Artykuł o zasadzie Bernoulliego i równaniu Bernoulliego
Kiedy jedziemy na motocyklu, ubrania, które nosimy, są napuchnięte do tyłu. Czasami, gdy wieje silny wiatr, drzwi mogą się same zamknąć. Chociaż wiatr wieje na zewnątrz domu, drzwi są w środku.
Można to wyjaśnić, stosując zasadę Bernoulliego. Daniel Bernoulli (1700-1782) odkrył zasadę, która może posłużyć do wyjaśnienia powyższego zjawiska.
Zasada Bernoulliego
Zasada Bernoulliego głosi, że tam, gdzie prędkość przepływu cieczy jest duża, ciśnienie cieczy jest niskie. I odwrotnie, jeśli prędkość przepływu cieczy jest mała, ciśnienie cieczy jest wysokie. Gdy motocykl porusza się szybko, prędkość powietrza z przodu i z boku ciała jest duża. W związku z tym ciśnienie powietrza spada. Tylna część ciała jest blokowana przez przód ciała, więc prędkość powietrza z tyłu ciała nie wzrasta. W rezultacie ciśnienie powietrza z tyłu ciała wzrasta. Ponieważ występuje różnica ciśnień, gdzie w tylnej części ciała ciśnienie powietrza jest wyższe niż w powietrzu, koszula jest odchylana do tyłu, przez co ubranie wygląda na nadmuchane do tyłu.
A co z drzwiami, które zamykają się same, gdy wieje wiatr na zewnątrz? Powietrze na zewnątrz porusza się szybciej niż powietrze w domu. W rezultacie ciśnienie powietrza na zewnątrz jest niższe niż ciśnienie powietrza w domu. Ponieważ występuje różnica ciśnień, gdzie ciśnienie powietrza wewnątrz domu jest wyższe, drzwi są wypychane na zewnątrz. Innymi słowy, skrzydło drzwi przesuwa się z miejsca, w którym ciśnienie powietrza jest wysokie, w kierunku miejsca, w którym ciśnienie powietrza jest niskie.
równanie Bernoulliego
Wcześniej poznaliśmy zasadę Bernoulliego. Bernoulli rozwinął ją również ilościowo. Aby wyprowadzić równanie Bernoulliego, zakładamy, że przepływ płynu jest stacjonarny i laminarny, niesprężony, a lepkość jest minimalna, więc można ją pominąć.
Omawiając równanie ciągłości, dowiedzieliśmy się, że natężenie przepływu płynu może się również zmieniać w zależności od powierzchni przepływu w rurze przepływowej. Zgodnie z opisanym powyżej prawem Bernoulliego, ciśnienie płynu może się również zmieniać w zależności od natężenia przepływu. Ciśnienie płynu może się również zmieniać w zależności od wysokości cieczy. Zależność między ciśnieniem, natężeniem przepływu i wysokością przepływu można uzyskać z równania Bernoulliego.
Równanie Bernoulliego jest kluczowe, ponieważ można je wykorzystać do analizy lotów samolotów, elektrowni wodnych, systemów rurociągowych itp. Aby wyprowadzić równanie Bernoulliego w ogólności, zakładamy, że ciecz przepływa przez rurę przepływową o różnym przekroju poprzecznym i różnej wysokości. Aby wyprowadzić równanie Bernoulliego, stosujemy twierdzenie o pracy i energii do cieczy w rurze przepływowej.
Nieprzezroczysty kolor w rurze przepływowej na poniższym rysunku pokazuje przepływ cieczy, natomiast kolor biały pokazuje brak cieczy.
Płyn w przekroju poprzecznym 1 (lewa strona) płynie aż do L1 i zmusza ciecz w sekcji 2 (prawa strona) do przesunięcia się aż do L2Ponieważ pole przekroju poprzecznego 2 po prawej stronie jest mniejsze, prędkość przepływu cieczy po prawej stronie rury przepływowej jest większa (pamiętaj o równaniu ciągłości). Powoduje to różnicę ciśnień między sekcją 2 (prawą stroną rury przepływowej) a sekcją 1 (lewą stroną rury przepływowej) – pamiętaj o zasadzie Bernoulliego. Ciecz znajdująca się po lewej stronie sekcji 1 wytwarza ciśnienie (P1) na płynie po prawej stronie i działa:
Następnie W1 równanie można zapisać w następujący sposób:
W1 =p1 A1 L1
W sekcji 2 (po prawej stronie rury przepływowej) praca wykonana nad płynem wynosi:
W2 = − p2 A2 L2
Znak ujemny oznacza, że przyłożona siła jest przeciwna do kierunku ruchu. Zatem płyn wykonuje pracę na prawo od przekroju 2. Ponadto, siła grawitacji działa na płyn. W powyższym przypadku, niektóre masy płynu są przenoszone z przekroju 1 aż do L.1 do sekcji 2 w zakresie L2, gdzie jest objętością płynu w sekcji 1 (A1 L1) = objętość płynu w sekcji 2 (A2 L2). Praca wykonana przez grawitację wynosi:
W3 = − mg (h2 - H1)
W3 = − mgh2 + mgh1)
W3 = mgh1 - mgh2
Znak ujemny powstaje, gdy płyn płynie w górę, wbrew kierunkowi grawitacji. Zatem praca netto wykonana nad płynem wynosi:
W = W1 + W.2 + W.3
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Twierdzenie o pracy i energii mówi, że całkowita praca wykonana nad układem jest taka sama jak zmiana energii kinetycznej. Możemy zatem zastąpić pracę (W) zmianami energii kinetycznej (EK).2 – EK1).
Powyższe równanie można zapisać jeszcze raz:
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
EK2 ‐ EK1 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
1⁄2 mv22 – 1⁄2 mv12 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Masa płynu, która płynie aż do L1 w przekroju A1 = masa płynu, która przepływa do punktu L2 (przekrój poprzeczny A2). Masa płynu, powiedzmy m, ma objętość A1 L1 i a2 L2 gdzie1 L1 = A2 L2 (L2 jest dłuższy niż L1).
Teraz podstawimy m w powyższym równaniu przez m = ρ AL:
To jest równanie Bernoulliego. Równanie Bernoulliego wyprowadzono w oparciu o zasadę pracy i energii, a zatem jest ono formą zasady zachowania energii.
P = ciśnienie, ρ = gęstość, v = prędkość płynu, g = przyspieszenie ziemskie, h = wysokość rury nad ziemią.
Lewy i prawy segment powyższego równania Bernoulliego mogą odnosić się do dwóch punktów w dowolnym miejscu wzdłuż rury przepływowej, dzięki czemu możemy zapisać powyższe równanie w postaci:
Przyjrzyjmy się teraz równaniu Bernoulliego dla kilku przypadków.
Równanie Bernoulliego w płynach statycznych
Szczególnym przypadkiem równania Bernoulliego jest płyn statyczny, w którym płyn nie ma prędkości. Zatem v1 = v2 = 0. W przypadku płynu statycznego możemy sformułować równanie Bernoulliego w postaci:
Jeśli h2 - h1 = h, to równanie można zapisać w następujący sposób:
p1 - P2 = ρ g (h2 - H1)
p1 - P2 = ρ gh
Równanie Bernoulliego na rurze o tej samej wysokości
Jeżeli wysokość rury jest taka sama, równanie Bernoulliego zmienia się w następujący sposób:
