Kampinis pagreitis

Kampinis pagreitis

Sukamojo judesio dydis, kuris yra identiškas tiesiaeigiame judėjime esančiai masei (m), yra inercijos momentas (I). Sukamojo judesio dydis, kuris yra identiškas tiesiaeigiame judėjime esančiai greičiui (v), yra kampinis greitis (ω). Taigi, besisukančio objekto kampinis momentas gali būti apskaičiuojamas pagal šią lygtį:

L = Iω

L = kampinis momentas (kg m² ^/ s), I = inercijos momentas (kg m² ⁾ , ω = kampinis greitis (rad/s)

Kampinio momento pavyzdiniai uždaviniai

1 pavyzdinė problema.

Dalelė, sverianti 0.5 gramo, juda apskritimu, kurio kampinis greitis yra pastovus 2 rad/s. Nustatykite dalelės kampinį momentą, jei dalelės kelio spindulys yra 10 cm.

Sprendimas:

Dalelės inercijos momentas:

I = mr² ⁼ (0.5 x ^{10⁻³ kg} )(1 x ^10⁻¹ m) ^² = (0.5 x ^10⁻³ kg)(1 x 10⁻¹ ^m² ) = 0.5 x ^10⁻³ kg ^​​m²

Dalelės kampinis greitis:

ω = 2 rad/s

Dalelės kampinis momentas:

L = (0.5 x 10⁻⁶ ^kg ​​m² ⁾ (2 rad/s) = 1 x ^10⁻⁶ kg ​​m² ^/ s

Kampinio momento tvermės dėsnis

Kampinio momento tvermės dėsnis teigia, kad jei atstojamasis jėgos momentas, veikiantis standų kūną sukant, yra lygus nuliui, tai standaus kūno kampinis momentas sukant jį visada yra pastovus. Kampinio momento tvermės dėsnį galima matematiškai išvesti modifikuojant Niutono antrojo kampinio momento dėsnio lygtį. Pateikiame Niutono antrojo kampinio momento dėsnio lygtį:

Jei atstojamasis jėgos momentas lygus nuliui, tai aukščiau pateikta lygtis pasikeičia į:

I _t = galutinis inercijos momentas, I _o = pradinis inercijos momentas, ω _t = galutinis kampinis greitis, ω _o = pradinis kampinis greitis, L _t = galutinis kampinis momentas, L _o = pradinis kampinis momentas.

Kampinio momento tvermės dėsnio pavyzdiniai uždaviniai

1 pavyzdinė problema.

Homogeninis kietasis cilindrinis diskas iš pradžių sukasi apie savo ašį 4 rad/s greičiu. Disko masė ir spindulys yra 1 kg ir 0.5 m. Jei virš plokštės uždedamas žiedas, kurio masė ir spindulys yra 0.2 kg ir 0.1 m, o žiedo centras yra...

tiesiai virš disko centro, tada diskas ir žiedas suksis kartu kampiniu greičiu…

Sprendimas:

Kietojo cilindro inercijos momentas: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Žiedo inercijos momentas: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Pradinis kampinis momentas (L1 ₎ = Galutinis kampinis momentas ( _L2 )

I1ω1 = _I2ω2​​_​​_​

(0.125 kg m² ⁾ (4 rad/s) = (0.125 kg m² ⁺ 0.002 kg m² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω² = _0.5 :0.127

ω² = ₄ rad/s

Konceptualūs klausimai ir atsakymai

1. Kas yra kampinis momentas?
   Atsakymas: Kampinis momentas yra objekto sukimosi kiekio matas, atsižvelgiant į jo masę ir formą. Tai linijinio momento sukimosi analogas.
2. Kaip matematiškai nustatomas kampinis momentas?
   Atsakymas: Kampinis momentas (L) apibrėžiamas kaip $L=r\times p$, Kur $r$ yra padėties vektorius nuo sukimosi ašies iki taikymo taško ir $p$ yra linijinis momentas.
3. Ar kampinis momentas yra skaliarinis, ar vektorinis dydis?
   Atsakymas: Kampinis momentas yra vektorinis dydis.
4. Koks yra kampinio momento matavimo vienetas SI sistemoje?
   Atsakymas: Kampinio momento vienetas SI sistemoje yra kilogramas metras kvadratu per sekundę (kg·m²/ s).
5. Kaip išsaugomas kampinis momentas?
   Atsakymas: Uždaroje sistemoje be išorinių sukimo momentų bendras kampinis momentas išlieka pastovus.
6. Koks yra kampinio momento išsaugojimo principas?
   Atsakymas: Principas teigia, kad uždaros sistemos bendras kampinis momentas išlieka pastovus, nebent jį veikia išorinis sukimo momentas.
7. Kaip dailiojo čiuožėjo sukimasis yra susijęs su kampiniu momentu?
   Atsakymas: Kai dailusis čiuožėjas sukimosi metu pritraukia rankas ir kojas prie kūno, jo inercijos momentas sumažėja, todėl jis sukasi greičiau. Tai rodo kampinio momento tvermės dėsnį.
8. Koks yra sukimo momento ir kampinio momento ryšys?
   Atsakymas: Sukimo momentas ($\tau$) yra kampinio momento kitimo greitis. Matematiškai, τ=dL/sek.​.
9. Ar objektas gali turėti kampinį momentą be kampinio greičio?
   Atsakymas: Ne, jei objektas turi kampinį momentą, jis turi kampinį greitį. Kampinio momento dydis ir kryptis priklauso ir nuo inercijos momento, ir nuo kampinio greičio.
10. Kaip inercijos momentas veikia kampinį impulsą?
    Atsakymas: Kampinis momentas (L) yra inercijos momento (I) ir kampinio greičio (ω) sandauga. JAV $L=I\omega$, inercijos momento padidėjimas esant tam tikram kampiniam greičiui padidins kampinį impulsą.
11. Kuo skiriasi sukinys ir orbitinis kampinis momentas kvantinėje mechanikoje?
    Atsakymas: Sukimosi kampinis momentas yra būdinga dalelių, tokių kaip elektronai, savybė ir neatsiranda dėl judėjimo erdvėje. Kita vertus, orbitinis kampinis momentas atsiranda dėl dalelės judėjimo aplink centrinį tašką.
12. Kokį vaidmenį kampinis momentas vaidina planetinių sistemų formavime?
    Atsakymas: Molekuliniam debesiui kolapsuojant ir formuojant žvaigždes bei planetas, kampinio momento tvermės dėsnis priverčia medžiagą suplokštėti į diską aplink naujagime žvaigždę, iš kurio gali formuotis planetos.
13. Kaip giroskopas išlaiko savo orientaciją erdvėje?
    Atsakymas: Besisukantis giroskopas turi kampinį momentą. Kai išorinis sukimo momentas bando pakeisti jo orientaciją, giroskopas atlieka precesiją arba keičia savo sukimosi ašį kryptimi, statmena taikomam sukimo momentui dėl kampinio momento tvermės dėsnio.
14. Kas sukelia precesiją verpimo vilkelyje?
    Atsakymas: Besisukančio vilkelio precesiją sukelia gravitacijos sukimo momentas, veikiantis vilkelio masės centrą, kuris yra nutolęs nuo jo sukimosi taško. Šis sukimo momentas pakeičia vilkelio kampinio momento kryptį, todėl jis pradeda precesiją.
15. Kodėl žvaigždės suplokštėja ties savo ašigaliais?
    Atsakymas: Žvaigždėms sukantis, jas veikia išcentrinė jėga, stumia materiją į išorę. Šis poveikis ties pusiauju yra stipresnis nei ties ašigaliais, todėl žvaigždės įgauna suplokštėjusią arba suplokštėjusią formą.
16. Kaip kampinis momentas yra susijęs su antruoju Keplerio dėsniu?
    Atsakymas: Antrasis Keplerio dėsnis teigia, kad linijos atkarpa, jungianti planetą ir Saulę, per vienodus laiko intervalus nukerta vienodus plotus. Tai yra kampinio momento tvermės dėsnio pasekmė.
17. Kodėl katė krisdama visada nusileidžia ant kojų?
    Atsakymas: Katės naudoja kampinio momento tvermės dėsnį. Sukdamos savo kūnus ir keisdamos inercijos momentus ore, jos gali persiorientuoti ir nusileisti ant kojų nepažeisdamos tvermės dėsnių.
18. Kaip magnetinis momentas yra susijęs su kampiniu impulsu elektronuose?
    Atsakymas: Elektrono magnetinis momentas kyla iš jo sukinio ir orbitinio kampinio momento. Magnetinis momentas yra proporcingas elektrono kampiniam momentui.
19. Kas yra kampinis momentas, išreikštas poliarinėmis koordinatėmis?
    Atsakymas: Poliarinėse koordinatėse, kampinis momentas $L$ taškinei masei galima išreikšti kaip $L=mrv$, Kur $m$ yra masė, $r$ yra radialinis atstumas ir $v$ yra tangentinis greitis.
20. Kas nutinka uždaros sistemos kampiniam momentui, kai susiduria du objektai?
    Atsakymas: Uždaroje sistemoje, kurioje susiduria du objektai, bendras kampinis momentas prieš susidūrimą yra lygus bendram kampiniam momentui po susidūrimo, darant prielaidą, kad sistemai neveikia jokie išoriniai sukimo momentai.

Problemos ir sprendimai

1. Uždavinys: Taškas, kurio masė m = 2 kg, juda apskritimu, kurio spindulys r = 4 m, greičiu v = 3 m/s. Apskaičiuokite jo kampinį momentą apskritimo centro atžvilgiu.

Sprendimas: $L=m\times r\times v$ = 2 × 4 × 3 = 24 kg.m ² /s

2. Uždavinys: Kietas rutulys, kurio masė 3 kg, o spindulys 0.5 m, sukasi apie savo skersmenį kampiniu greičiu ω = 2 rad/s. Koks yra jo kampinis momentas?

Sprendimas: Kietos sferos atveju I = 2/5 m r ²

$L=I\times \omega$

L = 2/5 × 3 × (0.5) ² × 2 = 0.6 kg.m ² /s

3. Uždavinys: 3 kg masės taškas juda 4 m/s greičiu tiesia linija. Koks jo kampinis momentas taško, esančio 5 m atstumu nuo judėjimo linijos, atžvilgiu?

Sprendimas:

$L=m\times v\times r$

L = 3 × 4 × 5 = 60 kg· ^m² /s

4. Uždavinys: 5 kg masės ir 3 m spindulio diskas sukasi 2 rad/s kampiniu greičiu. Apskaičiuokite jo kampinį momentą.

Sprendimas: Diskui I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² × 2=45 kg.m ² /s

5. Uždavinys: 4 m ilgio ir 2 kg masės strypas sukasi apie vieną galą 3 rad/s kampiniu greičiu. Raskite jo kampinį momentą.

Sprendimas: Strypui, kurio ilgis apie vieną galą, I = 1/3 m l ²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² × 3=96 kg.m ² /s

6. Uždavinys: Kaip pasikeičia kampinis momentas, jei besisukančio kūno kampinis greitis padvigubėja?

Sprendimas: Kampinio momento (L) ir kampinio greičio (ω) santykis yra $L=I\times \omega$ . Jei ω padvigubėja, kampinis momentas taip pat padvigubėja.

7. Uždavinys: Jei judančios dalelės apskritimo trajektorijos spindulys padvigubėja, o greitis išlieka pastovus, kiek kartų pasikeičia kampinis momentas?

Sprendimas: Kampinis momentas, $L=m\times r\times v$ . Jei r padvigubėja, L taip pat padvigubės.

8. Uždavinys: 30 kg masės vaikas stovi prie nejudančios karuselės krašto. Karuselės spindulys yra 2 m. Jei vaikas pradeda bėgti 2 m/s greičiu žemės atžvilgiu išilgai krašto, raskite vaiko kampinį momentą centro atžvilgiu.

Sprendimas: $L=m\times r\times v$ = 30 × 2 × 2 = 120 kg.m ² /s

9. Uždavinys: 6 kg masės ir 2 m spindulio cilindras sukasi apie savo centrinę ašį 5 rad/s kampiniu greičiu. Apskaičiuokite jo kampinį momentą.

Sprendimas: Cilindrui I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$ =1/2 × 6 × 2 ² × 5 = 120 kg.m ² /s

10. Uždavinys: Koks bus naujas kūno kampinis momentas, jei jo inercijos momentas sumažės perpus, o kampinis greitis padidės tris kartus?

Sprendimas: Duota $L=I\times \omega$ , jei $I$ sumažinamas perpus, o $\omega$ padidinamas trigubai, tai naujasis $L$ bus 1/2 × 3 = 1.5 × pradinis.

11. Uždavinys: 2 kg masės ir 1 m spindulio lankas sukasi 4 rad/s kampiniu greičiu. Apskaičiuokite jo kampinį momentą.

Sprendimas: Jei tai lankas, I = m r ²

$L=I\times \omega$

L = 2 × 1 ² × 4 = 8 kg· ^{m 2} /s

12. Uždavinys: Ventiliatoriaus mentės yra 0.5 m ilgio ir 1 kg bendros masės. Jei jis sukasi 10 rad/s kampiniu greičiu, nustatykite jo kampinį momentą.

Sprendimas: Darant prielaidą, kad ventiliatoriaus mentės yra tarsi strypai, besisukantys apie vieną galą, I = 1/3 m l ²

$L=I\times \omega$ =1/3 × 1 × 0.5 ² × 10 = 0.833 kg.m ² /s

13. Uždavinys: Apskaičiuokite Žemės kampinį momentą apie savo ašį dėl jos sukimosi. Duota: Žemės masė = ^5.972 × ^10²⁻¹² kg , spindulys $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 10⁻¹⁴\text{rad/s}$.

Sprendimas: Darant prielaidą, kad Žemė yra kieta sfera, I = 2/5 m r ²

$L=I\times \omega$ = 2/5 × 5.972 × 10 ²⁴ × (6371 × 10 ³ ) ² × 7.27 × 10 ^-5

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Uždavinys: Vaikas juda besisukančios platformos centro link. Ar kampinis momentas didėja, mažėja ar išlieka toks pats?

Sprendimas: Kampinis momentas išsaugomas. Vaikui judant link centro, inercijos momentas mažėja. Norint išsaugoti kampinį momentą, kampinis greitis didėja. Taigi kampinis momentas išlieka tas pats.

15. Uždavinys: Jei besisukančio kūno kinetinė energija padvigubėja, kiek kartų pasikeičia jo kampinis momentas?

Sprendimas: Kinetinė energija K = 1/2 I ω ² ir kampinis momentas $L=I\omega$ . Jei kinetinė energija padvigubėja, o $I$ išlieka pastovus, ω ² padvigubėja. Tai reiškia, kad $\omega$ padidėja √ 2 kartus .$Taigi,\; L$ taip pat padidėja √ 2 kartus .

16. Uždavinys: Dviračio rato, kurio spindulys yra 0.3 m, ratlankio masė yra 1.5 kg. Jei jis sukasi 5 rad/s kampiniu greičiu, raskite jo kampinį momentą.

Sprendimas: Darant prielaidą, kad ratlankis yra lankas, I = m r ²

$L=I\times \omega$ = 1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 kg· ^m² /s

L = 1.5 × 0. 3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s

17. Problema: Čiuožėjas, sukdamasis ant ledo, įtraukia rankas į vidų. Kas nutinka jo kampiniam momentui?

Sprendimas: Čiuožėjo kampinis momentas išsaugomas. Įtraukdama rankas, ji sumažina inercijos momentą, todėl sukasi greičiau (padidėja kampinis greitis), kad išsaugotų kampinį momentą.

18. Uždavinys: Smagračio inercijos momentas yra 0.2 kg.m ² kg.m ² , o kampinis greitis yra 10 rad/s. Raskite jo kampinį momentą.

Sprendimas:

$L=I\times \omega$ = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s​

19. Uždavinys: Sistemą veikia grynasis išorinis sukimo momentas, lygus nuliui. Ką galite pasakyti apie jos kampinį momentą?

Sprendimas: Jei grynasis išorinis sukimo momentas lygus nuliui, tai pagal kampinio momento tvermės dėsnį bendras sistemos kampinis momentas išlieka pastovus.

20. Uždavinys: Taškas, kurio masė m = 5 kg, juda 3 m/s greičiu statmenai linijai, jungiančiai jį su tašku P. Jei atstumas nuo taško P yra 4 m, raskite jo kampinį momentą taško P atžvilgiu.

Sprendimas:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s