bernoulliego:

12. Rura o promieniu 15 cm połączona jest z inną rurą o promieniu 5 cm. Obie rury znajdują się w położeniu poziomym. Prędkość przepływu wody w dużej rurze wynosi 1 m/s przy ciśnieniu 105 ^N / m² . Jakie jest ciśnienie wody w małej rurze (1 g cm ^-3 )^?

Znany:

Promień dużej rury (r ₁ ) = 15 cm = 0.15 m

Promień małej rury (r ₂ ) = 5 cm = 0.05 m

Ciśnienie wody w dużej rurze (p ₁ ) = 10 ⁵ N m ^-2 = 100 000 N m ^-2

Prędkość wody w dużej rurze (v ₁ ) = 1 ms ^-1

Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 ms ^-2

Gęstość wody = 1 gr cm ^-3 = 1000 kg m ^-3

Różnica wysokości (Δh) = 0.

Poszukiwane: Ciśnienie w rurze małej (p. ₂ )

rozwiązanie:

Prędkość wody w rurze 2 oblicza się korzystając z równania ciągłości:

Ciśnienie wody w małej rurze (p ₂ ) oblicza się za pomocą równania Bernoulliego:

1. Czym jest dynamika płynów?
   • Odpowiedź: Dynamika płynów to dziedzina fizyki, która bada ruch płynów (cieczy i gazów) oraz siły działające na nie. Obejmuje ona zasady i równania opisujące przepływ płynów, ich interakcje z granicami ciał stałych oraz wzajemne oddziaływanie.
2. Jaka jest różnica między przepływem laminarnym i turbulentnym?
   • Odpowiedź: Przepływ laminarny charakteryzuje się gładkimi, równoległymi warstwami cieczy poruszającymi się po uporządkowanych ścieżkach. Przepływ turbulentny natomiast jest chaotyczny, z zawirowaniami, wirami i gwałtownymi fluktuacjami. Turbulencje występują zazwyczaj przy dużych prędkościach lub w kanałach o nieregularnym kształcie.
3. Jakie znaczenie ma pojęcie lepkości w dynamice płynów?
   • Odpowiedź: Lepkość mierzy opór cieczy na ścinanie lub przepływ. Ciecze o wysokiej lepkości (takie jak miód) stawiają większy opór przepływowi niż ciecze o niskiej lepkości (takie jak woda). W dynamice płynów lepkość odgrywa kluczową rolę w określaniu charakteru przepływu cieczy, rozpraszania energii i sił oporu.
4. Czym jest zasada Bernoulliego?
   • Odpowiedź: Zasada Bernoulliego głosi, że w przepływie ustalonym suma energii ciśnienia, energii kinetycznej i energii potencjalnej na jednostkę objętości pozostaje stała. Dokładniej rzecz ujmując, gdy prędkość płynu jest duża, ciśnienie jest niskie i odwrotnie.
5. Jaki jest związek zasady siły nośnej w aerodynamice z dynamiką płynów?
   • Odpowiedź: Siłę nośną skrzydła samolotu można wyjaśnić, stosując zasadę Bernoulliego i trzecie prawo Newtona. Powietrze przepływające nad skrzydłem porusza się szybciej po zakrzywionej górnej powierzchni niż po dolnej, wytwarzając różnicę ciśnień. Ta różnica ciśnień, w połączeniu z odchyleniem powietrza w dół przez skrzydło, powoduje powstanie siły nośnej skierowanej w górę.
6. Czym jest równanie ciągłości w dynamice płynów?
   • Odpowiedź: Równanie ciągłości stwierdza, że ​​iloczyn pola przekroju poprzecznego (A) przepływu i jego prędkości (v) pozostaje stały wzdłuż linii prądu w przepływie ustalonym. Z matematycznego punktu widzenia, A₁​v_1​=A₂​v₂​, Gdzie A_1​ oraz A₂​ są obszarami przekroju poprzecznego i v₁​ oraz v_2​ są prędkościami w dwóch punktach wzdłuż linii prądu.
7. Jaką rolę odgrywa liczba Reynoldsa w dynamice płynów?
   • Odpowiedź: Liczba Reynoldsa to bezwymiarowa wartość, która pomaga przewidywać reżim przepływu (laminarny, przejściowy lub turbulentny) w dynamice płynów. Jest definiowana jako stosunek sił bezwładności do sił lepkości i zależy od takich czynników, jak prędkość płynu, długość charakterystyczna i właściwości płynu.
8. Jak siła oporu działa na obiekty poruszające się w płynie?
   • Odpowiedź: Siła oporu przeciwdziała ruchowi obiektu w płynie. Powstaje ona w wyniku lepkości płynu i różnicy ciśnień wokół obiektu. Wielkość i charakter oporu zależą od takich czynników, jak kształt obiektu, chropowatość, prędkość i właściwości płynu.
9. Czym jest efekt Venturiego?
   • Odpowiedź: Efekt Venturiego odnosi się do spadku ciśnienia cieczy, który występuje, gdy ciecz przepływa przez zwężony odcinek rury. Wraz ze wzrostem prędkości cieczy w zwężonym odcinku (z powodu zasady zachowania masy) jej ciśnienie maleje, zgodnie z zasadą Bernoulliego.
10. Dlaczego płyn przyspiesza, gdy przepływa przez wąski odcinek rury lub kanału?

• Odpowiedź: To zachowanie można wyjaśnić zasadą zachowania masy. W przepływie ustalonym objętość cieczy wpływającej do odcinka rury musi być równa objętości cieczy wypływającej. Jeśli rura jest wąska, ciecz musi przyspieszyć, aby umożliwić przepływ tej samej objętości w danym czasie.