घातांकीय क्षयको उदाहरण प्रश्न र छलफल
घातांकीय क्षय भौतिकशास्त्र, रसायन विज्ञान, जीवविज्ञान र अर्थशास्त्र जस्ता विभिन्न विषयहरूमा पाइने एक प्राकृतिक घटना हो। गणितीय मोडेलको रूपमा, घातांकीय क्षयले दिइएको मात्रा यसको वर्तमान मात्राको समानुपातिक रूपमा घट्ने प्रक्रियालाई वर्णन गर्दछ। गणितमा, घातांकीय क्षय सामान्य रूप पछ्याउँछ:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
कहाँ:
– \( N(t) \) भनेको समयमा बाँकी रहेको रकम हो \( t \),
– \( N_0 \) प्रारम्भिक संख्या हो,
– \( \lambda \) क्षय स्थिरांक हो (जसलाई प्रायः क्षय दर भनिन्छ),
– \( t \) भनेको समय हो,
– \( e \) प्राकृतिक लघुगणकको आधार हो (लगभग २.७१८)।
यस लेखमा, हामी यस अवधारणालाई अझ गहिरो रूपमा बुझ्न मद्दत गर्न घातीय क्षय समस्याहरूका केही उदाहरणहरू र तिनीहरूका समाधानहरू छलफल गर्नेछौं।
उदाहरण प्रश्न १: रेडियोधर्मी क्षय
प्रश्न:
एउटा रेडियोधर्मी पदार्थको आधा आयु ५ वर्ष हुन्छ। यदि सुरुमा १०० ग्राम पदार्थ भएको भए १५ वर्षपछि कति ग्राम बाँकी रहन्थ्यो?
छलफल:
रेडियोधर्मी क्षयलाई घातांकीय क्षय सूत्र प्रयोग गरेर मोडेल गर्न सकिन्छ। आधा-जीवन (\( t_{1/2} \)) भनेको रेडियोधर्मी पदार्थको आधा मात्रा क्षय हुन लाग्ने समय हो। यो ज्ञात छ कि \( t_{1/2} = 5 \) वर्ष।
पहिले हामीले सूत्र प्रयोग गरेर क्षय स्थिरांक \( \lambda \) फेला पार्नु पर्छ:
\[ \lambda = \frac{\ln २}{t_{१/२}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln २}{५} \लगभग ०.१३८६ \पाठ{ वर्ष}^{-१} \]
यसरी, घातांकीय क्षय सूत्र यस्तो छ:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[ N(t) = १०० e^{-0.1386 \गुणा १५} \]
अब, हामी मान गणना गर्छौं:
\[ N(t) = १०० e^{-2.079} \]
\[ N(t) = १०० \गुणा ०.१२५ \]
\[ N(t) \लगभग १२.५ \पाठ{ ग्राम} \]
त्यसैले, १५ वर्ष पछि, लगभग १२.५ ग्राम रेडियोधर्मी पदार्थ बाँकी रहन्छ।
उदाहरण २: क्यापेसिटर डिके
प्रश्न:
सर्किटमा प्रारम्भिक चार्ज \( Q_0 = 200 \text{ C} \) भएको क्यापेसिटरलाई डिस्चार्ज गर्न अनुमति दिइन्छ। समय स्थिरांक \( \tau = 4 \text{ s} \) हो। १० सेकेन्ड पछि कति चार्ज बाँकी रहन्छ?
छलफल:
क्यापेसिटर चार्ज क्षयको अवस्थामा, प्रयोग गरिएको घातांकीय मोडेल हो:
\[ Q(t) = Q_0 e^{-t/\tau} \]
\( Q_0 = 200 \text{ C} \) र \( \tau = 4 \text{ s} \) दिइएको छ। हामीले \( Q(10) \) फेला पार्न आवश्यक छ:
\[ Q(10) = 200 e^{-10/4} \]
\[ Q(10) = 200 e^{-2.5} \]
घातांकीय मानहरू गणना गर्दै:
\[ Q(१०) = २०० \गुणा ०.०८२१ \]
\[ प्रश्न(१०) \लगभग १६.४२ \पाठ{ C} \]
त्यसैले, १० सेकेन्ड पछि, क्यापेसिटरमा बाँकी रहेको चार्ज लगभग १६.४२ सेल्सियस हुन्छ।
उदाहरण प्रश्न ३: रासायनिक क्षय
प्रश्न:
रसायनको क्षय स्थिरांक \( \lambda = 0.05 \text{ days}^{-1} \) हुन्छ। रसायनलाई यसको मूल मात्राको २५% मा घटाउन कति समय लाग्छ?
छलफल:
हामी घातीय क्षयको लागि सामान्य सूत्रबाट सुरु गर्छौं:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
हामी N(t) लाई \( N_0 \) को २५% बनाउन चाहन्छौं, ताकि:
\[ ०.२५ N_० = N_० e^{-०.०५ t} \]
दुवै पक्षबाट \( N_0 \) हटाउँदै:
\[ ०.२५ = e^{-०.०५ t} \]
घातांकीय केसहरू समाधान गर्न प्राकृतिक लघुगणकहरू प्रयोग गर्दै:
\[ \ln ०.२५ = -०.०५ ट \]
\[ -१.३८६३ = -०.०५ ट \]
\( t \) को लागि समाधान गर्दै:
\[ t = \frac{१.३८६३}{०.०५} \]
\[ t \लगभग २७,७२६ \पाठ{ दिन} \]
त्यसैले, रसायनलाई यसको प्रारम्भिक मात्राको २५% मा घटाउन लाग्ने समय लगभग २७,७२६ दिन हो।
उदाहरण प्रश्न ४: ब्याक्टेरियाको जनसंख्या क्षय
प्रश्न:
ब्याक्टेरियाको जनसंख्या घातांकीय दरले घट्छ जसले गर्दा ३ घण्टा पछि, जनसंख्या यसको सुरुवाती संख्याको आधा हुन्छ। यदि सुरुवाती जनसंख्या ८००० ब्याक्टेरिया थियो भने, ९ घण्टा पछि कति ब्याक्टेरिया बाँकी रहन्छन्?
छलफल:
यो ज्ञात छ कि आधा-जीवन \( t_{1/2} = 3 \) घण्टा। पहिले हामी क्षय स्थिरांक \( \lambda \) फेला पार्छौं:
\[ \lambda = \frac{\ln २}{t_{१/२}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln २}{३} \लगभग ०.२३१ \पाठ{ घण्टा}^{-१} \]
त्यस पछि, हामी घातांकीय क्षय सूत्र प्रयोग गर्छौं:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[ N(9) = 8000 e^{-0.231 \गुणा 9} \]
घातांकीय मानहरू गणना गर्दै:
\[ N(9) = ८००० e^{-२.०७९} \]
\[ N(9) = ८००० \गुणा ०.१२५ \]
\[ N(9) \लगभग १००० \]
त्यसैले, ९ घण्टा पछि, लगभग १००० ब्याक्टेरिया बाँकी रहनेछन्।
केसिम्पुलन
घातांकीय क्षय मोडेलले विभिन्न वैज्ञानिक र ईन्जिनियरिङ् अनुप्रयोगहरूमा क्षय प्रक्रियाहरूसँग सम्बन्धित समस्याहरू समाधान गर्न एक कुशल दृष्टिकोण प्रदान गर्दछ। क्षय स्थिरांक, आधा-जीवन, र घातांकीय सूत्रहरूको प्रयोग जस्ता आधारभूत अवधारणाहरू बुझेर, हामी समयसँगै मात्रामा हुने परिवर्तनलाई सापेक्षिक सहजताका साथ गणना गर्न सक्छौं। माथि छलफल गरिएका अभ्यास समस्याहरूले हामीलाई घातांकीय क्षयको अवधारणालाई बुझ्न र थप जटिल परिस्थितिहरूमा लागू गर्न मद्दत गर्नेछ।
