यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियममा उदाहरण प्रश्नहरू

यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको कानूनमा प्रश्नहरूको १६ उदाहरणहरू

मुक्त पतन गतिमा यान्त्रिक ऊर्जाको संरक्षणको नियम

१. २ किलोग्राम तौल भएको नरिवल ६ मिटरको उचाइबाट स्वतन्त्र रूपमा खस्छ। नरिवल जमिनमा पुग्दा यसको गतिज ऊर्जा… g = १० m/s हुन्छ।²
छलफल
यो थाहा छ :
नरिवलको पिण्ड (मि) = २ किलोग्राम
उचाइ (घण्टा) = २० मिटर
गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s²
सोधियो : गतिज ऊर्जा (EK)
जावाब :

प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा
यदि कुनै वस्तु स्वतन्त्र पतनमा छ भने, यसको कुनै प्रारम्भिक वेग हुँदैन। किनभने कुनै प्रारम्भिक वेग हुँदैन, त्यहाँ कुनै प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा हुँदैन। सुरुमा, वस्तु ६ मिटरको उचाइमा हुन्छ, त्यसैले अवश्य पनि, वस्तुमा प्रारम्भिक गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा हुन्छ। त्यसैले, प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (EM) हो_o) गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP) हो।
EM_o = EP = mgh = (2)(10)(6) = १२० जुल

अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा
तलतिर सर्दा, वस्तुको उचाइ घट्छ, त्यसैले यसको गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा घट्छ। गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा हराउँदैन तर गतिज ऊर्जामा परिणत हुन्छ। जब यो जमिनमा पुग्छ, वस्तुको उचाइ जमिनको उचाइ बराबर हुन्छ (h = 0), त्यसैले यसको गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा शून्य हुन्छ (h = 0, त्यसैले EP = mgh = 0)। सबै गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा गतिज ऊर्जामा परिणत हुन्छ। यसरी, अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा (EM) हो_t) गतिज ऊर्जा (EK) हो।
EM_t = EK = ½ mv²

यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियम :
प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा
EM_o = ईएम_t
EP = EK
१२० = इके
नरिवल जमिनमा पुग्दा त्यसको गतिज ऊर्जा १०० जुल हुन्छ।

2. २ किलोग्राम तौल भएको बल स्वतन्त्र पतन चित्रमा देखाइएको स्थिति A बाट। (g = १० मिलिसेकेन्ड^-2)। बिन्दु B मा पुग्दा, गतिज ऊर्जा सम्भाव्य ऊर्जाको २ गुणा बराबर हुन्छ, त्यसैले जमिनबाट बिन्दु B को उचाइ…

A. १०० मिटर
ख. १६० मिटर
C. १७५ मिटर
घ. २२५ मिटर
पूर्व. ३०० मिटर

छलफल
यो थाहा छ :
बलको पिण्ड (m) = ०.५ किलोग्राम
गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० मिलिसेकेन्ड^-2
उचाइ A (घन्टा)_A) = २.५ मिटर
सोधियो : उचाइ B (घण्टा)_B)
जावाब :

जब बल बिन्दु B मा आइपुग्छ, बिन्दु B मा बलको गतिज ऊर्जा २ गुणा बराबर हुन्छ। गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा बिन्दु B मा बल।
EK = २ EP
½ माइक्रोभर्ट² = २ मिलीग्राम घन्टा_B
½ वि² = २ घन्टा_B
v² = २(२)(१०) घन्टा_B
v² = ४० घण्टा_B
हिटुङ केसेपाटन (v) बिन्दु A बाट खसेपछि बिन्दु B मा आइपुग्दा बल।
v² = २ घ = २(१०)(९०–घन्टा_B) = २०(९०–घण्टा_B)
v लाई बदल्नुहोस्² माथिको समीकरणमा v सँग² यस समीकरणमा।
v² = ४० घण्टा_B
२०(९०–घण्टा_B) = ४० घण्टा_B
1800-20 एच_B = ४० घण्टा_B
९०० = १९.६ घन्टा_B + २ घन्टा_B
९०० = १९.६ घन्टा_B
h_B = / 1800 / २०
h_B = १ मिटर
सही उत्तर E हो।

३. १ किलोग्राम तल्लो तल्ला भएको वस्तु ८० मिटर अग्लो बहु-तले भवनको माथिबाट स्वतन्त्र रूपमा खस्छ। यदि हावासँगको घर्षणलाई बेवास्ता गरियो र गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) १० m/s छ भने² त्यसैले जमिनको सतहमा पुग्दा वस्तुको गतिज ऊर्जा... हुन्छ।
छलफल
यो थाहा छ :
पिण्ड (मि) = २ किलोग्राम
उचाइ (घण्टा) = ८० मिटर
गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s²
सोधियो : कुनै वस्तु जमिनको सतहमा पुग्दा त्यसको गतिज ऊर्जा (EK)
जावाब :
वस्तुहरू स्वतन्त्र रूपमा खस्छन् त्यसैले वस्तुको कुनै प्रारम्भिक गति हुँदैन। यसरी, जब यो ८० मिटरको उचाइमा हुन्छ, वस्तुमा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा हुन्छ तर वस्तुमा कुनै गतिज ऊर्जा हुँदैन (v = ० त्यसैले EK = ½ mv)।² = ०)। त्यसैले प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_o) = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP)।

EM_o = EP = mgh = (1)(10)(80) = १२० जुल

मुक्त पतनको समयमा, गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा गतिज ऊर्जामा रूपान्तरण हुन्छ। जब कुनै वस्तु जमिनमा ठोक्किन्छ, यसको सबै गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा गतिज ऊर्जामा रूपान्तरण हुन्छ। त्यसकारण, जब यो जमिनमा पुग्छ, वस्तुमा गतिज ऊर्जा हुन्छ तर कुनै गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा हुँदैन (h = 0, त्यसैले EP = mgh = 0)। यसरी, अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा (EM) हो_t) = गतिज ऊर्जा (EK)

यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियमले प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा अन्तिम गतिज ऊर्जा बराबर हुन्छ भनी बताउँछ।
EM_o = ईएम_t
EP = EK
१२० = इके
जमिनमा पुग्दा वस्तुको गतिज ऊर्जा (EK) ८०० जुल हुन्छ।

४. जमिनबाट १० मिटरको उचाइबाट कुनै वस्तु स्वतन्त्र रूपमा खस्छ। यदि वस्तुको पिण्ड ४ किलोग्राम छ र गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s^-2 त्यसपछि जमिनबाट ५ मिटर उचाइमा रहेको वस्तुको गतिज ऊर्जा र गति...

छलफल
यो थाहा छ :
उचाइमा परिवर्तन (h) = १० – २ = ८ मिटर
पिण्ड (मि) = २ किलोग्राम
गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s²
सोधियो : ५ मिटर उचाइमा रहेको वस्तुको गतिज ऊर्जा
जावाब :
(क) २ मिटर उचाइमा रहेको वस्तुको गतिज ऊर्जा
प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_o) = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP)
EM_o = EP = mgh = (4)(10)(5) = १२० जुल
अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_t) = गतिज ऊर्जा (EK)
EM_t = एके
यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियमले प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा जस्तै हो भनी बताउँछ।
EM_o = ईएम_t
१२० = इके
जमिनबाट ५ मिटर उचाइमा रहेको वस्तुको गतिज ऊर्जा २०० जुल हुन्छ।

(ख) ५ मिटर उचाइमा वस्तुको गति
प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_o) = अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_t)
EP = EK
२०० = ½ माइक्रोभर्ट²
२(२००) / ४ = v²
२ = वी²
v = √१००
v = १० मिटर/सेकेन्ड
वस्तुको गति १० मिटर/सेकेन्ड छ

५. आँपको फल २ मिटरको उचाइबाट स्वतन्त्र रूपमा खस्छ। यदि g = १० ms^-2, यान्त्रिक ऊर्जाको नियम प्रयोग गरेर जमिनमा ठोक्किनुभन्दा ठीक अघि आँपको गति गणना गर्नुहोस्।
छलफल
यो थाहा छ :
उचाइ (घण्टा) = २० मिटर
गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s²
सोधियो : जमिनमा ठोक्किनुभन्दा ठीक अगाडि आँपको गति (v)
जावाब :
प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_o) = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP)
EM_o = EP = mgh = m (१०)(३,२) = ३२ मिटर
अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_t) = गतिज ऊर्जा (EK)
EM_t = EK = ½ mv²
यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियमले प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा जस्तै हो भनी बताउँछ।
EM_o = ईएम_t
२० मिटर = ½ mv²
२० = ½ बराबर²
२(२०) = वी²
२ = वी²
v = √१६० = √(१६)(१०) = ४√१० मिटर/सेकेन्ड
जमिनमा ठोक्किनुभन्दा ठीक अगाडि आँपको गति २√१० मिटर/सेकेन्ड हुन्छ।
यो कुरा ध्यान दिनु महत्त्वपूर्ण छ कि हाम्रो गणनामा, हामी हावाको घर्षणलाई बेवास्ता गर्छौं। वास्तविकतामा, यदि कुनै वस्तु पृथ्वीको सतहमा स्वतन्त्र रूपमा खस्छ भने, हावाको घर्षणले यसको गतिलाई पनि प्रभाव पार्छ, जसको परिणामस्वरूप माथिको गणना भन्दा गति कम हुन्छ।

माथि र तल ठाडो गतिमा यान्त्रिक ऊर्जाको संरक्षणको नियम

६. १ किलोग्राम पिण्ड भएको वस्तुलाई ४० मिटर अग्लो भवनको किनारबाट २ मिटर/सेकेन्डको सुरुवाती गतिमा ठाडो रूपमा तल फ्याँकिन्छ। जमिनबाट १० मिटर उचाइमा हुँदा वस्तुको गतिज ऊर्जा… g = १० मिटर/सेकेन्ड हुन्छ।²

छलफल
यो थाहा छ :
वस्तुको पिण्ड (m) = १ किलोग्राम
सुरुवाती वेग (v)_o) = ५० मिटर/सेकेन्ड
उचाइमा परिवर्तन = ४० – १० = ३० मिटर
गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s²
सोधियो : जमिनको सतहबाट १० मिटर उचाइमा रहेको वस्तुको गतिज ऊर्जा
जावाब :

प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा
सुरुमा, वस्तुमा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा र गतिज ऊर्जा हुन्छ।
प्रारम्भिक गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP) = mgh = (1)(10)(30) = 300 जुल
प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा (EK) = ½ mv_o² = ½ (२)(०.०८)² = ½ (४) = २ जुल
त्यसैले प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = प्रारम्भिक गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा + प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा = ३०० + २ = ३०२ जुल।

अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा
कुनै वस्तु तलतिर सर्दै जाँदा, यसको उचाइ घट्दै जान्छ, जसले गर्दा यसको गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा घट्छ। यो गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा गतिज ऊर्जामा परिणत हुन्छ। ३० मिटर सरिसकेपछि, वा वस्तु जमिनबाट १० मिटर माथि हुँदा, यसको सबै गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा गतिज ऊर्जामा परिणत हुन्छ।
त्यसैले अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा = अन्तिम गतिज ऊर्जा = प्रारम्भिक गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा + प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा = ३०० + २ = ३०२ जुल।

७. १ किलोग्राम पिण्ड भएको वस्तुलाई १० मिटर/सेकेन्डको प्रारम्भिक गतिमा ठाडो रूपमा माथि फ्याँकिन्छ। (क) उच्चतम बिन्दुमा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा निर्धारण गर्नुहोस् (ख) वस्तुले पुगेको उच्चतम बिन्दु वा अधिकतम उचाइ... g = १० मिटर/सेकेन्ड²
छलफल
यो थाहा छ :
वस्तुको पिण्ड (m) = १ किलोग्राम
सुरुवाती वेग (v)_o) = ५० मिटर/सेकेन्ड
गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s²
सोधियो : उच्चतम र तल्लो बिन्दुमा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा
जावाब :
(a) उच्चतम बिन्दुमा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा
प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा
सुरुमा वस्तुमा गतिज ऊर्जा हुन्छ तर वस्तुमा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा हुँदैन। प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा (EK) = ½ mv_o² = ½ (२)(०.०८)² = ½ (१००) = ५० जुल।
 
अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा
ठाडो रूपमा माथितिर सर्दा, वस्तुको उचाइ बढ्छ, जसले गर्दा यसको गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा बढ्छ। यो गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा स्वतः उत्पन्न हुँदैन तर गतिज ऊर्जाबाट प्राप्त हुन्छ। यसको अधिकतम उचाइ वा उच्चतम बिन्दुमा, वस्तु दिशा उल्टाउनु अघि एक क्षणको लागि आराममा हुन्छ। किनभने यो एक क्षणको लागि आराममा हुन्छ, यसको वेग शून्य हुन्छ, र यसको गतिज ऊर्जा पनि शून्य हुन्छ। सबै गतिज ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जामा रूपान्तरण हुन्छ।
अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP)

यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियम:
प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा
EK = EP
५० = इपी
गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा ५० जुल छ।

(ख) उच्चतम बिन्दु वा अधिकतम उचाइ
EP = mgh
५० = (१)(१०) घन्टा
९०० = १९.६ घन्टा
h = ५००० / ५०० = १० मिटर
कुनै वस्तुले पुग्ने उच्चतम बिन्दु वा अधिकतम उचाइ जमिनको सतहबाट ५ मिटर हो।

 

झुकेको समतलमा गतिमा रहेको यान्त्रिक ऊर्जाको संरक्षणको नियम

८. आरामको अवस्थामा, ब्लक झुकेको समतलमा घर्षण बिना नै सर्छ। झुकेको समतलको तल पुग्दा ब्लकको गति… g = १० m/s हुन्छ।²
छलफल
यो थाहा छ :
उचाइ (घण्टा) = २० मिटर
गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s²
सोधियो : झुकेको समतलको तल पुग्दा ब्लकको गति (v)
जावाब :
जब यो ८ मिटरको उचाइमा हुन्छ, ब्लकमा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा हुन्छ तर गतिज ऊर्जा हुँदैन किनभने यो अझै सरेको छैन। त्यसैले, ब्लकको प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा हो।
प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_o) = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP)
EM_o = EP = mgh = m (१०)(३,२) = ३२ मिटर
ब्लक तलतिर सर्ने बित्तिकै, यसको गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा गतिज ऊर्जामा रूपान्तरण हुन थाल्छ। जब यो झुकावको तल पुग्छ, यसको सबै गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा गतिज ऊर्जामा रूपान्तरण हुन्छ। यसरी, ब्लकको अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा गतिज ऊर्जा हो।
अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_t) = गतिज ऊर्जा (EK)
EM_t = EK = ½ mv²
यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियमले प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा जस्तै हो भनी बताउँछ।
EM_o = ईएम_t
२० मिटर = ½ mv²
२० = ½ बराबर²
२ = वी²
v = √१६० = √(१६)(१०) = ४√१० मिटर/सेकेन्ड
झुकेको समतलको तल रहेको ब्लकको गति ४√१० मिटर/सेकेन्ड छ।

९. सुरुमा आराम गरिरहेको १ किलोग्राम पिण्ड भएको वस्तु ८ मिटर लामो चिल्लो झुकेको समतलको माथिबाट निस्कन्छ। झुकेको समतलमा ५ मिटरसम्म वस्तु सर्दा गतिज ऊर्जा निर्धारण गर्नुहोस्... (g = १० मिटर/सेकेन्ड)²)
छलफल
यो थाहा छ :
वस्तुको पिण्ड (m) = १ किलोग्राम
वस्तु जुन कर्णबाट गुज्रन्छ त्यसको लम्बाइ = ५ मिटर
गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s²
सोधियो : ५ मिटर चिप्लिएपछि वस्तुको गतिज ऊर्जा (EK)
जावाब :
यो समस्या समाधान गर्ने पहिलो चरण भनेको वस्तु ५ मिटरसम्म झुकेको समतलमा सर्दा वस्तुको उचाइमा भएको परिवर्तन गणना गर्नु हो।
पाप ४५^o = ठाडो भुजाको लम्बाइ / कर्णको लम्बाइ
०.५ = ठाडो पक्षको लम्बाइ / ५
ठाडो पक्षको लम्बाइ = (०.५)(५) = २.५ मिटर
वस्तुको उचाइमा परिवर्तन २.५ मिटर छ।

प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_o) = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP)
EM_o = EP = mgh = (1)(10)(2,5) = १२० जुल
अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_t) = गतिज ऊर्जा (EK)
EM_t = एके
यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियमले प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा जस्तै हो भनी बताउँछ।
EM_o = ईएम_t
१२० = इके
वस्तु ५ मिटर चिप्लिएपछि त्यसको गतिज ऊर्जा २५ जुल हुन्छ।

 

घुमाउरो समतलमा गतिमा रहेको यान्त्रिक ऊर्जाको संरक्षणको नियम

१०. १ किलोग्राम पिण्ड भएको वस्तु ५ मिटरको उचाइबाट घर्षण बिना कुनै प्रारम्भिक गति बिना नै सर्छ। सबैभन्दा कम बिन्दुमा वस्तुको गतिज ऊर्जा र गति… g = १० m/s²
छलफल
यो थाहा छ :
वस्तुको पिण्ड (m) = १ किलोग्राम
उचाइमा परिवर्तन (h) = ५ मिटर
गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s²
सोधियो : सबैभन्दा तल्लो बिन्दुमा वस्तुको गतिज ऊर्जा (EK) र गति (v)
जावाब :

(क) वस्तुको सबैभन्दा तल्लो बिन्दुमा रहेको गतिज ऊर्जा
५ मिटरको उचाइमा हुँदा र अझै चल्न सुरु नगर्दा, वस्तुमा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा हुन्छ तर गतिज ऊर्जा हुँदैन किनभने यो अझै पनि आराममा हुन्छ। त्यसैले, वस्तु चल्न सुरु गर्नु अघिको प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा हो। एक पटक वस्तु तलतिर सर्न थालेपछि, गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा गतिज ऊर्जामा रूपान्तरण हुन थाल्छ। जब यो सबैभन्दा तल्लो बिन्दुमा पुग्छ, सबै गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा गतिज ऊर्जामा परिणत हुन्छ। त्यसैले, अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा गतिज ऊर्जा हो।
प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा
EM_o = EP = mgh = (1)(10)(5) = १२० जुल
अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा = गतिज ऊर्जा
EM_t = EK = ½ mv_t²
यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियमले प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा जस्तै हो भनी बताउँछ।.
EM_o = ईएम_t
EP = EK
१२० = इके
सबैभन्दा कम बिन्दुमा गतिज ऊर्जा (EK) ५० जुल हुन्छ।

(ख) सबैभन्दा कम बिन्दुमा वस्तुको गति
पहिलो तरिका:
यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियम:
प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_o) = अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_t)
गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP) = गतिज ऊर्जा (EK)
२०० = ½ माइक्रोभर्ट²
२(५०) / m = v²
३००० / २५ = v²
२ = वी²
v = √१००
v = १० मिटर/सेकेन्ड
 
दोस्रो तरिका:
यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियम :
प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_o) = अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_t)
गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP) = गतिज ऊर्जा (EK)
mgh = ½ mv²
घ = ½ वि²
२ घ = वी²
२(१०)(५) = v²
२ = वी²
v = √१००
v = १० मिटर/सेकेन्ड
सबैभन्दा कम बिन्दुमा वस्तुको गति १० मिटर/सेकेन्ड छ।

११. सुरुमा आराममा रहेको २ किलोग्राम पिण्ड भएको वस्तु जमिनबाट १० मिटरको उचाइबाट घर्षण बिना नै सर्छ। जमिनबाट २ मिटरको उचाइमा रहेको वस्तुको गतिज ऊर्जा र गति… g = १० m/s²
छलफल
यो थाहा छ :
वस्तुको पिण्ड (m) = १ किलोग्राम
उचाइमा परिवर्तन (h) = १० – २ = ८ मिटर
गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s²
सोधियो : जमिनको सतहबाट २ मिटर उचाइमा वस्तुको गतिज ऊर्जा (EK) र गति (v)।
जावाब :
यस समस्याको समाधान अघिल्लो समस्याको समाधान जस्तै छ।

(क) २ मिटर उचाइमा रहेको वस्तुको गतिज ऊर्जा
प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा
EM_o = EP = mgh = (2)(10)(8) = १२० जुल
अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा = गतिज ऊर्जा
EM_t = EK = ½ mv_t²
यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियमले प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा जस्तै हो भनी बताउँछ।.
EM_o = ईएम_t
EP = EK
१२० = इके
२ मिटरको उचाइमा गतिज ऊर्जा (EK) १६० जुल हुन्छ।

(ख) सबैभन्दा कम बिन्दुमा वस्तुको गति
पहिलो तरिका:
यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियम:
प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_o) = अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_t)
गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP) = गतिज ऊर्जा (EK)
२०० = ½ माइक्रोभर्ट²
४ = ½ (१) ब²
२ = वी²
v = √१६० = √(१६)(१०) = ४√१० मिटर/सेकेन्ड

दोस्रो तरिका:
यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियम :
प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_o) = अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_t)
गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP) = गतिज ऊर्जा (EK)
mgh = ½ mv²
घ = ½ वि²
२ घ = वी²
२(१०)(५) = v²
२ = वी²
v = √१६० = √(१६)(१०) = ४√१० मिटर/सेकेन्ड
२ मिटर उचाइमा रहेको वस्तुको गति ४√१० मिटर/सेकेन्ड हुन्छ।

12। जाडोमा, स्वीडेनको पहाडहरूमा आइस स्केटिङ प्रतियोगिताहरू आयोजना गरिन्छ। आइस स्केटरहरू चित्र २ मा देखाइए अनुसार उचाइ A बाट तल झर्छन्।

यदि स्कीयरको सुरुवाती वेग = शून्य, र गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग = १० मिलिसेकेन्ड^-2, त्यसपछि उचाइ B मा खेलाडीको गति... हुन्छ।

A. √५ मिलिसेकेन्ड^-1

B. 5 √५ मिलिसेकेन्ड^-1

सी। एक्सएनयूएमएक्स √५ मिलिसेकेन्ड^-1

D. 20 √५ मिलिसेकेन्ड^-1

ई। १। √५ मिलिसेकेन्ड^-1

छलफल

यो ज्ञात छ कि:

सुरुवाती वेग (v)_o) = 0

सुरुवाती उचाइ (घण्टा)_o) = ५० मिटर – १० मिटर = ४० मिटर

अन्तिमउचाइ(घन्टा_t) = 0

गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = ६५ मिलिसेकेन्ड^-2

सोधियो: अन्तिम वेग (v)_t)

उत्तरहरू:

गतिज ऊर्जामा परिवर्तन:

ΔEK = १/२ मीटर (v)_t² - v_o²) = १/२ मीटर (v_t² - 0) = १/२ मिलिग्राम भोल्ट_t²

सम्भाव्य ऊर्जामा परिवर्तन:

ΔEP = मिलीग्राम (घण्टा)_t - h_o) = m (१०)(०-६) = m (१०)(-६) = – ६० मिटर

अन्तिम वेग गणना गर्नुहोस् (v_t) यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियमको सूत्र प्रयोग गर्दै:

0 = Δइके + ΔEP

० = १/२ मिलिभेट_t² - १.400 मि

१/२ एमभी_t² = M मिटर

२५/१५ भोल्ट_t² = 400

v_t² = २(४००)

v_t = √(२)(४)

v_t = ४√२ मिटर/सेकेन्ड

सही उत्तर D हो।

१३. १ किलोग्राम तौल भएको बल छोडिन्छ र तलको चित्रमा देखाइएको चिल्लो घुमाउरो बाटो हुँदै स्थिति A बाट स्थिति C मा सर्छ। यदि गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग = १० मिलिसेकेन्ड^-2, त्यसपछि बल बिन्दु C मा हुँदा त्यसको गतिज ऊर्जा (Ek) हुन्छ...।

A. २० जुल
ख. १६ जुल
C. ३.२ जुल
घ. १.६ जुल
E. १.२ जुल

छलफल
यो ज्ञात छ कि:
बलको पिण्ड (m) = ०.५ किलोग्राम
गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s²
उचाइमा परिवर्तन (h) = ०.७५ मिटर

प्रारम्भिक गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP)_o) = mgh = (1)(10)(0,75) = ७.५ जुल
प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा (EK)_o) = ½ मिलिग्राम_o² = ½ मिटर (०²) = 0
अन्तिम गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP)_t) = mgh = मिलीग्राम (०) = ०
प्रश्न: बल बिन्दु C मा हुँदा त्यसको गतिज ऊर्जा (EK)
उत्तरहरू:

यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियमले बताउँछ कि बलको प्रारम्भिक स्थितिमा रहेको यान्त्रिक ऊर्जा यसको अन्तिम स्थितिमा रहेको अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा बराबर हुन्छ। यस समस्यामा, प्रारम्भिक स्थिति भनेको बल रिलिज हुनुभन्दा पहिलेको स्थिति हो, र अन्तिम स्थिति बिन्दु C हो।

प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_o) = अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_t)
प्रारम्भिक गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP)_o) + प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा (EK)_o) = अन्तिम गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP)_t) + अन्तिम गतिज ऊर्जा (EK)_t)
७.५ जुल + ० = ० + EK_t
५०० जुल = EK_t
बिन्दु C मा रहेको बलको गतिज ऊर्जा (EK) ७.५ जुल छ।
सही उत्तर E हो।

१४. २ किलोग्राम पिण्ड भएको बल A निस्कन्छ र चित्रमा देखाइए अनुसार सहज बाटोमा यात्रा गर्छ। यदि गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग १० m/s छ भने^-2, बलको गतिज ऊर्जा जब B मा छ...

A. २० जुल
ख. १६ जुल
C. ३.२ जुल
घ. १.६ जुल
E. १.२ जुल

छलफल
यो ज्ञात छ कि:
बलको पिण्ड (m) = ०.५ किलोग्राम
गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s²
उचाइमा परिवर्तन (h) = २० सेमी = ०.२ मिटर

प्रारम्भिक गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP)_o) = mgh = (2)(10)(1,2) = ७.५ जुल
प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा (EK)_o) = ½ मिलिग्राम_o² = ½ मिटर (०²) = 0
अन्तिम गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP)_t) = mgh = मिलीग्राम (०) = ०
प्रश्न: B मा बलको गतिज ऊर्जा
उत्तरहरू:
बिन्दु A (प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा) मा बलको यान्त्रिक ऊर्जा बिन्दु B (अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा) मा बलको यान्त्रिक ऊर्जा जस्तै हुन्छ।

प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_o) = अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_t)
प्रारम्भिक गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP)_o) + प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा (EK)_o) = अन्तिम गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP)_t) + अन्तिम गतिज ऊर्जा (EK)_t)
७.५ जुल + ० = ० + EK_t
EK_t = ३०० जुल
बिन्दु C मा रहेको बलको गतिज ऊर्जा (EK) ७.५ जुल छ।
सही उत्तर E हो।

 

प्याराबोलिक गतिमा यान्त्रिक ऊर्जाको संरक्षणको नियम

१५. ०.१ किलोग्राम पिण्ड भएको बललाई १० मिटर/सेकेन्डको गतिमा लात हानिन्छ। यदि उचाइको कोण ३० छ भने^o र गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग १० m/s छ² , (क) उच्चतम बिन्दुमा बलको गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा निर्धारण गर्नुहोस् (ख) उच्चतम बिन्दु वा अधिकतम उचाइ।
छलफल
यो थाहा छ :
बलको पिण्ड (m) = ०.५ किलोग्राम
सुरुवाती वेग (v)_o) = ५० मिटर/सेकेन्ड
उचाइ कोण = ३०^o
गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s²
सोधियो : उच्चतम बिन्दुमा बलको गतिज ऊर्जा (EK)
जावाब :

(a) उच्चतम बिन्दुमा बलको गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा
तलको छविमा देखाइए अनुसार बलको प्रक्षेपण एक प्याराबोला हो।
पहिले तेर्सो दिशामा प्रारम्भिक वेग घटक गणना गर्नुहोस् (v_ox) र ठाडो (v_oy).
यदि प्याराबोलिक गति मार्ग माथिको चित्र जस्तै छ भने, तेर्सो वा तेर्सो दिशामा चाललाई यसरी विश्लेषण गरिन्छ। एकरूप रेखीय गति र ठाडो दिशामा चाललाई यसरी विश्लेषण गरिन्छ माथितिर ठाडो गति। एकरूप रेखीय गतिमा, गतिभरि वेग स्थिर रहन्छ। यसको विपरीत, माथितिर ठाडो गतिमा, जब वस्तु यसको अधिकतम उचाइ वा उच्चतम बिन्दुमा पुग्छ, यो दिशा उल्टाउनु अघि एक क्षणको लागि रोकिन्छ। त्यसैले, उच्चतम बिन्दुमा, वस्तुको ठाडो वेग शून्य हुन्छ, तर उच्चतम बिन्दुमा, वस्तुको अझै पनि v को वेग हुन्छ।_ox.

प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा
जब बल चल्न थाल्छ, यसको उचाइ भुइँ वा जमिनको सतह बराबर हुन्छ (h = 0), त्यसैले यसको गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा शून्य हुन्छ (h = 0, त्यसैले EP = mgh = 0)। यसको विपरीत, जब यो चल्न थाल्छ, बलको अधिकतम प्रारम्भिक वेग हुन्छ, त्यसैले यसको गतिज ऊर्जा अधिकतम हुन्छ। त्यसैले, बलको प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा गतिज ऊर्जा हो।
प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_o) = गतिज ऊर्जा (EK)
EM_o = EK = ½ mv_o² = ½ (२)(०.०८)² = ½ (०.१)(१००) = ½ (१०) = ५ जुल

अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा
चल्न थालेपछि, बलको उचाइ बढ्छ, त्यसैले यसको गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा बढ्छ। जब यो यसको अधिकतम उचाइमा पुग्छ, यसको गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा यसको अधिकतम मानमा पुग्छ। बलको गतिज ऊर्जाको बारेमा के हो? यसको उच्चतम बिन्दुमा, बलको ठाडो वेग (voy) शून्य हुन्छ, तर यसको अझै पनि तेर्सो वेग (vox) हुन्छ।
अधिकतम उचाइमा गतिज ऊर्जा :
EK = ½ mv_ox² = ½ (०.१)(५√३)² = ½ (०.१)(२५)(३)) = ½ (०.१)(७५) = ३.७५ जुल

यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको नियम:
प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_o) = अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा (EM)_t)
EK = EP + EK
५ = EP + ३.७५
EP = ५ – ३.७५ = १.२५ जुल
अधिकतम उचाइमा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा १.२५ जुल हुन्छ।
 
(ख) उच्चतम बिन्दु वा अधिकतम उचाइ
EP = mgh
५० = (१)(१०) घन्टा
३ = घन्टा
अधिकतम उचाइ १.२५ मिटर छ।

१६. १० मिटर अग्लो भवनको किनारबाट १० मिटर/सेकेन्डको गतिमा ०.१ किलोग्राम तौल भएको बल तेर्सो रूपमा फ्याँकिन्छ। यदि त्यस स्थानमा गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग १० मिटर/सेकेन्ड छ भने², त्यसपछि बल जमिनमा पुग्दा त्यसको गतिज ऊर्जा हुन्छ...।
छलफल
यो थाहा छ :
बलको पिण्ड (m) = ०.५ किलोग्राम
सुरुवाती वेग (v)_o) = ५० मिटर/सेकेन्ड
गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s²
उचाइमा परिवर्तन (h) = १० – २ = ८ मिटर
सोधियो : २ मिटर उचाइमा बलको गतिज ऊर्जा
जावाब :
जब बल १० मिटर अग्लो हुन्छ, यसमा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा हुन्छ। बल १० मिटर/सेकेन्डको प्रारम्भिक गतिमा फ्याँकिएपछि चल्न थाल्छ, त्यसैले यसमा गतिज ऊर्जा पनि हुन्छ। त्यसैले, बलको प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा + गतिज ऊर्जा हो।
प्रारम्भिक गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा (EP) = mgh = (0,1)(10)(10) = 10 जुल
प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा (EK) = ½ mv_o² = ½ (२)(०.०८)² = ½ (०.१)(१००) = ½ (१०) = ५ जुल

बल तलतिर सर्दै जाँदा, यसको उचाइ घट्दै जान्छ, जसले गर्दा यसको गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा घट्दै जान्छ। जब यो जमिनमा पुग्छ, यसको उचाइ जमिनको उचाइ (h = 0) बराबर हुन्छ, त्यसैले यसको गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा शून्य हुन्छ (h = 0, त्यसैले EP = mgh = 0)। सबै गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा गतिज ऊर्जामा रूपान्तरण हुन्छ।
अन्तिम गतिज ऊर्जा = प्रारम्भिक गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा + प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा = १० + ५ = १५ जुल