युनिट वेक्टर घटकांचा वापर करून बिंदू गुणाकाराचे साहित्य
जर आपल्याला सदिश A आणि B (ज्ञात सदिश) चे x, y आणि z घटक माहित असतील तर आपण थेट अदिश गुणाकार काढू शकतो .
या प्रकारे डॉट प्रोडक्ट करण्यासाठी, आपण प्रथम युनिट वेक्टर्सचा डॉट प्रोडक्ट करतो, त्यानंतर आपण वेक्टर्स A आणि B त्यांच्या घटकांमध्ये व्यक्त करतो, प्रोडक्टचे विघटन करतो आणि युनिट वेक्टर्सचा प्रोडक्ट वापरतो.
एकक सदिश i , j, आणि k एकमेकांना लंब आहेत, ज्यामुळे गणना करणे सोपे होते. वर मिळवलेल्या अदिश गुणाकाराच्या समीकरणाचा ( AB = AB cos θ ) वापर करून, आपल्याला मिळते:
i. i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i. j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
आता आपण सदिश A आणि B त्यांच्या घटकांच्या स्वरूपात व्यक्त करतो, त्यांच्या गुणाकाराचे विघटन करतो आणि एकक सदिशांचा गुणाकार वापरतो.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
करेना i . i = j . j = k . k = १ आणि i . j = i . k = j . k = 0 असल्यास:
A . B = AxBx (२००९) + AxBy (२००९) + Ax Bz (0) +
AyBx (२००९) + AyBy (२००९) + AyBz (0) +
AzBx (२००९) + AzBy (२००९) + AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
या गणनेच्या निकालांवरून असा निष्कर्ष काढता येतो की, दोन सदिशांचा अदिश गुणाकार किंवा बिंदू गुणाकार हा त्यांच्या समान घटकांच्या गुणाकारांची बेरीज असतो.
उदाहरण प्रश्न १:
मोठा वेक्टर A आणि B खालील चित्रात दाखवल्याप्रमाणे, अनुक्रमे ५ आणि ४ आहेत. तयार झालेला कोन ९० अंशाचा आहे.oते मोजा. डॉट उत्पादन दोन्ही सदिश.
चर्चा
वेक्टर A आणि B चा डॉट प्रोडक्ट काढण्यापूर्वी, आपल्याला दुसऱ्या वेक्टरचे घटक माहित असणे आवश्यक आहे.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
सदिश A चे घटक फक्त x-अक्षावर आहेत आणि सदिश B चे घटक फक्त y-अक्षावर आहेत. z घटक शून्य आहे कारण सदिश A आणि B हे xy प्रतलात आहेत.
आता आपण घटक सदिशांसह असलेल्या बिंदू गुणाकार समीकरणाचा वापर करून सदिश A आणि B यांचा बिंदू गुणाकार काढूया:
ए. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
ए. बी = ०
चला, त्याची पहिल्या पद्धतीशी तुलना करूया.
AB = AB cos θ
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
निकाल सारखाच आहे.
उदाहरण प्रश्न १:
मोठा वेक्टर A आणि B खालील चित्रात दाखवल्याप्रमाणे, अनुक्रमे ५ आणि ४ आहेत. गणना करा डॉट उत्पादन दोन्ही सदिश, जर तयार झालेला कोन ३० असेल तरo
चर्चा
वेक्टर A आणि B चा डॉट प्रोडक्ट काढण्यापूर्वी, आपल्याला दुसऱ्या वेक्टरचे घटक माहित असणे आवश्यक आहे.
z घटक शून्य आहे कारण सदिश A आणि B हे xy प्रतलात आहेत.
आता आपण घटक सदिशांसह असलेल्या बिंदू गुणाकार समीकरणाचा वापर करून सदिश A आणि B यांचा बिंदू गुणाकार काढूया:
पहिल्या पद्धतीशी तुलना करा.
