Kryssmultiplikasjonsmateriale ved bruk av enhetsvektorkomponenter
Vi kan beregne kryssproduktet direkte hvis vi kjenner komponentene i vektorene. Fremgangsmåten er den samme som for prikkproduktet . Først multipliserer vi enhetsvektorene i , j og k . Vektorproduktet mellom de samme enhetsvektorene er null.
i x i = j x j = k x k = 0
Ved å referere til den tidligere utledede vektormultiplikasjonsligningen (A x B = AB synd θ) og den antikommutative egenskapen til vektormultiplikasjon (A x B = - B x A), så får vi:
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = – i x k = j
Nå uttrykker vi vektorene A og B i form av deres komponenter, dekomponerer produktet deres og bruker produktet av enhetsvektorer.
A x B= (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
Fordi i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, så:
A x B = AxBx (0)+ AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
Ay B x ( -k ) + Ay B z ( i ) +
AzBx ( j ) + AzBy ( -i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
Hvis C = A x B , er komponentene i C som følger:
Cx = Ay Bz – Az By
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
