വക്ര പ്രതലങ്ങളിൽ മെക്കാനിക്കൽ ഊർജ്ജ സംരക്ഷണം - പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും.
1. A എന്ന ബിന്ദുവിൽ പന്തിന്റെ വേഗത 6 m/s ആണെങ്കിൽ, B എന്ന ബിന്ദുവിൽ പന്തിന്റെ വേഗത √92 m/s ആണ്, ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ത്വരണം g = 10 m/s 2 ആണ് . B (h) എന്ന ബിന്ദുവിന്റെ ഉയരം എന്താണ്?
അറിയപ്പെടുന്നത്:
പോയിന്റ് എയിലെ പന്തിന്റെ വേഗത (vA) = 6 മീ/സെ
ബി (v B ) എന്ന പോയിന്റിൽ പന്തിന്റെ വേഗത = √92 മീ/സെക്കൻഡ്
ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ത്വരണം (g) = 10 m/s 2
A (h A ) യുടെ ഉയരം = 5.6 മീറ്റർ
B (h B ) യുടെ ഉയരം = h
ആവശ്യമുള്ളത് : ബി (h) പോയിന്റിന്റെ ഉയരം
പരിഹാരം:
പ്രാരംഭ മെക്കാനിക്കൽ ഊർജ്ജം = ഗുരുത്വാകർഷണ പൊട്ടൻഷ്യൽ ഊർജ്ജം
A എന്ന ബിന്ദുവിൽ, പന്തിന്റെ വേഗത = 0, അതിനാൽ പന്തിന്റെ ഗതികോർജ്ജം = 0. KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (0) = 0.
5.6 മീറ്റർ ഉയരത്തിൽ പന്ത് സ്ഥാപിക്കുക, അങ്ങനെ പന്തിന് ഗുരുത്വാകർഷണ പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജി ലഭിക്കും. ഗുരുത്വാകർഷണ പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജി : PE = mgh = m (10)(5.6) = 56 മീ.
പ്രാരംഭ മെക്കാനിക്കൽ ഊർജ്ജം = ഗുരുത്വാകർഷണ പൊട്ടൻഷ്യൽ ഊർജ്ജം + ഗതികോർജ്ജം = 56 മീ + 0 = 56 മീ
അന്തിമ മെക്കാനിക്കൽ ഊർജ്ജം = ഗുരുത്വാകർഷണ പൊട്ടൻഷ്യൽ ഊർജ്ജം + ഗതികോർജ്ജം
ബി പോയിന്റിൽ, പന്തിന്റെ ഉയരം h ആണ്. ഗുരുത്വാകർഷണ പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജി: PE = mgh = m (10) h = 10 mh
പന്തിന്റെ ഗതികോർജ്ജം : KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (√92) 2 = 1/2 m (92) = 46 m
അന്തിമ മെക്കാനിക്കൽ ഊർജ്ജം = ഗുരുത്വാകർഷണ പൊട്ടൻഷ്യൽ ഊർജ്ജം + ഗതികോർജ്ജം = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
മെക്കാനിക്കൽ ഊർജ്ജ സംരക്ഷണ തത്വം:
പ്രാരംഭ മെക്കാനിക്കൽ ഊർജ്ജം = അന്തിമ മെക്കാനിക്കൽ ഊർജ്ജം
56 മീ = മീ (10 മണിക്കൂർ + 46)
56 = 10 മണിക്കൂർ + 46
56 – 46 = 10 മണിക്കൂർ
10 = 10 മണിക്കൂർ
എച്ച് = 10/10
h = 1 മീറ്റർ
2.
പ്രാരംഭ പ്രവേഗം = 0, ഗുരുത്വാകർഷണ ത്വരണം = 10 m/s 2 ആണെങ്കിൽ , B യുടെ ഉയരത്തിലെ വേഗത എത്രയാണ്?
അറിയപ്പെടുന്നത്:
പ്രാരംഭ വേഗത (v o ) = 0
പ്രാരംഭ ഉയരം (h o ) = 50 മീ – 10 മീ = 40 മീ
അവസാന ഉയരം (h t ) = 0
ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ത്വരണം (g) = 10 ms -2
ആവശ്യമുള്ളത്: അവസാന വേഗത (v t )
പരിഹാരം:
ഗതികോർജ്ജത്തിലെ മാറ്റം:
ΔKE = 1/2 m (v t 2 – v o 2 ) = 1/2 m (v t 2 – 0) = 1/2 mv t 2
സാധ്യത ഊർജ്ജത്തിലെ മാറ്റം:
ΔPE = mg (h t – h o ) = m (10)(0-40) = m (10)(-40) = – 400 മീ
മെക്കാനിക്കൽ ഊർജ്ജ സംരക്ഷണ തത്വത്തിന്റെ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് അന്തിമ വേഗത (v t ) കണക്കാക്കുക :
0 = Δകെഇ + Δപിഇ
0 = 1/2 mv t 2 – 400 മീ
1/2 mv t 2 = 400 m
1/2 വി ടി 2 = 400
വി ടി 2 = 2(400)
v t = √(400)(2)
v t = 20√2 മീ/സെ
- "മെക്കാനിക്കൽ ഊർജ്ജ സംരക്ഷണം" എന്നതുകൊണ്ട് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്?
- ഉത്തരം: മെക്കാനിക്കൽ ഊർജ്ജ സംരക്ഷണം എന്നാൽ ഒരു ഒറ്റപ്പെട്ട സിസ്റ്റത്തിന്റെ മൊത്തം മെക്കാനിക്കൽ ഊർജ്ജം (ഗതികോർജ്ജത്തിന്റെയും സാധ്യതോർജ്ജത്തിന്റെയും ആകെത്തുക) സ്ഥിരമായി നിലനിൽക്കും, ഗുരുത്വാകർഷണം പോലുള്ള യാഥാസ്ഥിതിക ശക്തികൾ മാത്രമേ അതിൽ പ്രവർത്തിക്കൂ.
- ഒരു വളഞ്ഞ പ്രതലത്തിൽ ചലിക്കുന്ന ഒരു വസ്തു (വളഞ്ഞ റാമ്പിലൂടെ ഉരുളുന്ന പന്ത് പോലെ) അതിന്റെ യാന്ത്രിക ഊർജ്ജം എങ്ങനെ സംരക്ഷിക്കുന്നു?
- ഉത്തരം: വക്ര പ്രതലത്തിലൂടെ വസ്തു താഴേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജി ഗതികോർജ്ജമായി മാറുന്നു, പക്ഷേ ഘർഷണം പോലുള്ള യാഥാസ്ഥിതികമല്ലാത്ത ശക്തികളൊന്നും പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ലെന്ന് അനുമാനിക്കുമ്പോൾ മൊത്തം മെക്കാനിക്കൽ എനർജി സ്ഥിരമായി തുടരുന്നു.
- ഒരു വളഞ്ഞ റാമ്പിന്റെ മുകളിലുള്ള ഒരു പന്ത് നിശ്ചലാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് പുറത്തുകടന്നാൽ, അത് റാമ്പിലൂടെ താഴേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ അതിന്റെ ഗതികോർജ്ജം എങ്ങനെ മാറുന്നു?
- ഉത്തരം: പന്ത് റാമ്പിലൂടെ താഴേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ അതിന്റെ ഗതികോർജ്ജം വർദ്ധിക്കുന്നു, കാരണം അതിന്റെ പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജി കുറയുകയും ഗതികോർജ്ജമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു.
- ഘർഷണം ഇല്ലെങ്കിൽ, ഒരു വളഞ്ഞ സ്ലൈഡിന്റെ അടിയിലുള്ള ഒരു പന്തിന്റെ വേഗത അതേ ഉയരത്തിലുള്ള ഒരു നേരായ സ്ലൈഡുമായി എങ്ങനെ താരതമ്യം ചെയ്യും?
- ഉത്തരം: വളഞ്ഞതും നേരായതുമായ സ്ലൈഡുകൾക്ക് പന്തിന്റെ അടിയിലുള്ള വേഗത ഒരുപോലെയായിരിക്കും, കാരണം പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജിയെ ഗതികോർജ്ജമാക്കി മാറ്റുന്നത് ലംബമായ ഉയരത്തെ മാത്രമേ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നുള്ളൂ, സഞ്ചരിച്ച പാതയെയല്ല.
- ഒരു നിശ്ചിത ഉയരത്തിൽ നിന്ന് താഴേക്ക് ഇറങ്ങിയ ശേഷം ഒരു വളഞ്ഞ റാമ്പിൽ ചുരുട്ടുമ്പോൾ ഒരു പന്ത് അതിന്റെ യഥാർത്ഥ ഉയരത്തിൽ എത്താത്തത് എന്തുകൊണ്ട്?
- ഉത്തരം: ഘർഷണം പോലുള്ള യാഥാസ്ഥിതികമല്ലാത്ത ശക്തികൾ പന്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ, അവ ചലനത്തിനെതിരെ പ്രവർത്തിക്കുകയും പന്തിന്റെ മെക്കാനിക്കൽ ഊർജ്ജത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗം ചൂട് പോലുള്ള മറ്റ് രൂപങ്ങളിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുകയും ചെയ്യും. തൽഫലമായി, പന്തിന് അതിന്റെ യഥാർത്ഥ ഉയരത്തിലെത്താൻ ആവശ്യമായ ഊർജ്ജം ഉണ്ടാകണമെന്നില്ല.
- രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ആകൃതിയിലുള്ള വസ്തുക്കൾ (ഉദാ: ഒരു ഗോളവും ഒരു ക്യൂബും) ഒരേ ഉയരത്തിൽ നിന്ന് ഉരുളാതെ ഒരു വളഞ്ഞ റാമ്പിലൂടെ താഴേക്ക് തെന്നിമാറിയാൽ, അവയ്ക്ക് താഴെ ഒരേ വേഗത ഉണ്ടാകുമോ? എന്തുകൊണ്ട്?
- ഉത്തരം: അതെ, അവയ്ക്ക് അടിയിലും ഒരേ വേഗതയായിരിക്കും. ഉരുളലും ഘർഷണവുമില്ലെന്ന് കരുതുക, അവയുടെ വേഗത നിർണ്ണയിക്കുന്ന ഒരേയൊരു ഘടകം അവയുടെ ആകൃതിയെയല്ല, പ്രാരംഭ ഉയരത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഊർജ്ജ സംരക്ഷണമാണ്.
- ഒരു പ്രതലത്തിന്റെ വക്രത, ഒരു വസ്തുവിൽ ചലിക്കുന്ന സാധാരണ ബലത്തെ എങ്ങനെ ബാധിക്കുന്നു?
- ഉത്തരം: വക്രത കാരണം വസ്തു നീങ്ങുമ്പോൾ സാധാരണ ബലത്തിന്റെ ദിശ മാറുന്നു. ഒരു കോൺകേവ് മുകളിലേക്കുള്ള പ്രതലത്തിൽ (ഒരു പാത്രത്തിന്റെ ഉൾഭാഗം പോലെ), വക്ര ചലനത്തിന് ആവശ്യമായ കേന്ദ്രീകൃത ബലം കാരണം അടിയിൽ സാധാരണ ബലം കൂടുതലായിരിക്കും. നേരെമറിച്ച്, ഒരു കോൺവെക്സ് പ്രതലത്തിൽ, ഏറ്റവും മുകളിലുള്ള ബിന്ദുവിൽ സാധാരണ ബലം കുറയുകയോ പൂജ്യമാകുകയോ ചെയ്യാം (വസ്തു ഉപരിതലത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തുപോകുന്നു).
- ഒരു വക്ര പ്രതലത്തിൽ മെക്കാനിക്കൽ ഊർജ്ജ സംരക്ഷണത്തിൽ വക്രതയുടെ ആരം എന്ത് പങ്കാണ് വഹിക്കുന്നത്?
- ഉത്തരം: വക്രതയുടെ ആരം തന്നെ മെക്കാനിക്കൽ ഊർജ്ജ സംരക്ഷണത്തെ നേരിട്ട് ബാധിക്കുന്നില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ഇത് സാധാരണ ബലത്തെയും, ഘർഷണം ഉണ്ടെങ്കിൽ, യാഥാസ്ഥിതികമല്ലാത്ത ശക്തികൾക്ക് നഷ്ടപ്പെടുന്ന ഊർജ്ജത്തിന്റെ അളവിനെയും സ്വാധീനിക്കും.
- ഒരു ട്രാക്കിന് മധ്യത്തിൽ ഒരു ഡിപ്പ് ഉണ്ടെങ്കിൽ (U-ആകൃതിയിലുള്ള വക്രം പോലെ), ഒരു വസ്തുവിന്റെ മെക്കാനിക്കൽ ഊർജ്ജം ഡിപ്പിലൂടെയും മറുവശത്തേക്ക് മുകളിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോഴും എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെടും?
- ഉത്തരം: വസ്തുവിന്റെ പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജി ഡിപ്പിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ കുറയുകയും അതിന്റെ ഗതികോർജ്ജം വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യും. മറുവശത്തേക്ക് മുകളിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ അതിന്റെ ഗതികോർജ്ജം കുറയുകയും അതിന്റെ പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജി വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യും. യാഥാസ്ഥിതിക ശക്തികൾ മാത്രം പ്രവർത്തിച്ചാൽ, ചലനത്തിലുടനീളം മൊത്തം മെക്കാനിക്കൽ എനർജി സ്ഥിരമായി തുടരും.
- ഒരു വക്ര പ്രതലത്തിൽ ചലിക്കുമ്പോൾ ഒരു വസ്തുവിന് വിവർത്തന ഗതികോർജ്ജവും ഭ്രമണ ഗതികോർജ്ജവും ഉണ്ടാകുമോ?
- ഉത്തരം: അതെ, ഒരു പന്ത് പോലുള്ള ഒരു വസ്തു ഒരു വളഞ്ഞ പ്രതലത്തിൽ (വഴുതിപ്പോകാതെ) ഉരുണ്ടാൽ, അതിന്റെ പിണ്ഡകേന്ദ്രം ചലിക്കുന്നതിനാൽ അതിന് വിവർത്തന ഗതികോർജ്ജവും അതിന്റെ അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റുമുള്ള ഭ്രമണം കാരണം ഭ്രമണ ഗതികോർജ്ജവും ഉണ്ടാകും.
