Twierdzenie Torricellego – zadania i rozwiązania

Twierdzenie Torricellego – zadania i rozwiązania

1. Rura o wysokości 100 cm wypełniona jest wodą. Otwór Q znajduje się 10 cm nad ziemią. Jaka jest odległość pozioma (x)?

Znany:

Odległość otworu od powierzchni wody (h) = 100 cm – 10 cm = 90 cm = 0.9 m

Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 m/ ^s2

Poszukiwana: odległość x

rozwiązanie:

Prędkość przepływu wody w otworze

v = prędkość , g = przyspieszenie grawitacyjne , h = odległość między otworem a powierzchnią wody

Prędkość przepływu wody w otworze:

Czas w powietrzu

Ruch wody z otworu do gruntu to ruch pociskuRuch pocisku można zrozumieć, analizując oddzielnie składowe poziomą i pionową ruchu. Ruch x odbywa się ze stałą prędkością, a ruch y ze stałym przyspieszeniem grawitacyjnym.

W tym problemie ruch pionowy analizowany jest jako ruch swobodnego spadania.

Oblicz czas spędzony w powietrzu, korzystając z równania ruchu swobodnego spadania.

Znany:

Wysokość otworu (y) = 10 cm = 0.1 m

Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 m/ ^s2

Poszukiwany: przedział czasu (t)

rozwiązanie:

y = 1/2 ^gt2

0.1 = 1/2 (10) ^t2

0.1 = 5 ton ²

t2 = ^0.1 / 5

t2 = ^0.02

t = √0.02 sekundy

Odległość pozioma (x):

Znany:

Prędkość początkowa (vo ₌ v _ox ) = 3√2 m/s

Czas w powietrzu (t) = √0.02 sekundy

Poszukiwana: odległość pozioma (x)

rozwiązanie:

v = x / t

x = vt = (3√2)(√0.02) = (3)(1.41)(0.14) = 0.59 = 0.6 metra

2. Zbiornik z wodą ma wysokość 1 metra. W punkcie P znajduje się otwór. Jaka jest prędkość przepływu wody przez otwór? Przyspieszenie grawitacyjne wynosi 10 m/ ^s².

Znany:

Odległość otworu od powierzchni wody (h) = 100 cm – 80 cm = 20 cm = 0.2 m

Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 m/ ^s2

Poszukiwane: Prędkość przepływu wody w otworze (v)

rozwiązanie:

Prędkość przepływu wody w otworze:

3. Dużywanna elektroniczna zawiera wodę i jest kran, jak pokazano na poniższym rysunku. Jeśli g = 10 ms^-2, wówczas prędkość wody wypływającej z kranu wynosi…

Znany:

Wysokość (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metra

Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 m/ ^s2

Poszukiwany: Prędkość wody (v)

rozwiązanie:

Twierdzenie Torricelliego głosi, że prędkość wody przepływającej przez otwór znajdujący się w odległości h od powierzchni wody jest równa prędkości swobodnego spadku wody z wysokości h.

Prędkość wody oblicza się za pomocą wzoru ruchu swobodnego spadania a v _t ² = 2 gh

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

vt = √9 = 3 m/ _s

4. W wannie wypełnionej wodą znajduje się otwór (patrz rysunek poniżej ). Prędkość wody wypływającej z otworu wynosi… (g = 10 ms ^-2 )

Znany:

Wysokość (h) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 metra

Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 m/ ^s2

Poszukiwany: Prędkość wody (v)

rozwiązanie:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

vt = √25 = 5 m/ _s

5. Zbiornik wypełniony wodą o wysokości 1 metra (g = 10 ms ^-2 ) i w ścianie znajduje się otwór wyciekowy (patrz rysunek poniżej ). Prędkość wody wypływającej z otworu wynosi...

Znany:

Wysokość (h) = 1 m – 0.20 m = 0.8 metra

Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 m/ ^s2

Poszukiwany: Prędkość wody (v)

rozwiązanie:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

vt = √16 = 4 m/ _s

1. Co opisuje twierdzenie Torricellego?
   • Odpowiedź: Twierdzenie Torricellego wiąże prędkość wypływającej cieczy z otworu z wysokością słupa cieczy nad otworem, przy założeniu, że przepływ jest ustalony, nielepki i nieściśliwy.
2. Jak matematycznie wyrazić twierdzenie Torricellego?
   • Odpowiedź: Twierdzenie jest wyrażone jako v=√2gh​, Gdzie $v$ jest prędkością odpływu, $g$ jest przyspieszeniem grawitacyjnym i $h$ jest wysokością słupa cieczy ponad otworem.
3. Przy jakich założeniach wyprowadzono twierdzenie Torricellego?
   • Odpowiedź: Twierdzenie to zakłada, że ​​płyn jest nieściśliwy i nielepki, przepływ jest stały i nie jest dodatkowa energia dodawana do płynu ani z niego pobierana.
4. Jeśli pojemnik ma dwa otwory na różnej głębokości, jaka będzie różnica w prędkościach wypływających z otworów cieczy?
   • Odpowiedź: Płyn wypływający z otworu bliżej podstawy będzie miał większą prędkość niż płyn wypływający z otworu położonego wyżej. Dzieje się tak, ponieważ ciśnienie (a tym samym energia potencjalna) jest większe na większych głębokościach.
5. Dlaczego prędkość wypływu nie zależy od kształtu ani pola przekroju poprzecznego pojemnika?
   • Odpowiedź: Twierdzenie Torricellego uwzględnia jedynie energię potencjalną wynikającą z wysokości słupa cieczy nad otworem. Kształt zbiornika nie zmienia tej wysokości, więc prędkość wypływu pozostaje taka sama.
6. Jak rzeczywista prędkość wypływającej cieczy z otworu różni się od przewidywań opartych na twierdzeniu Torricellego w sytuacjach rzeczywistych?
   • Odpowiedź: W sytuacjach rzeczywistych czynniki takie jak lepkość cieczy, turbulencje i kształt otworu mogą wpływać na rzeczywistą prędkość, często sprawiając, że jest ona mniejsza od przewidywanej przez twierdzenie Torricellego.
7. Jaki jest związek między twierdzeniem Torricellego a zasadą zachowania energii?
   • Odpowiedź: Twierdzenie Torricellego wywodzi się z zasady zachowania energii mechanicznej. Przyrównuje ono energię potencjalną na powierzchni cieczy do energii kinetycznej w otworze.
8. W jaki sposób twierdzenie Torricellego opisuje prędkość wypływu, jeśli na samej górze zbiornika wypełnionego płynem znajduje się otwór?
   • Odpowiedź: Wysokość $h$ powyżej otworu wynosiłaby zero, zatem zgodnie z twierdzeniem Torricellego prędkość wypływu wynosiłaby zero.
9. Jak obecność ciśnienia atmosferycznego wpływa na przewidywania twierdzenia Torricellego?
   • Odpowiedź: Twierdzenie Torricellego zakłada, że ​​pojemnik jest otwarty na atmosferę, a zatem ciśnienie atmosferyczne działa równomiernie na całej powierzchni cieczy. Ciśnienie to znosi się, gdy uwzględnimy różnicę ciśnień na całej wysokości cieczy, więc twierdzenie pozostaje ważne.
10. Co się dzieje z szybkością wypływu, gdy ilość płynu w pojemniku maleje?

• Odpowiedź: W miarę obniżania się poziomu cieczy, wzrasta wysokość $h$ powyżej otworu maleje. Zgodnie z twierdzeniem Torricellego, prędkość wypływu będzie maleć wraz ze spadkiem v=√2gh​.

Poniższe pytania i odpowiedzi badają podstawy, implikacje i zastosowania twierdzenia Torricellego w dynamice płynów.