Өнцгийн импульсийг хэрхэн тооцоолох вэ
Өнцгийн импульс нь физик, ялангуяа сонгодог болон квант механикийн чухал ойлголт юм. Энэ нийтлэлд бид өнцгийн импульсийг хэрхэн тооцоолох, янз бүрийн аргууд болон өдөр тутмын амьдралд хэрэглэх талаар дэлгэрэнгүй авч үзэх болно. Энэ ойлголтыг ойлгох нь зөвхөн физикийн оюутнууд болон мэргэжилтнүүдэд төдийгүй байгаль хэрхэн суурь түвшинд ажилладаг талаар сонирхож буй хүн бүрт ашигтай юм.
Пендахулуан
Өнцгийн импульс гэдэг нь объектын цэгийг тойрон эргэхийг тодорхойлдог вектор хэмжигдэхүүн юм. Шугаман импульс нь шугаман хөдөлгөөнтэй холбоотой байдаг шиг өнцгийн импульс нь объект хэрхэн эргэхийг зохицуулдаг. Өнцгийн импульсийн (\(L\)) үндсэн томъёо нь инерцийн момент (\(I\)) ба өнцгийн хурдны (\(\omega\)) үржвэр юм:
\[ L = I \cdot \omega \]
Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид цэгийг тойрон хөдөлж буй бөөмийн тохиолдлыг авч үзвэл ашигласан томъёо нь дараах байдалтай байна.
\[ L = r \удаа p \]
Хаана:
– \( r \) нь эргэлтийн төвтэй харьцуулсан бөөмийн байрлалын вектор юм.
– \( p \) нь бөөмийн шугаман импульс (\( p = m \cdot v \) энд \( m \) нь бөөмийн масс ба \( v \) нь шугаман хурд).
“\(\удаа\)” тэмдэг нь векторуудын хөндлөн үржвэрийг илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь өнцгийн импульс нь байрлалын вектор \(r \) ба импульсийн вектор \(p \)-ийн үүсгэсэн хавтгайд үргэлж перпендикуляр байдаг гэсэн үг юм.
Дискрет систем дэх өнцгийн импульсийг тооцоолох нь
Эргэлтийн төвөөс r зайд m масстай бөөм m хурдтай хөдөлж байна гэж бодъё. Өнцгийн импульсийг тооцоолох алхамууд дараах байдалтай байна.
1. Байрлалын вектор (\( r \)) болон импульсийн вектор (\( p \))-г тодорхойлно уу:
Бүх векторуудыг эргэлтийн төвөөс хэмжсэн эсэхийг шалгаарай. Бөөм нь \(x, y, z) \) байрлалд байгаа бөгөөд \(v_x, v_y, v_z) \) хурдтай хөдөлж байна гэж бодъё. Тэгвэл байрлалын вектор нь \( \vec{r} = (x, y, z) \), харин импульсийн вектор нь \( \vec{p} = m \cdot (v_x, v_y, v_z) \) байна.
2. Хөндлөн үржвэрийг (\( \vec{r} \times \vec{p} \)) тооцоолно уу:
Декартын координат дахь хоёр векторын хөндлөн үржвэрийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.
\[
\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \left( \begin{array}{c}
y \cdot p_z – z \cdot p_y \\
z \cdot p_x – x \cdot p_z \\
x \cdot p_y – y \cdot p_x \\
\end{array} \right)
\]
3. Өнцгийн импульсийн утга ба чиглэлийг үнэлэх:
Хөндлөн үржвэрийн үр дүн нь тодорхой чиглэл ба хэмжээстэй вектор юм. Өнцгийн импульсийн хэмжээг дараах векторын хэмжээг авч тооцоолж болно:
\[
|\vec{L}| = \sqrt{(L_x)^2 + (L_y)^2 + (L_z)^2}
\]
Тасралтгүй систем дэх өнцгийн импульсийг тооцоолох нь
Эргэлдэгч саваа эсвэл диск гэх мэт тасралтгүй массын тархалттай объектуудын хувьд илүү ерөнхий алхмууд дараах байдалтай байна.
1. Инерцийн моментийг (\( I \)) тодорхойлно уу:
Инерцийн момент гэдэг нь объектын массыг эргэлтийн тэнхлэгтэй нь харьцуулан хэрхэн хуваарилж байгааг тодорхойлдог тензор юм. Янз бүрийн объектын хэлбэрийн инерцийн моментуудын зарим жишээ:
– Голдоо эргэлттэй урт саваа \( L \): \( I = \frac{1}{12} m L^2 \)
– Радиустай диск \( R \): \( I = \frac{1}{2} m R^2 \)
– Радиустай хатуу бөмбөрцөг \( R \): \( I = \frac{2}{5} m R^2 \)
2. Өнцгийн хурдыг (\( \omega \)) тодорхойлно уу:
Өнцгийн хурд гэдэг нь объект хэр хурдан эргэлддэгийг хэлдэг бөгөөд ихэвчлэн секундэд радианаар хэмжигддэг.
3. Инерцийн моментийг өнцгийн хурдаар үржүүл:
Биетийн өнцгийн импульсийг олохын тулд \(L = I \cdot \omega \) томъёог ашиглана уу.
Бодлогын жишээ
Жишээ 1: Шулуун шугамаар хөдөлж буй бөөмсүүд
2 кг масстай бөөм \( \hat{i} \) чиглэлд 3 м/с хурдтай хөдөлж, \( \hat{j} \) чиглэлд эргэлтийн тэнхлэгээс 2 метрийн зайд байрлалтай байна гэж бодъё.
1. Байрлалын вектор \( \vec{r} = 2 \hat{j} \)
2. Импульсийн вектор \( \vec{p} = 2 \times 3 \hat{i} = 6 \hat{i} \)
3. Хөндлөн үржвэр \( \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \):
\[
\vec{L} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
0 & 2 & 0 \\
6 & 0 & 0 \\
\end{vmatrix} = (0)(0) – (2)(0) \hat{i} – (0)(0) + (6)(0) \hat{j} + (2)(6) – (0)(0) \hat{k}
= (0 \hat{i}, -0 \hat{j}, 12 \hat{k})
= 12 \hat{k}
\]
Тэгэхээр, \( \vec{L} = 12 \hat{k} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 / \text{s} \).
Жишээ 2: Эргэлдэгч диск
5 кг масстай, 0.5 метр радиустай нэгэн төрлийн диск нь 10 радиан/с өнцгийн хурдтайгаар эргэлддэг.
1. Инерцийн момент, \( I = \frac{1}{2} m R^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times (0.5)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 0.25 = 0.625 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \)
2. Өнцгийн хурд, \( \omega = 10 \, \text{rad/s} \)
3. Өнцгийн импульс, \( L = I \cdot \omega = 0.625 \times 10 = 6.25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 / \text{s} \)
Өнцгийн импульсийн хэрэглээ
Өнцгийн импульсийг ойлгох нь олон төрлийн практик хэрэглээтэй байдаг. Жишээлбэл:
– Астрофизик: Мөхөж буй одны таталцал нь түүнийг тойрон хүрээлсэн гаригуудыг өнцгийн импульсээ хадгалахад хүргэдэг бөгөөд энэ нь тэдний одны эргэн тойронд эргэлтэнд нөлөөлдөг.
– Салхины эрчим хүч: Салхин турбинууд нь салхины кинетик энергийг цахилгаан энерги болгон хувиргахын тулд өнцгийн импульсийн зарчмыг ашигладаг.
– Спорт: Тамирчид шумбах эсвэл жад шидэх үед эргэлт хийх гэх мэт янз бүрийн хөдөлгөөнд өнцгийн импульсийн зарчмыг ихэвчлэн ашигладаг.
Дүгнэлт
Өнцгийн импульс нь физикийн гүн гүнзгий бөгөөд хэрэглэхэд хялбар ойлголт юм. Үүнийг дискрет болон тасралтгүй системийн аль алинд нь хэрхэн тооцоолохыг ойлгосноор бид янз бүрийн объектуудын эргэлт ба тэнцвэрийн талаар тодорхой ойлголттой болж чадна. Энэхүү мэдлэгийн ашиг тус нь эрдэм шинжилгээний хүрээнээс хальж, өдөр тутмын амьдралд практик хэрэглээнд ч хамаатай.
