Punktmultiplikasjonsmateriale ved bruk av enhetsvektorkomponenter
Vi kan beregne skalarproduktet direkte hvis vi kjenner x-, y- og z-komponentene til vektorene A og B (de kjente vektorene).
For å utføre et prikkprodukt på denne måten, utfører vi først et prikkprodukt av enhetsvektorene, deretter uttrykker vi vektorene A og B i deres komponenter, dekomponerer produktet og bruker produktet av enhetsvektorene.
Enhetsvektorene i , j og k er vinkelrette på hverandre, noe som gjør beregningene enklere. Ved å bruke den skalære multiplikasjonsligningen utledet ovenfor ( AB = AB cos theta ), får vi:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i.j = i.k = j.k = (1)(1) cos 90 o = 0
Nå uttrykker vi vektorene A og B i form av deres komponenter, dekomponerer produktet deres og bruker produktet av enhetsvektorer.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Fordi i . i = j . j = k . k = 1 og i . j = i . k = j . k = 0, så:
A . B = AxBx (1)+ AxBy (0)+ Ax Bz (0) +
AyBx (0)+ AyBy (1)+ AyBz (0) +
AzBx (0)+ AzBy (0)+ AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + Ay By (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Basert på resultatene av denne beregningen kan det konkluderes med at skalarproduktet eller prikkproduktet av to vektorer er summen av produktene av deres lignende komponenter.
Eksempelspørsmål 1:
Stor vektor A dan B henholdsvis 5 og 4, som vist på bildet nedenfor. Vinkelen som dannes er 90oTell det punktprodukt begge vektorene.
Diskusjon
Før vi beregner prikkproduktet av vektorene A og B, må vi først vite komponentene til den andre vektoren.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
Vektor A har bare vektorkomponenter på x-aksen, og vektor B har bare vektorkomponenter på y-aksen. Z-komponenten er null fordi vektorene A og B er i xy-planet.
Nå beregner vi prikkproduktet mellom vektorene A og B ved å bruke prikkproduktligningen med komponentvektorer:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
La oss sammenligne det med den første metoden
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Resultatet er det samme.
Eksempelspørsmål 2:
Stor vektor A dan B er henholdsvis 5 og 4, som vist på bildet nedenfor. Beregn punktprodukt begge vektorene, hvis den dannede vinkelen er 30o
Diskusjon
Før vi beregner prikkproduktet av vektorene A og B, må vi først vite komponentene til den andre vektoren.
Z-komponenten er null fordi vektorene A og B er i xy-planet.
Nå beregner vi prikkproduktet mellom vektorene A og B ved å bruke prikkproduktligningen med komponentvektorer:
Sammenlign med den første metoden.
