Inercijos momentas

1. Dalelės inercijos momentas

Apžvelkime besisukančios dalelės modelį. Dalelei, kurios masė m, suteikta jėga F, dėl kurios dalelė sukasi apie ašį O. Dalelė yra r atstumu nuo sukimosi ašies. Pirmiausia dalelė yra nejudanti (v = 0). Pajudėjusios F jėgos veikiamos dalelės juda tam tikru greičiu, todėl įgauna tangentinį pagreitį. Jėgos (F), masės (m) ir dalelių tangentinio pagreičio sąryšį išreiškia 3 lygtis:

F = ma _tan (3 lygtis)

Dalelės sukasi taip, kad dalelės įgautų kampinį pagreitį. Tangentinio pagreičio ir kampinio pagreičio santykis išreiškiamas 4 lygtimi:

a _tan = r α (4 lygtis)

3 lygtyje įrašykite „a“ į „a“ 4 lygtyje:

F = mr α

r F = mr ² α

τ = (mr² ⁾ α (5 lygtis)

r F yra jėgos momentas, o mr ² – dalelės inercijos momentas. 5 lygtis nurodo jėgos momento, inercijos momento ir besisukančių dalelių kampinio pagreičio sąryšį. 5 lygtis yra antrojo Niutono dėsnio lygtis besisukančiose dalelėse.

Dalelės inercijos momentas yra dalelės masės (m) ir atstumo tarp dalelių ir sukimosi ašies kvadrato (r2 ⁾ sandauga.

I = mr² ⁽ 6 lygtis)

I = dalelės inercijos momentas, m = dalelės masė, r = atstumas tarp dalelės ir sukimosi ašies. Dalelės inercijos momentui nustatyti naudojama 6 lygtis.

3.2 Dalelės inercijos momento pavyzdiniai uždaviniai

1 pavyzdinė problema.

2 kg masės dalelė buvo pririšta prie 0.5 metro ilgio virvės ir pasukta. Koks yra dalelių inercijos momentas sukant?

Sprendimas:

Aš = Ponas ²

I = (2 kg) (0.5 m) ^²

I = 0.5 kg ^m²

2 pavyzdinė problema.

Dvi dalelės, kurių kiekvienos masė yra 2 kg ir 4 kg, sujungtos lengva viela, kurios ilgis yra 2 metrai. Į laidų masę nekreipkite dėmesio. Nustatykite dviejų dalelių inercijos momentą, jei:

a) Sukimosi ašis yra tarp dviejų dalelių

Sprendimas:

I = m1 _/ r1 _/ ² + m2 ^/ _r2 / ₂

Aš = (2)(12) + (4)(12)

Aš = 2 + 4

I = 6 kg ^m²

b) Sukimosi ašis yra 0.5 metro atstumu nuo dalelės, kurios masė yra 2 kg.

I = m1 _/ r1 _/ ² + m2 ^/ _r2 / ₂

I = (2)(0.5 ² ) + (4)(1.5 ² )

Aš = (2)(0.25) + (4)(2.25)

Aš = 0.5 + 9

I = 9.5 kg ^m²

c) Sukimosi ašis yra 0.5 metro atstumu nuo dalelės, kurios masė yra 4 kg.

I = m1 _/ r1 _/ ² + m2 ^/ _r2 / ₂

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

Aš = (2)(2.25) + (4)(0.25)

Aš = 4.5 + 1

I = 5.5 kg ^m²

Remiantis aukščiau pateiktų skaičiavimų rezultatais, inercijos momentui didelę įtaką daro sukimosi ašies vieta. Nors forma ir dydis yra vienodi, nes sukimosi ašies vieta skiriasi, inercijos momentas taip pat skiriasi.

Dalelės, esančios netoli sukimosi ašies, turi mažesnį inercijos momentą, o dalelės, esančios toli nuo sukimosi ašies, turi didesnį. Jei darytume prielaidą, kad dvi aukščiau esančios dalelės yra standūs objektai, tai kiekviena dalelė yra netoli sukimosi ašies.

turi mažesnį inercijos momentą nei dalelės, esančios toliau nuo sukimosi ašies, inercijos momentas.

3.3 Homogeninio standaus kūno inercijos momentas

Standūs objektai sudaryti iš daugelio dalelių. Standaus kūno inercijos momentas yra bendras kiekvienos dalelės, iš kurios susidaro objektas, inercijos momentų skaičius.

I = Σ ^mr²

Aš = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Norėdami nustatyti standaus objekto inercijos momentą, turime peržiūrėti objektą jam sukantis, nes sukimosi ašies vieta turi įtakos objekto inercijos momentui. Kiekvienos dalelės inercijos momentas (I) taip pat priklauso nuo dalelės masės (m) ir dalelės atstumo nuo sukimosi ašies kvadrato (r2 ⁾ . Visų objektą sudarančių dalelių masė yra objekto masė.

Problema ta, kad kiekvienos dalelės atstumas nuo sukimosi ašies kinta.

Peržiūrėkite plono žiedo, kurio pirštai R ir masė M, inercijos momento sumažėjimą formulėje.

Jei sukimosi ašis yra žiedo centre, visos plonojo žiedo dalelės yra nutolusios nuo sukimosi ašies. Plonojo žiedo inercijos momentas yra lygus visų dalelių inercijos momentui:

I = Σ mr²

Aš = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Visų dalelių masė = plono žiedo masė (M)

I = M (r1 _/ ² + r2 _/ ^{2 +} r3 _/ ² + ….. + _rn2 )

Kiekviena plono žiedo dalelė yra nutolusi r atstumu nuo sukimosi ašies taip, kad r1 ₌ r2 ₌ r3 ₌ rn = R

Plonojo žiedo inercijos momento lygtis:

I = MR ²

I = plonojo žiedo inercijos momentas, M = plonojo žiedo masė, R = plonojo žiedo spindulys.

Ką daryti, jei sukimosi ašis nėra žiedo centre? Jei sukimosi ašis nėra žiedo centre, plono žiedo inercijos momento formulės negalima gauti naudojant aukščiau pateiktą metodą,

nes kiekvienos dalelės atstumas nuo sukimosi ašies yra skirtingas. Šioje temoje inercijos momento formulės išvedimas tokiai problemai kaip ši neaptariamas.

Kai kurių standžių objektų inercijos momento formulė

3.4 Homogeninio standaus kūno inercijos momento pavyzdinis uždavinys

1 pavyzdžio uždavinys:

Strypinio cilindro AB masė, sukama per tašką B, yra 3 kg.

Inercijos momentas yra 27 kg m² ^. Koks yra inercijos momentas, jei?

pasukta per C?

Sprendimas:

Sprendimas:

Homogeninio kietojo strypo inercijos momento formulė (sukimosi ašis yra strypo centre):

I = 1/12 ^ml²

27 = (1/12) ML ²

(27)(12) = ^{2 dalis}

324 = ML ²

Homogeninio kietojo strypo inercijos momento formulė (sukimosi ašis ant strypo krašto):

I = 1/3 ^ml²

Aš = 1/3 (324)

I = 108 kg ^m²