द्विपद वितरण प्रकार्यको बारेमा छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू

द्विपद वितरण प्रकार्यको बारेमा छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू

द्विपद वितरण एक असक्रिय सम्भाव्यता वितरण हो जसले दुई सम्भावित परिणामहरू सहित धेरै स्वतन्त्र परीक्षणहरू समावेश गर्ने प्रयोगमा सफलताहरूको संख्या वर्णन गर्दछ: सफलता र असफलता। प्रत्येक परीक्षणलाई परीक्षण भनिन्छ, र द्विपद वितरण प्रायः त्यस्तो परिस्थितिहरूमा प्रयोग गरिन्छ जहाँ धेरै स्वतन्त्र परीक्षणहरूमा सफलताहरूको संख्या चासोको विषय हुन्छ। यस लेखमा, हामी द्विपद वितरणको आधारभूत अवधारणाहरू छलफल गर्नेछौं र उदाहरणहरू र समाधानहरू प्रदान गर्नेछौं।

द्विपद वितरण प्रकार्यको आधारभूत अवधारणाहरू

उदाहरण प्रश्नहरू र छलफलमा जानु अघि, द्विपद वितरणसँग सम्बन्धित केही आधारभूत अवधारणाहरू छलफल गरौं।

१. परिभाषा: द्विपद वितरणलाई 'n' स्वतन्त्र परीक्षणहरूमा सफलताहरूको योगको रूपमा परिभाषित गरिएको छ, जहाँ प्रत्येक परीक्षणमा दुई सम्भावित परिणामहरू हुन्छन्: सफलता (सम्भाव्यता p सहित) वा असफलता (सम्भाव्यता q = १ – p सहित)।

२. सम्भाव्यता प्रकार्य: द्विपद वितरणको सम्भाव्यता प्रकार्य हो:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
कहाँ:
– \( P(X = k) \) भनेको n परीक्षणहरूमा k सफलताहरू हुने सम्भावना हो।
– \( \binom{n}{k} \) भनेको n टेक k को संयोजन हो, जसलाई \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) को रूपमा परिभाषित गरिएको छ।
– \( p \) प्रत्येक परीक्षणमा सफलताको सम्भाव्यता हो।
– \( (1-p) \) भनेको प्रत्येक परीक्षणमा असफलताको सम्भावना हो।

३. अपेक्षित मूल्य र भिन्नता:
– द्विपद वितरणको अपेक्षित मान (औसत) \( \mu = np \) हो।
– द्विपद वितरणको भिन्नता \( \sigma^2 = np(1-p) \) हो।

अब, गहिरो बुझाइ प्रदान गर्न यी अवधारणाहरूलाई उदाहरण समस्यामा लागू गरौं।

उदाहरण प्रश्न १: द्विपद वितरणको आधारभूत गणना

प्रश्न:
एउटा कम्पनीले इलेक्ट्रोनिक कम्पोनेन्टहरू उत्पादन गर्छ जसमा प्रत्येक कम्पोनेन्टले गुणस्तर परीक्षण पास गर्ने सम्भावना ०.९५ हुन्छ। यदि १० कम्पोनेन्टहरू उत्पादन गरिन्छ भने, ठ्याक्कै ८ कम्पोनेन्टहरूले गुणस्तर परीक्षण पास गर्ने सम्भावना गणना गर्नुहोस्।

छलफल:
यो समस्या समाधान गर्न हामी द्विपद वितरण सूत्र प्रयोग गर्न सक्छौं। पहिले, हामी निम्न प्यारामिटरहरू पहिचान गर्छौं:
– \( n \) (परीक्षणहरूको कुल संख्या) = १०
– \( k \) (सफलताको संख्या) = ८
– \( p \) (सफलताको सम्भावना) = ०.९५
– \( q \) (असफलताको सम्भावना) = १ – ०.९५ = ०.०५

त्यसपछि यी मानहरूलाई द्विपद वितरण सूत्रमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[
P(X = ८) = \binom{10}{8} (०.९५)^८ (०.०५)^२
\]

पहिले, संयोजन \( \binom{10}{8} \) गणना गर्नुहोस्:
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = ४५
\]

त्यसपछि, सम्भाव्यताहरू गणना गर्नुहोस् \( (०.९५)^८ \) र \( (०.०५)^२ \):
\[
(०.९५)^८ \लगभग ०.६६३४
\]
\[
(०.०५)^२ = ०.००२५
\]

अन्तमा, प्राप्त गर्न ती सबै मानहरूलाई गुणन गर्नुहोस्:
\[
P(X = ८) = ४५ \गुणा ०.६६३४ \गुणा ०.००२५ \लगभग ०.०७४४
\]

त्यसोभए, १० मध्ये ८ वटा कम्पोनेन्टले गुणस्तर परीक्षणमा उत्तीर्ण हुने सम्भावना लगभग ०.०७४४ वा ७.४४% छ।

उदाहरण प्रश्न २: संचयी सम्भाव्यता

प्रश्न:
अझै पनि एउटै कम्पनीसँग, १० मध्ये कम्तिमा ९ कम्पोनेन्टहरूले गुणस्तर परीक्षण पास गर्ने सम्भावना गणना गर्नुहोस्।

छलफल:
यो समस्या समाधान गर्न, हामीले संचयी सम्भाव्यता गणना गर्न आवश्यक छ। १० मध्ये कम्तिमा ९ घटकले परीक्षण पास गर्ने सम्भाव्यताको अर्थ हामीले \( P(X \geq 9) \) गणना गर्छौं, जुन यसरी लेख्न सकिन्छ:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]

द्विपद वितरण सूत्र प्रयोग गर्दै:
\[
P(X = ८) = \binom{10}{9} (०.९५)^८ (०.०५)^२
\]
\[
P(X = १०) = \binom{10}{10} (०.९५)^{१०} (०.०५)^०
\]

पहिले, प्रत्येक केसको लागि संयोजन गणना गर्नुहोस्:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = १
\]

त्यसपछि, \( P(X = 9) \) र \( P(X = 10) \) को लागि सम्भाव्यता गणना गर्नुहोस्:
\[
P(X = ९) = १० \गुणा (०.९५)^९ \गुणा ०.०५
\]
\[
(०.९५)^८ \लगभग ०.६६३४
\]
\[
P(X = ८) = ४५ \गुणा ०.६६३४ \गुणा ०.००२५ \लगभग ०.०७४४
\]

\[
P(X = १०) = १ \गुणा (०.९५)^{१०} \गुणा १
\]
\[
(०.९५)^{१०} \लगभग ०.५९८७
\]
\[
P(X = १०) = ०.५९८७
\]

\( P(X \geq 9) \ को लागि कुल सम्भाव्यता):
\[
P(X \geq 9) = ०.३१५१ + ०.५९८७ \लगभग ०.९१३८
\]

त्यसैले, १० मध्ये कम्तिमा ९ घटकले गुणस्तर परीक्षणमा उत्तीर्ण हुने सम्भावना लगभग ०.९१३८ वा ९१.३८% छ।

उदाहरण प्रश्न ३: अपेक्षित मान र भिन्नता

प्रश्न:
उत्पादित १० वटा कम्पोनेन्टहरू मध्ये गुणस्तर परीक्षणमा उत्तीर्ण हुने कम्पोनेन्टहरूको संख्याको अपेक्षित मान र भिन्नता गणना गर्नुहोस्, जसको सम्भाव्यता ०.९५ छ।

छलफल:
निम्न सूत्र प्रयोग गर्नुहोस्:
– अपेक्षित मान (औसत) \( \mu = np \)
– भिन्नता \( \sigma^2 = np(1-p) \)

\( n = १० \) र \( p = ०.९५ \) सँग:
\[
\mu = १० \गुणा ०.९५ = ९.५
\]
\[
\sigma^2 = १० \गुणा ०.९५ \गुणा ०.०५ = ०.४७५
\]

त्यसैले, गुणस्तर परीक्षणमा उत्तीर्ण हुने घटकहरूको संख्याको अपेक्षित मान ९.५ हो, र भिन्नता ०.४७५ हो।

केसिम्पुलन

माथिका तीन उदाहरण समस्याहरू मार्फत, हामीले विभिन्न परिस्थितिहरूको लागि द्विपद वितरण प्रयोग गरेर सम्भाव्यता कसरी गणना गर्ने भनेर छलफल गरेका छौं: सटीक सम्भाव्यता, संचयी सम्भाव्यता गणना गर्ने, र अपेक्षित मान र भिन्नता गणना गर्ने। द्विपद वितरणको ज्ञान विभिन्न क्षेत्रहरूमा उपयोगी छ, जस्तै उत्पादन, चिकित्सा अनुसन्धान, र सामाजिक तथ्याङ्क, जहाँ दुई सम्भावित परिणामहरू सहित बारम्बार प्रयोगहरूको नतिजालाई निर्णय लिने कार्यमा सहयोग गर्न विश्लेषण गर्न सकिन्छ। आशा छ, प्रदान गरिएका उदाहरण समस्याहरू र छलफलहरूले द्विपद वितरणको तपाईंको बुझाइलाई अझ बढाउन मद्दत गर्नेछ।