डट उत्पादन

भेक्टरहरू साधारण संख्याहरू होइनन्, त्यसैले साधारण गुणन तिनीहरूमा सिधै लागू गर्न सकिँदैन। हामीले भेक्टर गुणन प्रयोग गर्नुपर्छ। भेक्टर गुणन दुई प्रकारका हुन्छन्: डट गुणन र क्रस गुणन। डट गुणनलाई स्केलर गुणन पनि भनिन्छ किनभने यसले स्केलर मात्रा उत्पादन गर्छ। क्रस गुणनलाई भेक्टर गुणन पनि भनिन्छ किनभने यसले भेक्टर मात्रा उत्पादन गर्छ। उदाहरणका लागि, दुई भेक्टरहरू छन्, अर्थात् A दान Bभेक्टरहरूको स्केलर गुणन A दान B संग भनिएको एबी केएरेनाले डट नोटेशन प्रयोग गर्ने भएकोले, यो गुणनलाई भनिन्छ डट उत्पादन। को भेक्टर गुणन A दान B संग भनिएको A x ख। किनकि यसले नोटेशन प्रयोग गर्दछ x, त्यसपछि यो गुणनलाई क्रस गुणन भनिन्छ।

उदाहरणका लागि, भेक्टर दिइएको छ A दान B तलको चित्रमा देखाइए जस्तै। भेक्टरहरू बीचको डट गुणनफल A दान B को रूपमा लेखिएको एबी (A बिन्दु B).

भेक्टरहरूको डट गुणन परिभाषित गर्न A दान B ((एबी), चित्रित भेक्टर A र भेक्टरहरू तपाईंको तर्फबाटजसले कोण बनाउँछ θ. अब हामी भेक्टरको प्रक्षेपण कोर्छौं। B भेक्टरको दिशा तिर Aयो प्रक्षेपण भेक्टरको एक घटक हो B जुन भेक्टरसँग समानान्तर छ A, जुन आकार जस्तै छ B cos θ.

यसरी, हामी परिभाषित गर्छौं एबी ठूलो भेक्टरको रूपमा A भेक्टर कम्पोनेन्टहरूले गुणन B जुन समानान्तर छ Aगणितीय रूपमा हामी यसलाई निम्नानुसार लेख्न सक्छौं:

AB cos θ एउटा साधारण संख्या (स्केलर) हो। त्यसैले, डट गुणनलाई स्केलर गुणन पनि भनिन्छ। के हुन्छ यदि भेक्टरहरू बीचको डट गुणन A दान B उल्टो पारेर ब ? हामीले परिभाषित गर्नु अघि ब, पहिले हामी भेक्टरको प्रक्षेपण कोर्छौं A भेक्टरहरूमा B (तलको चित्र हेर्नुहोस्)।

यस छविको आधारमा, हामी परिभाषित गर्न सक्छौं ब ठूलो भेक्टरको रूपमा B भेक्टर कम्पोनेन्टहरूले गुणन A जुन समानान्तर छ Bगणितीय रूपमा हामी यसलाई निम्नानुसार लेख्न सक्छौं:

डट उत्पादन परिणाम एबी = AB cos θ र डट उत्पादनको परिणाम ब = BA cos θ। किनभने AB cos θ = BA cos θ, त्यसपछि यो लागू हुन्छ एबी = ब

डट गुणन बारे केही कुराहरू जुन तपाईंले जान्न आवश्यक छ:

१. डट गुणनले कम्युटेटिभ नियमलाई सन्तुष्ट पार्छ।

एबी = बीए

२. डट गुणनले वितरणात्मक नियमलाई सन्तुष्ट पार्छ।

A. (B + C) = AB + AC

३. यदि भेक्टरहरू A र B एकअर्कासँग लम्ब छन् भने, डट गुणनफल AB = ०

जब भेक्टर A दान B एकअर्कासँग लम्ब हुन्छ, त्यसपछि बन्ने कोण 90 हुन्छ^o। कोस ९०^o = ०. यसरी: एबी = AB cos स्तन = AB cos 90^o = ०। अर्कोतर्फ, ब = BA cos स्तन = BA cos 90^o = 0

४. यदि भेक्टर A र भेक्टर B एउटै दिशामा छन् भने, AB = AB cos 0 ^o = AB

जब भेक्टर A दान B एउटै दिशामा, त्यसपछि बन्ने कोण ० हुन्छ^o. Cos ० = १। यसरी, एबी = AB cos स्तन = AB cos 0^o = AB। यसको विपरीत ब = BA cos स्तन = BA cos 0^o = BA

(तपाईं भ्रमित हुनुहुँदैन AB दान BAठूलो AB = ठूलो BAउदाहरणका लागि, भेक्टरको परिमाण A = २. भेक्टरको परिमाण B = ३. त्यसपछि एबी = २.३ = ६; यो उस्तै हो ब = 3.2 = 6।

^{५. एउटै दिशामा दुई भेक्टरहरूको लागि अर्को अवस्था, यदि} A = B छ भने हामीले AA = A ^२ वा BB = B ^२ पाउँछौं ।

६. यदि भेक्टर A र B विपरीत दिशामा छन् (जब दुई भेक्टर विपरीत दिशामा छन्, बनाइएको कोण १८०º हुन्छ) , तब गुणनको परिणाम AB = AB cos १८०º = AB (-१) = -AB हुन्छ।

कोस १८०º = -१।

समस्याहरूको उदाहरण:

^{एउटा भेक्टर} A को परिमाण ४ एकाइ र भेक्टर B को परिमाण ३ एकाइ हुन्छ। यदि दुई भेक्टरहरूले बनाएको कोण ६०º, ९०º र १८०º छ भने दुई भेक्टरहरूको डट गुणनफल निर्धारण गर्नुहोस् ^।

छलफल

AB = BA भएकोले , हामी कुनै एक प्रयोग गर्न सक्छौं। उदाहरणका लागि, हामी AB प्रयोग गर्छौं

AB = AB कोस थीटा

A को आकार = ४ एकाइ र B को आकार = ३ एकाइ।