Ohatra amin'ny Fanontaniana sy Valiny momba ny Fetra
Ny fetra dia iray amin'ireo foto-kevitra manan-danja indrindra amin'ny matematika, indrindra amin'ny kajy. Ny fetra dia ahafahantsika mahatakatra ny fihetsiky ny asa iray rehefa manakaiky isa iray ny sanda miovaovany, na avy amin'ny ankavia na avy amin'ny ankavanana. Io foto-kevitra io no fototry ny fifanakalozan-kevitra momba ny derivatives sy ny integrals. Ato amin'ity lahatsoratra ity dia hahita fanazavana fohy ianao, miaraka amin'ny ohatra fanontaniana sy valiny maromaro momba ny fetra izay matetika miseho amin'ny fampiharana sy ny fanadinana.
Fahatakarana fohy momba ny fetra
Amin'ny ankapobeny, ny fetra dia maneho ny sanda "anakaiky" ny asa iray rehefa manakaiky ny sanda iray ny fiovaovany. Voasoratra toy izao izy io:
\[
lim_{x \to a} f(x)
\]
Izany hoe, tiantsika ho fantatra ny sandan'ny \( f(x) \) rehefa manakaiky ny \( x \) ny \( a \). Tsarovy fa tsy mitovy foana ny fetra amin'ny sandan'ny asa amin'io fotoana io (mety tsy ho voafaritra mihitsy aza ny asa amin'io fotoana io), fa mbola mety hisy ihany ny fetra.
Karazana olana mahazatra amin'ny fetra
Ireto misy karazana fanontaniana momba ny fetra izay matetika ianarana:
1. Fetra amin'ny fanoloana mivantana (raha mitohy ny asa amin'io fotoana io).
2. Fetra tsy voafaritra endrika toy ny \( \frac{0}{0} \) na \( \frac{\infty}{\infty} \).
3. Fetra mahakasika ny faka.
4. Fetra trigonometrika.
5. Mihatra amin'ny tsy manam-petra ny fetra.
Mba hahazoana tsara kokoa, andeha hojerentsika ireo ohatra amin'ny fanontaniana sy ny fifanakalozan-kevitra momba azy ireo.
-
Ohatra 1: Fetra misy fanoloana mivantana
Fanontaniana:
Fantaro ny sandany:
\[
√ x hatramin'ny 2 (3x + 5)
\]
valiny:
Koa satria lineary ny endriky ny asa ary tsy miteraka endrika tsy voafaritra, dia azontsika kajy amin'ny alàlan'ny fanoloana mivantana izany.
\[
√ x hatramin'ny 2 (3x + 5) = 3(2) + 5 = 6 + 5 = 11
\]
Fehiny: Ny sanda fetra dia 11.
-
Ohatra 2: Fetra amin'ny endrika tsy voafaritra \( \frac{0}{0} \) (Factorization)
Fanontaniana:
Isan'ny:
\[
lim_{x hatra'ny 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3}
\]
valiny:
Raha soloina mivantana ny \( x = 3 \), dia toy izao ny vokany:
\[
\frac{9 – 9}{3 – 3} = \frac{0}{0}
\]
Endrika tsy voafaritra ity, ka mila tsotsorina. Ampidiro ao anatin'ny faobe ny mpanisa:
\[
x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)
\]
Koa:
\[
\frac{(x – 3)(x + 3)}{x – 3} = x + 3
\]
Kajio izao ny fetra:
\[
√ x hatramin'ny 3 (x + 3) = 3 + 3 = 6
\]
Fehiny: Ny sanda fetra dia 6.
-
Ohatra 3: Fetra misy fakany (Fanamarinana)
Fanontaniana:
Fantaro:
\[
lim_{x hatra'ny 4} \frac{\sqrt{x} – 2}{x – 4}
\]
valiny:
Vokatra azo avy amin'ny fanoloana mivantana:
\[
\frac{2 – 2}{4 – 4} = \frac{0}{0}
\]
Fanamarinana amin'ny fampitomboana ny namana:
\[
\frac{\sqrt{x} – 2}{x – 4} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}
= x – 4}{(x – 4)(x + 2)}
\]
Tsotra:
\[
= \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
\]
Soloy izao \( x = 4 \):
\[
\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}
\]
Fehiny: 1/4 ny sandan'ny fetra.
-
Ohatra Fanontaniana 4: Fetra Trigonometrika Fototra
Fanontaniana:
Isan'ny:
\[
lim_{x hatra'ny 0} \frac{\sin x}{x}
\]
valiny:
Ity fetra ity dia fetra fototra tena fantatra tsara amin'ny trigonometria:
\[
lim_{x hatramin'ny 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\]
Azo porofoina amin'ny alalan'ny jeômetria na Andian-dahatsoratra Taylor, saingy any an-tsekoly dia mazàna ampy ny mitadidy izany ho toy ny raikipohy fototra.
Fehiny: Ny sanda fetra dia 1.
-
Ohatra Fanontaniana 5: Fetra Trigonometrika amin'ny alalan'ny Fanodinkodinana
Fanontaniana:
Fantaro:
\[
lim_{x hatra'ny 0} 1 – cos x}{x^2}
\]
valiny:
Ity fetra ity dia ahitana ihany koa ireo fetra fototra ampiasaina matetika:
\[
lim_{x hatra'ny 0} 1 – cos x}{x^2} = 1}{2}
\]
Raha te hampihena ny isa ianao dia azonao ampiasaina ny identity:
\[
1 – \cos x = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
\]
Amin'izay mba:
\[
1 – x}{x^2} = 2 sin^2(x/2)}{x^2}
= 2 \left(\frac{\sin(x/2)}{x}\right)^2
\]
Ovay kely:
\[
\frac{\sin(x/2)}{x} = \frac{\sin(x/2)}{x/2} \cdot \frac{1}{2}
\]
Koa ny fetra dia:
\[
2 \left(1 \cdot \frac{1}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
\]
Fehiny: 1/2 ny sandan'ny fetra.
-
Ohatra Fanontaniana 6: Fomba Fiasa Fetra Tsy Misy Fahataperana
Fanontaniana:
Isan'ny:
\[
lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3x}{2x^2 – 7}
\]
valiny:
Mba fetran'ny asa rational rehefa (x mankany infty), ampitahao ny degre ambony indrindra. Satria samy degre 2 izy roa, ny fetra dia ny fampitahana ny coefficients ambony indrindra:
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3x}{2x^2 – 7} = \frac{5}{2}
\]
Fehiny: 5/2 ny sandan'ny fetra.
-
Ohatra Fanontaniana 7: Fetra miaraka amin'ny fanoloana sy fanatsorana ny ampahany
Fanontaniana:
Fantaro:
\[
lim_{x hatra'ny 1} \frac{x^3 – 1}{x – 1}
\]
valiny:
Ny fanoloana mivantana dia manome ny endrika \( \frac{0}{0} \). Factor:
\[
x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1)
\]
Tsotra:
\[
\frac{(x – 1)(x^2 + x + 1)}{x – 1} = x^2 + x + 1
\]
Fanoloana \( x = 1 \):
\[
1^2 + 1 + 1 = 3
\]
Fehiny: Ny sanda fetra dia 3.
-
Penutup
Ho mora kokoa ny mianatra ny fetra raha mahafehy ireo lamina fototra ianao: ny fotoana hampiasana ny fanoloana mivantana, ny fotoana hampiasana ny factor, ny fotoana hampiasana ny raikipohy, ary ny fotoana hampiasana ny raikipohy fetra trigonometrika. Amin'ny alalan'ny fampiharana matetika ny olana toy ny ohatra etsy ambony, dia ho zatra kokoa amin'ny fikirakirana karazana fetra isan-karazany ianao, na dia ireo toa sarotra aza.
Raha tianao, afaka mamorona fonosana fampiharana misy fanontaniana voafetra 20–30 miaraka amin'ny fifanakalozan-kevitra tsikelikely (manomboka amin'ny fototra ka hatramin'ny mandroso) aho, na mampifanaraka izany amin'ny fandaharam-pianarana any amin'ny lisea/sekoly arak'asa/UTBK.
