प्रयत्न आणि ऊर्जा

जर तुम्ही टेबलावरचे पुस्तक हलेपर्यंत ढकलले, तर तुम्ही त्या पुस्तकावर कार्य करत आहात . जर एखादी वस्तू गुरुत्वाकर्षणाच्या शक्तीमुळे पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर पडत असेल, तर गुरुत्वाकर्षणाची शक्ती त्या वस्तूवर कार्य करते. याउलट, जर तुम्ही घामाने चिंब होईपर्यंत एखादी वस्तू पूर्ण ताकदीने ढकलली, पण ती वस्तू हलली नाही, तर तुम्ही त्या वस्तूवर कार्य केलेले नाही. दैनंदिन जीवनात, इतर लोक म्हणतात की तुम्ही वस्तू ढकलण्यासाठी कार्य केले आहे किंवा खूप मेहनत घेतली आहे, पण भौतिकशास्त्रानुसार , तुम्ही त्या वस्तूवर कार्य केलेले नाही, कारण त्या वस्तूचे विस्थापन होत नाही.

एखाद्या वस्तूवर कार्य स्थिर बलाद्वारे (ज्या बलाचे परिमाण आणि दिशा नेहमी सारखीच राहते) किंवा बदलत्या बलाद्वारे (ज्या बलाचे परिमाण आणि दिशा नेहमी बदलते) केले जाऊ शकते. परिमाण आणि दिशेमध्ये स्थिर असलेल्या बलाचे एक उदाहरण म्हणजे पृथ्वीच्या पृष्ठभागाजवळ असताना वस्तूवर कार्य करणारे गुरुत्वाकर्षण बल. जेव्हा एखादी वस्तू पृथ्वीच्या पृष्ठभागाजवळ मुक्तपणे खाली पडत असते, तेव्हा वस्तूच्या मुक्त पतनाच्या प्रवेगाचे परिमाण आणि दिशा स्थिर असते, कारण वस्तूला प्रवेग देणाऱ्या गुरुत्वाकर्षण बलाचे परिमाण आणि दिशा स्थिर असते. परिमाणात स्थिर नसलेल्या बलाचे (ज्या बलाची दिशा स्थिर असते) एक उदाहरण म्हणजे स्प्रिंगचे बल . जर तुम्ही स्प्रिंग ताणली, तर स्प्रिंगच्या लांबीत जितकी जास्त वाढ होते, तितक्या जास्त जोराने तुम्हाला ती ओढावी लागते. स्प्रिंग ताणली जात असताना तिच्यावर लावलेल्या बलाचे परिमाण स्थिर राहत नाही. दुसरे उदाहरण म्हणजे जेव्हा एखादे रॉकेट अवकाशात जाते किंवा पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर परत येते. जेव्हा रॉकेट गतिमान असते, तेव्हा रॉकेटवर कार्य करणाऱ्या गुरुत्वाकर्षण बलाचे परिमाण पृथ्वीच्या केंद्रापासूनच्या अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणात बदलते.

गणितानुसार, एखाद्या वस्तूवर स्थिर बलाने केलेले कार्य म्हणजे विस्थापन आणि बल यांचा गुणाकार किंवा वस्तूच्या विस्थापनाच्या दिशेतील बलाचा घटक होय.

स्प्रिंगसारख्या अस्थिर बलाने केलेले कार्य, स्थिर बलाने केलेल्या कार्याचे सूत्र वापरून मोजता येत नाही. जर स्प्रिंग ताणली गेली, तर जसजशी ती अधिक ताणली जाते, तसतसे तिला ताणण्यासाठी लागणारे ताण बल देखील वाढते. त्याचप्रमाणे, जर स्प्रिंग दाबली गेली, तर ती अधिक घट्ट झाल्यावर, तिला ढकलण्यासाठी लागणारे बल देखील जास्त असते. जोपर्यंत स्प्रिंग दाबलेली किंवा ताणलेली असते, तोपर्यंत स्प्रिंग बल 0 (x = 0) पासून कमाल (F = kx) पर्यंत बदलते, म्हणून स्प्रिंग बलाची गणना सरासरी वापरून केली जाते.

समस्यांचे उदाहरण

१. २०१७ राष्ट्रीय परीक्षेचे प्रश्न

m वस्तुमानाचा एक ठोकळा एका गुळगुळीत सपाट पृष्ठभागावर आहे. हा ठोकळा स्थिती (1) मध्ये स्थिर आहे आणि आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, F बलाने त्याला t कालावधीत स्थिती (2) पर्यंत खेचले जाते.

वस्तुमान आणि बलामध्ये बदल केल्यावर खालील माहिती मिळते:

वरील तक्त्यानुसार, मोठ्या वस्तूपासून लहान वस्तूपर्यंत केलेले कार्य… आहे.

चर्चा

हे ज्ञात आहे:

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 0

विचारले:

उत्तर:

कार्य सूत्र:

W = F s ………. सूत्र १

जीएलबीबी सूत्र:

s = v _o t + 1/2 at ²

s = 1/2 at ²

सूत्र २ मध्ये किमती टाका

W = F ( 1/2 at ² ) ………. सूत्र २

बलाचे सूत्र:

F = ma

a = F / m

सूत्र २ मध्ये किमती टाका

W = 0,5 F (F/m) t ²

W = 0,5 (F ² /m) t ² ………. सूत्र ३

प्रयत्नाची गणना करण्यासाठी सूत्र 3 वापरा.

1) W = 0,5 (F ² /m) t ² = 0,5 (3 ² /12)(4 ² ) = (0,5)(9/12)(16) = (9/12) 8 = 6

४) W = ०.५ (F² ^/ मी) t² ⁼ ०.५ (६² ^/ २४)(१² ⁾ = (०.५)(३६/२४)(१) = (१.५) ०.५ = ०.७५

४) W = ०.५ (F² ^/ मी) t² ⁼ ०.५ (६² ^/ २४)(१² ⁾ = (०.५)(३६/२४)(१) = (१.५) ०.५ = ०.७५

४) W = ०.५ (F² ^/ मी) t² ⁼ ०.५ (६² ^/ २४)(१² ⁾ = (०.५)(३६/२४)(१) = (१.५) ०.५ = ०.७५

मोठ्या वस्तूपासून लहान वस्तूपर्यंत केलेले कार्य अनुक्रमे 1, 2, 3, 4 आहे.

३. २०१७ एसएमए/एमए राष्ट्रीय परीक्षेचे प्रश्न

६ किलो वजनाची एक पेटी, क्षितिजसमांतर पातळीशी α कोन असलेल्या एका खडबडीत उतरत्या पृष्ठभागावरून ८ मी/ ^से⁻¹ वेगाने घसरत आहे . जर पेटीवर कार्य करणारे घर्षण बल ५ न्यूटन असेल आणि tan α = ३/४ असेल, तर पेटीला उतरत्या पृष्ठभागाच्या तळाशी थांबवण्यासाठी लावावे लागणारे बल F किती असेल…

अ. २८.८ एन

बी. ३०.० एन

सी. ३९.६ एन

डी. ४८.० एन

ई. ५०.० एन

चर्चा

हे ज्ञात आहे की:

क्रेटचे वस्तुमान (मी) = ६ किलो

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

खोक्याचा सुरुवातीचा वेग (v _o ) = 8 m/s

खोक्याचा अंतिम वेग (v _t ) = 0 m/s (खोका उतरत्या सपाटीच्या तळाशी पोहोचण्यापूर्वी थांबलाच पाहिजे)

घर्षण बल (F _friction ) = 5 N

स्पर्शिका α = पुढची बाजू / खालची बाजू = ३/४

कर्ण = ५ मीटर

विचारले: एफ

उत्तर :

यांत्रिक कार्य-ऊर्जा प्रमेय:

असंरक्षक बलाने केलेले कार्य = यांत्रिक ऊर्जेतील बदल

असंरक्षक बलाने केलेले कार्य = गतिज आणि स्थितिज ऊर्जेतील बदल.

दोन असंरक्षक बले आहेत, म्हणजेच गतिज घर्षण आणि F बल.

गतिज घर्षण बलाने खोक्यावर केलेले कार्य:

W = -(F _ges )(s) = -(5)(5) = -25

नकारात्मक, कारण घर्षण बलाची दिशा बॉक्सच्या गतीच्या दिशेच्या विरुद्ध आहे.

बल F द्वारे केलेले कार्य:

W = (F)(s) = (F)(5) = -5F

नकारात्मक, कारण बल F ची दिशा क्रेटच्या गतीच्या दिशेच्या विरुद्ध आहे.

गतिज ऊर्जेतील बदल:

Δ EK = 1/2 m (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 (6)(0 ² – 8 ² ) = (3)(0-64) = (3)(-64) = -192

गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जेतील बदल:

Δ EP = mgh = (6)(10)(-3) = -180

h ऋणात्मक आहे कारण अंतिम स्थिती प्रारंभिक स्थितीच्या खाली आहे.

यांत्रिक कार्य-ऊर्जा प्रमेय:

W _nc = Δ EM

W _ges + W _F = Δ EP + Δ EK

-25 – 5F = -180 -192

-२५ – ५F = -३७२

-5F = -372 + 25

-5F = – 347

एफ = -३४७ / -५

F = ४० न्यूटन

योग्य उत्तर E आहे.

३. २०१७ एसएमए/एमए राष्ट्रीय परीक्षेचे प्रश्न

आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, १० किलोग्रॅम वजनाचा एक ठोकळा A बिंदूपासून B बिंदू ओलांडून खाली घसरतो आणि C बिंदूवर थांबतो. ठोकळा आणि खडबडीत पृष्ठभाग यांच्यातील गतिज घर्षणांक ०.२ आहे, म्हणून ABC मार्गाची लांबी किती आहे…

अ. २५० सेमी

बी. २०० सेमी

सुमारे १५० सेमी

डी. १०० सेमी

ई. ८० सेमी

चर्चा

हे ज्ञात आहे की:

ठोकळ्याचे वस्तुमान (m) = १० किलोग्रॅम

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ठोकळ्याचे वजन (w) = mg = (10 kg)(10 m/s² ⁾ = 100 न्यूटन

उतरत्या पातळीची उंची (h) = ३० सेमी = ०.३ मीटर

उतरत्या पृष्ठभागाची लांबी (s) = ५० सेमी = ०.५ मीटर

गतिज घर्षण गुणांक ( μ _k ) = 0,2

गतिज घर्षण बल (f _k ) = μ _k N = μ _k w = (0,2)(100 N) = 20 N

प्रश्न: मार्ग ABC ची लांबी

उत्तर :

बिंदू AB पासून वस्तूच्या गतीचा विचार करा.

बिंदू A वरील सुरुवातीची यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा = mgh = (10)(10)(0,3) = (10)(3) = 30 जूल

बिंदू B वरील अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = गतिज ऊर्जा

यांत्रिक उर्जेच्या अक्षय्यतेचा नियम:

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा

३० जूल = गतिज ऊर्जा

म्हणून B बिंदूवरील गतिज ऊर्जा = 30 जूल.

बिंदू BC पासून वस्तूच्या गतीचा विचार करा.

कार्य-ऊर्जा प्रमेयानुसार, असंरक्षक बलाने केलेले कार्य हे वस्तूच्या यांत्रिक ऊर्जेतील बदलाच्या समान असते. यांत्रिक ऊर्जेतील बदल = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा – प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा. गणितीय भाषेत:

W _NC = Δ EM

डब्ल्यू _एनसी = ईएम _२ – ईएम _१

वस्तू सपाट पृष्ठभागावर ठेवली आहे, त्यामुळे तिची गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा शून्य आहे. यांत्रिक ऊर्जा (EM) = गतिज ऊर्जा (EK).

सुरुवातीची गतिज ऊर्जा (EK ₁ ) = बिंदू B वरील गतिज ऊर्जा = 30 जूल

अंतिम गतिज ऊर्जा (EK ₂ ) = बिंदू C वरील गतिज ऊर्जा = 0 (ब्लॉक थांबतो).

BC च्या असंरक्षक बलाने केलेले कार्य हे गतिज घर्षण बलाने केलेले कार्य आहे.

W _NC = – f _k s = – 20 s

इतका

डब्ल्यू _एनसी = ईके _२ – ईके _१

– २० सेकंद = ० – ३०

– २० सेकंद = – ३०

२० सेकंद = ३०

s = 30/20 = 3/2 = 1,5 मीटर = 1,5 x 100 सेमी = 150 सेमी.

एबीसी ट्रॅकची लांबी = 50 सेमी + 150 सेमी = 200 सेमी.

योग्य उत्तर B आहे.

२. २०१४/२०१५ एसएमए/एमए भौतिकशास्त्र राष्ट्रीय परीक्षा प्रश्न क्र. ५

पुढील चित्र पहा! एक ठोकळा ०.४ घर्षण गुणांक असलेल्या एका खडबडीत उतरत्या पृष्ठभागावरून घसरतो. जर g = १० ms⁻² ^असेल , तर जेव्हा तो ठोकळा उतरत्या पृष्ठभागाच्या तळाला आदळेल तेव्हा त्याचा वेग किती असेल...

ए. 2√५ एमएस^-1

बी. २ √७ मीस ^-१

C. 2 √14 ms ^-1

डी. २ √१९ मीस ^-१

ई. २ √२३ मीस ^-१

चर्चा

खालील चित्राकडे पाहताना

हे ज्ञात आहे की:

सुरुवातीची उंची (h _o ) = ६ मी

अंतिम उंची (h _t ) = 0 मी

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 0 (सुरुवातीला ठोकळा स्थिर असतो)

गतिज घर्षण गुणांक ( μk ₎ = ०.४ ( ब्लॉक घसरतो म्हणून गतिज घर्षण गुणांक, स्थिर घर्षण गुणांक नाही )

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 ms ^-2

cos θ = तळ/तिरकस = 8/10

उभ्या दिशेतील वजनाचा घटक = w _y = w cos θ = mg cos θ = m (10) (8/10) = m (10)(4/5) = m (40/5) = 8 m

सामान्य बल = N = w _y = 8 m

गतिज घर्षण बल = f _k = μ _k N = μ _k w _y = (0,4)(8 m) = 3,2 m

प्रश्न: अंतिम वेग (v _t )

उत्तर :

कार्य-ऊर्जा प्रमेयानुसार, एखाद्या वस्तूवर असंरक्षक बलाने केलेले कार्य हे त्या वस्तूच्या यांत्रिक ऊर्जेतील बदलाच्या समान असते. गतिज घर्षण हे असंरक्षक बलाचे एक उदाहरण आहे.

W_nc = ΔEM

W _nc = Δ EK + Δ EP

माहिती :

W _nc = असंरक्षक बलाने केलेले कार्य, Δ EM = यांत्रिक उर्जेतील बदल, Δ EK = गतिज उर्जेतील बदल, Δ EP = स्थितिज उर्जेतील बदल.

गतिज ऊर्जेतील बदल:

ΔEK = 1/2 m (v_t² - वि_o²) = 1/2 मी (व्ही_t² - 0) = १/२ मिलीव्होल्ट_t²

स्थितिज ऊर्जेतील बदल:

Δ EP = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-6) = m (10)(-6) = – 60 m

गतिज घर्षणाने केलेले कार्य:

Wnc = – f _k s = – ( 3,2 m)(10) = – 32 m

ते नकारात्मक आहे कारण गतिज घर्षण बल नकारात्मक कार्य करते, जिथे गतिज घर्षण बलाची दिशा (वरच्या दिशेने) वस्तूच्या विस्थापनाच्या दिशेच्या (खालच्या दिशेने) विरुद्ध असते.

अंतिम वेग (v _t ) मोजा:

Wnc = Δ EK + Δ EP

– 32 मी = 1/2 mv _t ² – 60 मी

– 32 m = m (1/2 v _t ² – 60)

– 32 = 1/2 v _t ² – 60

– 32 + 60 = 1/2 v _t ²

२८ = १/२ v _t ^२

2 (28) = v _t ²

५६ = v _t ^२

v _t = √4.14

v _t = 2 √14 ms ^-1

योग्य उत्तर C आहे.

३. २०१४/२०१५ एसएमए/एमए भौतिकशास्त्र राष्ट्रीय परीक्षा प्रश्न क्र. ५

बाजूला असलेल्या चित्राकडे बघा!

^{एक ठोकळा एका खडबडीत उतरत्या पृष्ठभागावरून खाली घसरतो आणि 10 ms⁻¹} वेगाने उतरत्या पृष्ठभागाच्या पायथ्याशी पोहोचतो . जर कार्यरत घर्षण बल 2 N असेल आणि g = 10 ms⁻² असेल ^, तर h ची किंमत … आहे.

अ. ०.२ मीटर

बी. ०.३ मी

से. ०.६ मी

डी. ०.९ मी

ई. १.० मी

चर्चा

हे ज्ञात आहे की:

ठोकळ्याचे वस्तुमान (m) = १० किलोग्रॅम

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 0 (सुरुवातीला ठोकळा स्थिर असतो)

अंतिम वेग (v _t ) = 10 ms ^-1

सुरुवातीची उंची (h _o ) = h

अंतिम उंची (h _t ) = 0

गतिज घर्षण बल (f _k ) = 2 N

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 ms ^-2

विचारले: उंची (हे)

उत्तर :

गतिज घर्षणाने केलेले कार्य:

Wnc = – f _k s = – (2 )(15) = – 30

ते नकारात्मक आहे कारण गतिज घर्षण बल नकारात्मक कार्य करते, जिथे गतिज घर्षण बलाची दिशा (वरच्या दिशेने) वस्तूच्या विस्थापनाच्या दिशेच्या (खालच्या दिशेने) विरुद्ध असते.

गतिज ऊर्जेतील बदल:

ΔEK = 1/2 m (v_t² - वि_o²) = 1/2 (1)(10² - 0) = १/२ (10²) = १/२ (100) = १.१३३

स्थितिज ऊर्जेतील बदल:

Δ EP = mg (h _t – h _o ) = (1)(10)(0-h) = (10)(-h) = -10 h

यांत्रिक कार्य-ऊर्जा प्रमेयाचे सूत्र:

Wnc = Δ EK + Δ EP

– ३० = ५० – १० तास

१० तास = ५० + ३०

३.१.१ तास = ०

h = ८०/१०

h = ५५ मीटर

योग्य उत्तर B आहे.