स्थिर लाटा – समस्या आणि उपाय
१. ३ मीटर लांबीची दोरी एका टोकाला बांधलेली असून दुसरे टोक व्हायब्रेटरला जोडलेले आहे. जेव्हा व्हायब्रेटर कंपित होतो, तेव्हा खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे दोरी एक स्थिर तरंग तयार करते.
स्थिर टोकापासून पाचव्या प्रतिनोडचे स्थान निश्चित करा.
उपाय:
दोन नोड्समधील अंतर = 3 मीटर / 5 = 3/5 मीटर.
पहिल्या नोड आणि स्थिर टोकामधील अंतर = ३/५ मीटर
दुसऱ्या नोड आणि स्थिर टोकामधील अंतर = 2 (3/5 मीटर) = 6/5 मीटर
तिसऱ्या नोड आणि स्थिर टोकामधील अंतर = ३ (३/५ मीटर) = ९/५ मीटर
चौथ्या नोड आणि स्थिर टोकामधील अंतर = 4 (3/5 मीटर) = 12/5 मीटर
नोड आणि अँटिनोडमधील अंतर = 1/2 (3/5 मीटर) = 3/10 मीटर.
पाचव्या अँटिनोड आणि स्थिर टोकामधील अंतर = चौथ्या नोड आणि स्थिर टोकामधील अंतर + नोड आणि अँटिनोडमधील अंतर = 12/5 + 3/10 = 24/10 + 3/10 = 27/10 = 2.7 मीटर.
२. खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, एक टोक व्हायब्रेटरला जोडलेले आहे आणि दुसरे टोक स्थिर आहे. जर तारेची लांबी १.५ मीटर असेल, तर चौथ्या नोड आणि व्हायब्रेटरमधील अंतर शोधा.
उपाय:
दोन नोड्समधील अंतर = 1.5 मीटर / 11 = 1.5 / 11 मीटर.
पहिल्या नोड आणि व्हायब्रेटरमधील अंतर = १.५ / ११ मीटर
दुसऱ्या नोड आणि व्हायब्रेटरमधील अंतर = 2 (1.5 / 11 मीटर) = 3/11 मीटर
तिसऱ्या नोड आणि व्हायब्रेटरमधील अंतर = ३ (१.५ / ११ मीटर) = ४.५ / ११ मीटर
चौथ्या नोड आणि व्हायब्रेटरमधील अंतर = 4 (1.5 / 11 मीटर) = 6/11 मीटर = 0.54 मीटर
३. एका तारेची दोन्ही टोके स्थिर ठेवली आहेत, ज्यामुळे ४२० Hz वारंवारतेचा मूळ स्वर निर्माण होतो. तिसरा अधिस्वर निश्चित करा.
अ. ८५० हर्ट्झ
बी. ९०० हर्ट्झ
सी. ९६० हर्ट्झ
डी. १,०२० हर्ट्झ
ज्ञात :
मूलभूत वारंवारता (f 1 ) = ४२० हर्ट्झ
दोन्ही टोके स्थिर ठेवली जातात.
पाहिजे: तिसरा ओव्हरटोन
उपाय:
पहिला ओव्हरटोन (f 2 ) = 2 f 1 = 2 (420 Hz) = 840 Hz
दुसरा ओव्हरटोन (f 3 ) = 3 f 1 = 3 (420 Hz) = 1260 Hz
तिसरा ओव्हरटोन (f 4 ) = 4 f 1 = 4 (420 Hz) = 1680 Hz
बरोबर उत्तर C आहे.
४. तारेच्या पहिल्या अधिस्वराची तरंगलांबी ४० सेमी आहे. जर हवेतील ध्वनी लहरीचा वेग ३४० मी/से असेल, तर तिसरा अधिस्वर निश्चित करा.
अ. ८५० हर्ट्झ
बी. ९०० हर्ट्झ
सी. ९६० हर्ट्झ
डी. १,०२० हर्ट्झ
ज्ञात :
पहिल्या ओव्हरटोनची तरंगलांबी (λ) = ४० सेमी = ०.४ मीटर
हवेतील ध्वनी लहरीचा वेग (v) = ३४० मीटर/सेकंद
तिसऱ्या ओव्हरटोनची वारंवारता हवी आहे
उपाय:
खाली दोन्ही टोके स्थिर ठेवलेल्या तारेवरील स्थिर तरंगाची आकृती दिली आहे. सर्वप्रथम, पहिल्या अधिस्वराच्या तरंगलांबीचा वापर करून तारेची लांबी काढा. त्यानंतर, तिसऱ्या अधिस्वराची वारंवारता काढण्यापूर्वी, प्रथम तिसऱ्या अधिस्वराची तरंगलांबी काढा.
पहिल्या अधिस्वराची तरंगलांबी :
दोरीची लांबी (L) = 2. ½ λ
दोरीची लांबी (L) = λ
दोरीची लांबी (L) = ०.४ मीटर
तिसऱ्या अधिस्वराची तरंगलांबी :
L = 2 λ
०.४ = २ लॅम्डा
λ = २५०० / ५००
λ = ०.२ मीटर
तिसऱ्या ओव्हरटोनची वारंवारता:
f = v / λ
f = ३४० : ०.२
f = १७०० हर्ट्झ
बरोबर उत्तर C आहे.
5. दोन्ही टोकांना उघड्या असलेल्या आणि 40 सेमी लांबीच्या नळीतून 420 Hz वारंवारतेचा मूळ स्वर निर्माण होतो. दुसरा अधिस्वर निश्चित करा.
अ. ८५० हर्ट्झ
बी. ९०० हर्ट्झ
सी. ९६० हर्ट्झ
डी. १,०२० हर्ट्झ
ज्ञात :
पाईपची लांबी (L) = ४० सेमी = ०.४ मीटर
मूळ स्वराची वारंवारता (f 1 ) = ४२० हर्ट्झ
दुसऱ्या ओव्हरटोनची (f 3 ) वारंवारता हवी आहे.
उपाय:
जर मूलतत्त्व स्वर (f 1 ) = 420 हर्ट्झ असेल तर दुसरा अधिस्वर (f 3 ) = 3 f 1 = 3 (420 हर्ट्झ) = 1260 हर्ट्झ
योग्य उत्तर D आहे.
६. बंद नळीतील ध्वनी लहरीचा तरंग आकृतिबंध यासारखा असतो…
अ. दोरीवरील तरंग प्रसार
ब. हवेच्या स्तंभावर तरंग प्रसार
C. एका टोकाला बांधलेल्या दोरीवरील स्थिर तरंग
डी. दोन्ही टोकांना बांधलेल्या दोरीवरील स्थिर तरंग
उपाय:
बंद नळी म्हणजे अशी नळी जी एका टोकाला उघडी आणि दुसऱ्या टोकाला बंद असते, जसे वरील आकृतीत दाखवले आहे.
बरोबर उत्तर C आहे.
स्थायी तरंगांशी संबंधित २० संकल्पनात्मक प्रश्न आणि उत्तरे:
१. प्रश्न: स्थायी तरंग म्हणजे काय?
उत्तर: स्थिर तरंग ही एक तरंग रचना आहे जी नोड आणि अँटीनोडसह स्थिर राहते आणि विरुद्ध दिशेने प्रवास करणाऱ्या दोन तरंगांच्या व्यतिकरणामुळे तयार होते.
२. प्रश्न: नोड्स आणि अँटीनोड्समध्ये काय फरक आहे?
उत्तर: नोड हे शून्य आयामाचे बिंदू आहेत, जिथे तरंग स्थिर राहतो, तर अँटिनोड हे कमाल आयामाचे बिंदू आहेत.
३. प्रश्न: कोणत्याही माध्यमात स्थायी तरंग तयार होऊ शकतात का?
उत्तर: स्थिर तरंग हे तरंग प्रसारास परवानगी देणाऱ्या कोणत्याही माध्यमात तयार होऊ शकतात, जसे की दोऱ्या, हवेचे स्तंभ आणि पाणी.
४. प्रश्न: स्थायी तरंगाची वारंवारता त्याच्या हार्मोनिक क्रमांकाशी कशी संबंधित असते?
उत्तर: मूलभूत वारंवारता (पहिला हार्मोनिक) ही स्थायी तरंगाची सर्वात कमी वारंवारता असते. उच्च हार्मोनिक्सची वारंवारता ही मूलभूत वारंवारतेच्या पूर्णांक पटीत असते.
५. प्रश्न: स्थायी तरंगातील नोड्सची स्थाने कशावरून ठरतात?
उत्तर: ज्या ठिकाणी विरुद्ध दिशेने प्रवास करणाऱ्या लहरी एकमेकांमध्ये विनाशात्मक व्यत्यय आणून त्यांना रद्द करतात, तिथे नोड तयार होतात.
६. प्रश्न: दोन्ही टोकांना बांधलेल्या दोरीवर स्थिर तरंग कसे निर्माण होतात?
उत्तर: जेव्हा दोरीवरून खाली जाणारी तरंग स्थिर टोकावर परावर्तित होते, तेव्हा ती येणाऱ्या तरंगांमध्ये व्यत्यय आणते, आणि जर वारंवारता विशिष्ट अटींशी जुळली तर एक स्थिर तरंग नमुना तयार होतो.
७. प्रश्न: स्थिर तरंगामध्ये तरंगलांबी आणि माध्यमाची लांबी यांच्यात काय संबंध असतो?
उत्तर: दोन्ही टोकांना बांधलेल्या दोरीसाठी, माध्यमाची लांबी ही स्थायी तरंगाच्या तरंगलांबीच्या अर्ध्या भागाची पूर्णांक पट असते.
८. प्रश्न: स्थायी तरंग माध्यमातून ऊर्जेचे वहन का करत नाहीत?
उत्तर: माध्यमातील वैयक्तिक कण दोलन करत असले तरी, एकूण तरंग नमुना स्थिर राहतो, त्यामुळे कोणत्याही विशिष्ट दिशेने निव्वळ ऊर्जा वहन होत नाही.
९. प्रश्न: तुम्ही उघड्या नळ्यांमध्ये स्थायी तरंगांचे निरीक्षण करू शकता का?
उत्तर: होय, खुल्या नळ्यांमध्ये स्थायी तरंग तयार होऊ शकतात, परंतु बंद नळ्यांपेक्षा सीमा अटी वेगळ्या असतात, ज्यामुळे नोड आणि अँटिनोडच्या स्थानांवर परिणाम होतो.
१०. प्रश्न: दोरीमधील ताण वाढवल्यास स्थायी तरंगाचे काय होते?
उत्तर: तणाव वाढवल्याने लाटेचा वेग वाढतो, ज्यामुळे स्थिर लाटेची वारंवारता आणि स्वरूप बदलू शकते.
११. प्रश्न: अनुनाद आणि स्थायी तरंग यांचा संबंध कसा आहे?
उत्तर: जेव्हा एखादे बाह्य बल किंवा कंपन प्रणालीच्या नैसर्गिक वारंवारतेशी जुळते, तेव्हा अनुनाद होतो, ज्यामुळे एक स्पष्ट स्थायी तरंग निर्माण होतो.
१२. प्रश्न: मूलभूत वारंवारता म्हणजे काय?
उत्तर: मूलभूत वारंवारता, किंवा पहिला हार्मोनिक, ही सर्वात कमी वारंवारता आहे ज्यावर एखादी प्रणाली स्थायी तरंग टिकवून ठेवू शकते.
१३. प्रश्न: ओव्हरटोन आणि हार्मोनिक यांचा संबंध कसा असतो?
उत्तर: ओव्हरटोन म्हणजे मूळ वारंवारतेपेक्षा जास्त असलेल्या वारंवारता. पहिला ओव्हरटोन दुसऱ्या हार्मोनिकशी, दुसरा ओव्हरटोन तिसऱ्या हार्मोनिकशी आणि असेच पुढे संबंधित असतो.
१४. प्रश्न: नोड्सवर विस्थापन का होत नाही?
उत्तर: नोडवर, व्यतिकरण करणाऱ्या दोन लहरी 180° ने कलाबाह्य असतात, ज्यामुळे विनाशी व्यतिकरण होते आणि विस्थापन शून्य होते.
१५. प्रश्न: स्थायी तरंगांचे ध्रुवीकरण होऊ शकते का?
उत्तर: तारेवरील स्थिर तरंग हे अनुप्रस्थ असतात आणि त्यामुळे त्यांना कंपनाची दिशा (ध्रुवीकरण) असते. तथापि, हवेसारख्या माध्यमात, स्थिर ध्वनी तरंग हे अनुदैर्ध्य असतात आणि ध्रुवीकरण दर्शवत नाहीत.
१६. प्रश्न: संगीत वाद्यांमध्ये स्थायी तरंगांच्या तत्त्वाचा वापर का केला जातो?
उत्तर: संगीत वाद्ये अनेकदा स्थिर लहरी निर्माण करून ध्वनी निर्माण करतात, ज्यामध्ये वेगवेगळ्या हार्मोनिक्समधून वेगवेगळे संगीत स्वर तयार होतात.
१७. प्रश्न: स्थिर तरंगाचा वेग, वारंवारता आणि तरंगलांबी यांचा संबंध कसा असतो?
उत्तर: तरंग वेग (v) हा वारंवारता (f) आणि तरंगलांबी (λ) यांचा गुणाकार असतो: v = fx λ.
१८. प्रश्न: एकाच माध्यमात दोन वेगवेगळ्या वारंवारतांमुळे स्थायी तरंग निर्माण होऊ शकतात का?
उत्तर: होय, जोपर्यंत त्या माध्यमातील स्थायी तरंगांसाठीच्या परिस्थितीशी वारंवारता जुळते. प्रत्येक वारंवारता एक वेगळा हार्मोनिक दर्शवते.
१९. प्रश्न: बंद नळ्यांमधील स्थायी तरंग खुल्या नळ्यांमधील स्थायी तरंगांपेक्षा कसे वेगळे असतात?
उत्तर: बंद नळ्यांमध्ये, एका टोकाला नोड असतो तर दुसऱ्या टोकाला अँटीनोड असतो. खुल्या नळ्यांमध्ये, दोन्ही टोकांना अँटीनोड असतात.
२०. प्रश्न: दिलेल्या माध्यमात कोणत्याही वारंवारतेच्या स्थायी लहरी तयार होऊ शकतात का?
उत्तर: नाही, केवळ माध्यमाच्या सीमा अटींची पूर्तता करणाऱ्या विशिष्ट वारंवारतांमुळेच स्थायी तरंग निर्माण होतात.
संगीत ते दूरसंचार अशा विविध क्षेत्रांमध्ये स्थायी लहरी समजून घेणे महत्त्वाचे आहे, कारण त्या विशिष्ट परिस्थितीत लहरींच्या मूलभूत वर्तनाचे प्रतिनिधित्व करतात.
