चाके असलेली वाहने, जनरेटर, गिरणी, पंखे, लॉन मॉवर, फुलांची फवारणी करणारी यंत्रे इत्यादी आधुनिक उपकरणांच्या अस्तित्वामुळे आज आपले जीवन अधिक सोपे आणि आरामदायक झाले आहे. सायकल, मोटरसायकल, कार आणि विमाने यांसारखी चाके असलेली वाहने, जर त्यांना चाके नसतील किंवा चाके फिरली नाहीत तर पुढे जाऊ शकत नाहीत. हेलिकॉप्टर किंवा विमाने देखील त्यांचे प्रोपेलर फिरले नाहीत तर उडू शकत नाहीत. जहाजे त्यांचे जनरेटर किंवा प्रोपेलर फिरले नाहीत तर प्रवास करू शकत नाहीत. रात्री, जर जनरेटर किंवा वीज प्रकल्प चालला नाही तर घर पूर्णपणे अंधारमय होते आणि मनोरंजनाचे कोणतेही साधन उरत नाही. अनेक वस्तू दररोज वर्तुळाकार गती करतात. नकळतपणेसुद्धा, आपण ज्या पृथ्वीवर राहतो ती, रात्री आपल्याला प्रकाश देणारा चंद्र, टेलिव्हिजन, रेडिओ, मोबाईल फोन आणि इंटरनेट प्रसारणासाठी विद्युत चुंबकीय लहरी प्रसारित करणारे दळणवळण उपग्रह यांसारखे कृत्रिम उपग्रह, हे सर्व फिरत असतात आणि नेहमीच फिरत असतात, म्हणजेच ते सतत वर्तुळात फिरत असतात.
जर एखाद्या वस्तूचा मार्ग वर्तुळाकार असेल, तर ती वस्तू वर्तुळाकार गतीत आहे असे म्हटले जाते . वर्तुळाकार गतीमधील भौतिक राशींमध्ये कोनीय राशी (वर्तुळाकार गतीच्या राशी) आणि रेषीय राशी (सरळ रेषीय गतीच्या राशी) यांचा समावेश होतो. कोनीय राशींमध्ये कोनीय विस्थापन, कोनीय वेग आणि कोनीय त्वरण यांचा समावेश होतो. रेषीय राशी म्हणजे सरळ गतीमधील राशी, ज्यात विस्थापन (अंतर), वेग (चाल) आणि त्वरण यांचा समावेश होतो. याउलट, वर्तुळाकार गतीमधील राशींना सामान्यतः कोनीय राशी म्हणून संबोधले जाते . वर्तुळाकार गतीमध्ये, रेषीय राशी कोनीय राशींशी संबंधित असतात.
कोनाची एकके (अंश, रेडियन, प्रदक्षिणा) रूपांतरित करा
१. पाव फेरा = ….. o (अंश) ?
चर्चा
१ प्रदक्षिणा = ३६०o
अर्धी गिरकी = १८०o
पाव वळण = ९०o
२. ½ वळण = …….. रेडियन ?
चर्चा
१ प्रदक्षिणा = २ पाय रेडियन = २(३.१४) रेडियन = ६.२८ रेडियन
½ वळण = पाय रेडियन = ३.१४ रेडियन
3. 180o (१८० अंश) = ….. परिभ्रमण किंवा क्रांती ?
चर्चा
360o = १ फेरी (१ क्रांती)
180o = ½ वळण (1/2 क्रांती)
4. 90o = ….. रेडियन ?
चर्चा
360o = २ पाय रेडियन = २(३.१४) रेडियन = ६.२८ रेडियन
180o = पाय रेडियन = ३.१४ रेडियन
90o = ½ pi रेडियन = ½ (3,14) = 1,57
५. ६० रेडियन = ….. परिभ्रमण?
चर्चा
६.२८ रेडियन = १ प्रदक्षिणा
६० रेडियन / ६.२८ = ९.५५ फेऱ्या
६. ४० रेडियन = ….. o (अंश) ?
चर्चा
६.२८ रेडियन = ३६०o
४० रेडियन/६.२८ = (६.३७)(३६०o) = १.१३३o
कोनीय वेग
समस्यांचे उदाहरण.
१. चाक घड्याळाच्या दिशेने फिरते, ज्यामुळे १८० अंशाचा कोन तयार होतो.o २ सेकंद आणि ९० साठीo १ सेकंदासाठी सरासरी कोनीय वेगाचे परिमाण आणि दिशा निश्चित करा!
चर्चा
मोठा = ९o/सेकंद = …. प्रदक्षिणा/सेकंद = ….. रेडियन/सेकंद ?
दिशा = घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने.
१. चाक घड्याळाच्या दिशेने फिरते, ज्यामुळे १८० अंशाचा कोन तयार होतो.o ४ सेकंदांसाठी, त्यानंतर चाक १८० अंशात फिरते.o २ सेकंदांसाठी घड्याळाच्या विरुद्ध दिशेने. किती वेळा सरासरी कोनीय वेग चाक?
चर्चा
मोठा = ३o/सेकंद = …. प्रदक्षिणा/सेकंद = ….. रेडियन/सेकंद ?
दिशा = घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने.
तात्कालिक कोनीय वेग
तात्कालिक कोनीय वेगाचे परिमाण = अतिशय कमी कालावधीत प्रवास केलेल्या कोनीय वेगाचे परिमाण.
सरळ गती किंवा रेषीय गतीमध्ये, उच्च गती म्हटले जाऊ शकते वेग करीना मोठे विस्थापन मूल्याच्या समान जारक जर ते खूप लहान असेल. वर्तुळाकार गतीमध्ये, मोठा कोनीय वेग म्हटले जाऊ शकते कोनीय वेग करीना मोठे कोनीय विस्थापन मूल्याच्या समान जारक कोपरा जर ते खूप लहान असेल.
सरासरी कोनीय प्रवेग
समस्यांचे उदाहरण.
१. एक पवनचक्की जी सुरुवातीला क्षणभर स्थिर राहते, नंतर वाऱ्यामुळे फिरू लागते. २ सेकंदांनंतर, तिचा कोनीय वेग ९०° पर्यंत वाढतो.oकिती? सरासरी कोनीय प्रवेग पवनचक्की?
चर्चा
सरासरी, मोठा कोनीय वेग पवनचक्की ४५ ने वाढल्याo/s प्रत्येक १ सेकंदाला.
२. प्रोपेलर सुरुवातीला १८० अंशाच्या कोनीय वेगाने फिरतो.o/s, २ सेकंदांनी ते फिरणे थांबते. किती? सरासरी कोनीय मंदन पवनचक्की?
चर्चा
सरासरी, मोठा कोनीय वेग पवनचक्की ९० ने कमी झाल्याo/s प्रत्येक १ सेकंदाला.
तात्कालिक कोनीय प्रवेग
तात्क्षणिक कोनीय त्वरणाला सामान्यतः 'कोनीय त्वरण' असे संक्षिप्त रूप दिले जाते. तात्क्षणिक कोनीय त्वरण म्हणजे अतिशय कमी कालावधीत कोनीय वेगात होणारा बदल होय. गणितीय भाषेत:
वर्तुळाकार गतीचा आवर्तकाल आणि वारंवारता
आवर्तकाल एका कणाला एक प्रदक्षिणा पूर्ण करण्यासाठी लागणारा वेळ दर्शवतो, तर वारंवारता प्रति सेकंद होणाऱ्या प्रदक्षिणांची संख्या दर्शवते.
आवर्तकाल आणि वारंवारता यांच्यातील संबंध खालील समीकरणाद्वारे व्यक्त केला जातो:
f = 1 / T
आवर्तकालाचे आंतरराष्ट्रीय एकक सेकंद आहे, तर वारंवारतेचे आंतरराष्ट्रीय प्रणाली एकक १/सेकंद किंवा हर्ट्झ आहे.
वेग आणि कोनीय वेग
वर्तुळात फिरणाऱ्या कणाचा स्पर्शरेषीय वेग आणि कोणीय वेग आवर्तकाल आणि वारंवारतेच्या स्वरूपात व्यक्त केला जाऊ शकतो.
वर्तुळाकार गती करणाऱ्या कणाच्या वेगाचे परिमाण खालील समीकरणाने व्यक्त केले जाते:
वर्तुळात फिरणाऱ्या कणाच्या कोनीय वेगाचे परिमाण खालील समीकरणाने व्यक्त केले जाते:
माहिती :
समस्यांचे उदाहरण
१. अनुक्रमे २० आणि ५० दाते असलेली दोन चाके A आणि B एकमेकांच्या संपर्कात अशा प्रकारे ठेवली आहेत की प्रत्येक गियरची जोडी तयार झाली आहे. जर चाक A एका सेकंदात ५० वेळा फिरले, तर चाक B चा कोनीय वेग किती असेल….
चर्चा
हे ज्ञात आहे:
चाक A वरील दातांची संख्या = २०
चाक B वरील दातांची संख्या = ५०
चाक A चा कोनीय वेग ( ωA ) = ५० फेऱ्या/सेकंद
१ प्रदक्षिणा = २π रेडियन
(५०)(२π रेडियन)/सेकंद = १००π रेडियन/सेकंद
प्रश्न: चाक B चा कोनीय वेग ( ωB )
उत्तर:
चाक A चा रेषीय वेग: v A = r A ω A
चाक B चा रेषीय वेग: v B = r B ω B
दोन्ही चाके संपर्कात असल्याने त्यांचा रेषीय वेग समान असतो.
v A = v B
r A ω A = r B ω B
(20)( 100π rad/s) = (50)(ω B )
(2)(100π rad/s) = (5)(ω B )
(2)(20π rad/s) = ω B
ω B = 40π rad/s
३. २०१७ एसएमए/एमए राष्ट्रीय परीक्षेचे प्रश्न
पुढील चित्राकडे पहा.
एक मोटारसायकल रस्त्याच्या कडेला असलेल्या α (tan α = 2/5) कोनाच्या वळणावरून जात आहे . मोटारसायकल घसरू नये यासाठी कमाल वेग 20 ms⁻¹ आहे . त्या वळणाची त्रिज्या किती आहे?
अ. ०.२ मीटर
बी. ०.३ मी
से. ०.६ मी
डी. ०.९ मी
ई. १.० मी
चर्चा
हे ज्ञात आहे की:
कमाल वेग (v) = २० मी/से
स्पर्शिका α = 2/5
स्थिर घर्षण गुणांक (μ s ) = स्पर्शिका α = 2/5
प्रश्न: वाकण्याची त्रिज्या (r)
उत्तर :
अभिकेंद्री प्रवेगाचे सूत्र:
माहिती :
a s = अभिकेंद्री त्वरण, v = वेग, r = वक्रता त्रिज्या
जेव्हा गाडी वळते तेव्हा तिच्यावर कार्य करणारे एकमेव परिणामी क्षैतिज बल म्हणजे स्थिर घर्षण होय. स्थिर घर्षणाचे सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:
माहिती :
f s = स्थिर घर्षण बल, μ s = स्थिर घर्षण गुणांक, w = वजन, m = वस्तुमान, g = गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण
वर्तुळाकार गतीसाठी न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमाचे सूत्र:
योग्य उत्तर B आहे.
३. २०१७ एसएमए/एमए राष्ट्रीय परीक्षेचे प्रश्न
खाली दाखवल्याप्रमाणे चार चाके जोडलेली आहेत!
त्रिज्या आरA = ३ सेमी, आरB = ३ सेमी, आरC = २ सेमी आणि आरD = ५ सेमी आणि चाक A ३ मी/से च्या रेषीय गतीने फिरते-1तर चाक D चा कोनीय वेग किती आहे…
चर्चा
हे ज्ञात आहे की:
R A = 6 cm = 0,06 m, R B = 3 cm = 0,03 m, R C = 2 cm = 0,02 m, R D = 5 cm = 0,05 m.
v A = 3 ms -1
प्रश्न: चाक D चा कोनीय वेग ( ωD )
उत्तर :
चाक A चा कोनीय वेग:
v A = r A ω A
ω A = v A / r A = 3 / 0,06 = 50 rad/s
चाक A आणि B समान कोनीय वेगाने फिरतात.
ω A = ω B = 50 rad/s
चाक B चा कोनीय वेग:
ω B = ५० rad/s
चाक B चा रेषीय वेग:
v B = r B ω B
v B = (0,03)(50 rad/s)
v B = 1,5 m/s
चाक B आणि चाक C यांचा रेषीय वेग समान आहे.
v B = v C = 1,5 m/s
चाक C आणि चाक D यांचा रेषीय वेग समान आहे.
v C = v D = 1,5 m/s
चाक D चा कोनीय वेग:
ω D = v D / r D = 1,5 / 0,05 = 30 rad/s
