ສົມຜົນດິຟເຟີເຣນຊຽລບາງສ່ວນແມ່ນຫຍັງ?
ສົມຜົນດິຟເຟີເຣນຊຽລບາງສ່ວນ (PDEs) ແມ່ນຫົວຂໍ້ສຳຄັນໃນຄະນິດສາດປະຍຸກ, ເຊິ່ງຖືກນຳໃຊ້ຢ່າງກວ້າງຂວາງເພື່ອສ້າງແບບຈຳລອງປະກົດການທຳມະຊາດ ແລະ ຂະບວນການວິສະວະກຳຕ່າງໆ. ຖ້າພວກເຮົາຕ້ອງການເຂົ້າໃຈວ່າອຸນຫະພູມແຜ່ລາມຜ່ານວັດຖຸແນວໃດ, ຄື້ນແຜ່ລາມໄປໃນສາຍແນວໃດ, ຫຼື ນ້ຳໄຫຼໃນທໍ່ແນວໃດ, ພວກເຮົາອາດຈະພົບກັບສົມຜົນດິຟເຟີເຣນຊຽລບາງສ່ວນ. ບົດຄວາມນີ້ສົນທະນາກ່ຽວກັບຄຳນິຍາມ, ຮູບແບບທົ່ວໄປ, ປະເພດ, ຕົວຢ່າງ ແລະ ການນຳໃຊ້ໃນຊີວິດຈິງ.
ເຂົ້າໃຈສົມຜົນດິຟເຟີເຣນຊຽລບາງສ່ວນ
ເວົ້າງ່າຍໆ, ສົມຜົນດິຟເຟີເຣນຊຽລບາງສ່ວນແມ່ນສົມຜົນທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບຕົວແປເອກະລາດຫຼາຍກວ່າໜຶ່ງຕົວ. ບໍ່ເຫມືອນກັບສົມຜົນດິຟເຟີເຣນຊຽລທຳມະດາ (ODEs), ເຊິ່ງກ່ຽວຂ້ອງກັບອະນຸພັນທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບຕົວແປດຽວເທົ່ານັ້ນ (ຕົວຢ່າງ, ເວລາ), PDI ເກີດຂຶ້ນເມື່ອສະຖານະຂຶ້ນກັບຕົວແປສອງຕົວຫຼືຫຼາຍກວ່ານັ້ນ, ເຊັ່ນ: ອະວະກາດ ແລະ ເວລາ, ພ້ອມໆກັນ.
ຕົວຢ່າງ, ສົມມຸດວ່າພວກເຮົາມີຟັງຊັນອຸນຫະພູມ \(u(x,t)\) ຢູ່ເທິງແທ່ງໂລຫະ: ອຸນຫະພູມປ່ຽນແປງທຽບກັບຕຳແໜ່ງ \(x\) ແລະເວລາ \(t\). ຖ້າພວກເຮົາຕ້ອງການອະທິບາຍຄວາມສຳພັນຂອງການປ່ຽນແປງຂອງອຸນຫະພູມທຽບກັບອະວະກາດ ແລະ ເວລາ, ພວກເຮົາຈະໃຊ້ອະນຸພັນບາງສ່ວນເຊັ່ນ:
\[
\frac{\ສ່ວນ u ໄປຫາສ່ວນ t}, \quad \frac{\ສ່ວນ u ໄປຫາສ່ວນ x}, \quad \frac{\ສ່ວນ^2 u ໄປຫາສ່ວນ x^2}
\]
ເນື່ອງຈາກມັນກ່ຽວຂ້ອງກັບອະນຸພັນບາງສ່ວນ, ສົມຜົນນີ້ຈຶ່ງຖືກເອີ້ນວ່າ "ດິຟເຟີເຣນຊຽລບາງສ່ວນ".
ເປັນຫຍັງອະນຸພັນບາງສ່ວນຈຶ່ງມີຄວາມຈຳເປັນ?
ອະນຸພັນບາງສ່ວນຖືກນໍາໃຊ້ເມື່ອຟັງຊັນຂຶ້ນກັບຫຼາຍກວ່າໜຶ່ງຕົວແປ, ແລະພວກເຮົາຕ້ອງການຮູ້ອັດຕາການປ່ຽນແປງຂອງຟັງຊັນທຽບກັບໜຶ່ງໃນຕົວແປໃນຂະນະທີ່ຮັກສາຕົວແປອື່ນໆຄົງທີ່. ຕົວຢ່າງ, ໃນ \(u(x,y)\), ອະນຸພັນບາງສ່ວນທຽບກັບ \(x\) ສະແດງໃຫ້ເຫັນການປ່ຽນແປງໃນ \(u\) ເມື່ອ \(x\) ປ່ຽນແປງ, ແຕ່ \(y\) ຍັງຄົງທີ່.
ໃນສະພາບການຂອງຟີຊິກສາດ ແລະ ວິສະວະກຳ, ສິ່ງນີ້ມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍເພາະວ່າລະບົບຕ່າງໆໃນໂລກຕົວຈິງໄດ້ຮັບຜົນກະທົບຈາກຫຼາຍປັດໃຈພ້ອມໆກັນ. ການແຜ່ກະຈາຍຄວາມຮ້ອນແມ່ນຂຶ້ນກັບຕຳແໜ່ງ ແລະ ເວລາ; ການເຄື່ອນໄຫວຂອງແຫຼວແມ່ນຂຶ້ນກັບສາມພິກັດຂອງອະວະກາດ ແລະ ເວລາ; ແລະ ສະໜາມໄຟຟ້າ ແລະ ແມ່ເຫຼັກແມ່ນຂຶ້ນກັບອະວະກາດ ແລະ ເວລາ.
ຮູບແບບທົ່ວໄປຂອງສົມຜົນດິຟເຟີເຣນຊຽລບາງສ່ວນ
ຮູບແບບຂອງ PDP ແຕກຕ່າງກັນຢ່າງຫຼວງຫຼາຍ, ແຕ່ໂດຍທົ່ວໄປມັນສາມາດຂຽນໄດ້ດັ່ງນີ້:
\[
F\left(x_1, x_2, \ຈຸດ, x_n, u, \frac{\ສ່ວນ u ໄປຫາສ່ວນ x_1}, \ຈຸດ, \frac{\ສ່ວນ u ໄປຫາສ່ວນ x_n},
\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}, \ຈຸດ \right)=0
\]
ໃນທີ່ນີ້, \(u\) ແມ່ນຟັງຊັນທີ່ບໍ່ຮູ້ຈັກ (ຟັງຊັນທີ່ຕ້ອງແກ້ໄຂ), ໃນຂະນະທີ່ \(x_1, x_2, \dots, x_n\) ແມ່ນຕົວແປອິດສະຫຼະ (ເຊັ່ນ: ອະວະກາດ ແລະ ເວລາ). ສົມຜົນອາດຈະກ່ຽວຂ້ອງກັບອະນຸພັນບາງສ່ວນລຳດັບທີໜຶ່ງ, ທີສອງ, ຫຼື ສູງກວ່າ.
ນອກຈາກນັ້ນ, PDP ສາມາດແບ່ງອອກເປັນ:
- ເສັ້ນຊື່: ຖ້າ \(u\) ແລະອະນຸພັນຂອງມັນປະກົດຂຶ້ນເປັນເສັ້ນຊື່ (ບໍ່ໄດ້ຍົກກຳລັງ, ບໍ່ໄດ້ຄູນດ້ວຍອະນຸພັນອື່ນໆ, ແລະ ບໍ່ໄດ້ເຂົ້າໄປໃນຟັງຊັນທີ່ບໍ່ເປັນເສັ້ນຊື່).
- ບໍ່ແມ່ນເສັ້ນຊື່: ຖ້າມີອົງປະກອບທີ່ບໍ່ແມ່ນເສັ້ນຊື່ເຊັ່ນ: \((\partial u/\partial x)^2\), \(u^2\), ຫຼື \(\sin(u)\).
ຄວາມເປັນເສັ້ນຊື່ນີ້ແມ່ນສຳຄັນເພາະວ່າ PDPs ເສັ້ນຊື່ໂດຍທົ່ວໄປແລ້ວແມ່ນງ່າຍຕໍ່ການວິເຄາະ ແລະ ມີເຕັກນິກການແກ້ໄຂທີ່ເປັນທີ່ຍອມຮັບຫຼາຍກວ່າ.
ລຳດັບຂອງສົມຜົນດິຟເຟີເຣນຊຽລບາງສ່ວນ
ລຳດັບຂອງ PDP ຖືກກຳນົດໂດຍອະນຸພັນບາງສ່ວນລຳດັບສູງສຸດທີ່ປາກົດຢູ່ໃນສົມຜົນ.
- ລໍາດັບທຳອິດ: ມີພຽງແຕ່ອະນຸພັນບາງສ່ວນທໍາອິດເທົ່ານັ້ນ, ຕົວຢ່າງ:
\[
\frac{\ສ່ວນ u ໄປຫາສ່ວນ t} + c\frac{\ສ່ວນ u ໄປຫາສ່ວນ x} = 0
\]
- ລໍາດັບທີສອງ: ປະກອບດ້ວຍອະນຸພັນບາງສ່ວນທີສອງ, ຕົວຢ່າງ:
\[
\frac{\ສ່ວນ u ໄປຫາສ່ວນ t} = k \frac{\ສ່ວນ ^2 u ໄປຫາສ່ວນ x ^2}
\]
ສົມຜົນຟີຊິກທີ່ສຳຄັນຫຼາຍອັນແມ່ນ PDE ລຳດັບທີສອງ.
ສາມຫ້ອງຮຽນຄລາສສິກຂອງ PDPs: ຮູບໄຂ່, ຮູບພາຣາໂບລິກ, ແລະ ໄຮເປີໂບລິກ
ໃນ PDP ເສັ້ນຊື່ລຳດັບທີສອງ, ມີການຈັດປະເພດທີ່ຮູ້ຈັກກັນດີຫຼາຍ, ຄື ຮູບໄຂ່, ຮູບພາຣາໂບລິກ, ແລະ ຮູບໄຮເປີໂບລິກ. ການຈັດປະເພດເຫຼົ່ານີ້ມີຜົນກະທົບຕໍ່ລັກສະນະຂອງວິທີແກ້ໄຂ ແລະ ວິທີການແກ້ໄຂພວກມັນ.
1. ຮູບໄຂ່
ຕົວຢ່າງທີ່ມີຊື່ສຽງທີ່ສຸດແມ່ນສົມຜົນຂອງ Laplace:
\[
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0
\]
PDP ຮູບຊົງ Elliptic ມັກຈະປາກົດຢູ່ໃນສະຖານະ "ຢຸດນິ້ງ" ຫຼື ດຸ່ນດ່ຽງ, ຕົວຢ່າງເຊັ່ນ ການແຈກຢາຍທ່າແຮງໄຟຟ້າໃນອະວະກາດໂດຍບໍ່ມີການປ່ຽນແປງຕາມການເວລາ.
2. ຮູບຊົງພາຣາໂບລິກ
ຕົວຢ່າງຫຼັກແມ່ນສົມຜົນຄວາມຮ້ອນ:
\[
\frac{\ສ່ວນ u ໄປຫາສ່ວນ t} = k\frac{\ສ່ວນ ^2 u ໄປຫາສ່ວນ x ^2}
\]
PDP ແບບ parabolic ອະທິບາຍເຖິງຂະບວນການຂອງການແຜ່ກະຈາຍ ຫຼື ການແຜ່ລາມ, ເຊັ່ນ: ຄວາມຮ້ອນ, ສານເຄມີ, ຫຼື ກຸ່ມປະຊາກອນ.
3. ເວົ້າເກີນຈິງ
ຕົວຢ່າງທີ່ນິຍົມທີ່ສຸດແມ່ນສົມຜົນຄື້ນ:
\[
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
\]
Hyperbolic PDP ສ້າງແບບຈຳລອງການແຜ່ກະຈາຍຂອງຄື້ນ, ເຊັ່ນ: ຄື້ນໃນສາຍ, ສຽງ, ຫຼື ຄື້ນແມ່ເຫຼັກໄຟຟ້າ.
ຕົວຢ່າງຂອງສົມຜົນດິຟເຟີເຣນຊຽລບາງສ່ວນໃນຊີວິດຈິງ
ເພື່ອເຮັດໃຫ້ມັນມີປະໂຫຍດຫຼາຍຂຶ້ນ, ນີ້ແມ່ນຕົວຢ່າງຂອງແອັບພລິເຄຊັນ PDP ທີ່ມັກພົບ:
1. ການແຜ່ກະຈາຍຄວາມຮ້ອນໃນວັດສະດຸ
ວິສະວະກອນໃຊ້ສົມຜົນຄວາມຮ້ອນເພື່ອຄາດຄະເນວ່າອຸນຫະພູມແຜ່ລາມຜ່ານເຄື່ອງຈັກ, ອົງປະກອບເອເລັກໂຕຣນິກ ຫຼື ວັດສະດຸກໍ່ສ້າງແນວໃດ. ສິ່ງນີ້ມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍສຳລັບການອອກແບບການເຮັດຄວາມເຢັນ ແລະ ປ້ອງກັນຄວາມເສຍຫາຍຈາກຄວາມຮ້ອນເກີນໄປ.
2. ຄື້ນ ແລະ ການສັ່ນສະເທືອນ
ສົມຜົນຄື້ນຖືກນໍາໃຊ້ໃນວິສະວະກໍາໂຍທາ (ເຊັ່ນ: ການວິເຄາະການສັ່ນສະເທືອນຂອງຂົວ), ສຽງ (ການແຜ່ກະຈາຍສຽງ) ແລະ ແຜ່ນດິນໄຫວ (ຄື້ນແຜ່ນດິນໄຫວ).
3. ນ້ຳ ແລະ ສະພາບອາກາດ
ການສ້າງແບບຈຳລອງການໄຫຼຂອງນ້ຳກ່ຽວຂ້ອງກັບລະບົບ PDP ທີ່ສັບສົນເຊັ່ນ: ສົມຜົນ Navier–Stokes. ການຄາດຄະເນສະພາບອາກາດ, ກະແສນ້ຳມະຫາສະໝຸດ, ແລະ ຄວາມວຸ້ນວາຍຂອງອາກາດແມ່ນຂຶ້ນກັບວິທີການຕ່າງໆໃນການຫາສົມຜົນເຫຼົ່ານີ້.
4. ການເງິນແບບປະລິມານ
ໃນຄະນິດສາດທາງດ້ານການເງິນ, ສົມຜົນ Black-Scholes ສຳລັບການກຳນົດລາຄາທາງເລືອກແມ່ນ PDP ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບເວລາ, ລາຄາຊັບສິນ, ຄວາມຜັນຜວນ, ແລະປັດໄຈອື່ນໆ.
5. ຊີວະວິທະຍາ ແລະ ການແພດ
ການແຜ່ກະຈາຍຂອງພະຍາດ, ການເຕີບໂຕຂອງເນື້ອງອກ, ແລະ ການແຜ່ກະຈາຍຂອງຢາໃນເນື້ອເຍື່ອສາມາດຈຳລອງໄດ້ດ້ວຍ PDPs ການແຜ່ກະຈາຍປະຕິກິລິຍາ.
ການສຳເລັດ PDP: ເງື່ອນໄຂເບື້ອງຕົ້ນ ແລະ ເງື່ອນໄຂຂອບເຂດ
ບໍ່ເຫມືອນກັບສົມຜົນພຶດຊະຄະນິດທຳມະດາ, ເຊິ່ງສາມາດມີຄຳຕອບດຽວ, PDEs ມັກຈະມີຄຳຕອບທີ່ເປັນໄປໄດ້ຫຼາຍຢ່າງ. ເພື່ອຊອກຫາຄຳຕອບທີ່ເໝາະສົມກັບສະຖານະການຕົວຈິງ, ໂດຍປົກກະຕິແລ້ວພວກເຮົາຕ້ອງການ:
- ເງື່ອນໄຂເບື້ອງຕົ້ນ: ຄ່າຂອງຟັງຊັນໃນເວລາເລີ່ມຕົ້ນ, ຕົວຢ່າງ \(u(x,0)=f(x)\).
- ເງື່ອນໄຂຂອບເຂດ: ພຶດຕິກຳຂອງຟັງຊັນໃນຂອບເຂດຂອງຊ່ອງ, ຕົວຢ່າງ \(u(0,t)=0\) ຫຼື \(\frac{\partial u}{\partial x}(L,t)=0\).
ຕົວຢ່າງງ່າຍໆ: ສຳລັບໄມ້ທ່ອນຍາວ \(0 \le x \le L\), ພວກເຮົາສາມາດມີອຸນຫະພູມເບື້ອງຕົ້ນທີ່ແນ່ນອນ ແລະ ປາຍຂອງໄມ້ທ່ອນຖືກຮັກສາໄວ້ໃນອຸນຫະພູມຄົງທີ່. ການລວມກັນຂອງສົມຜົນຄວາມຮ້ອນ + ເງື່ອນໄຂເບື້ອງຕົ້ນ + ເງື່ອນໄຂຂອບເຂດປະກອບເປັນບັນຫາທີ່ສົມບູນ.
ວິທີການແກ້ໄຂສົມຜົນດິຟເຟີເຣນຊຽລບາງສ່ວນ
ບໍ່ແມ່ນ PDP ທັງໝົດມີວິທີແກ້ໄຂ "ສູດປິດ" ທີ່ສາມາດຂຽນໄດ້ງ່າຍ. ໂດຍທົ່ວໄປ, ມີຫຼາຍວິທີການ:
1. ວິທີການວິເຄາະ
ຕົວຢ່າງ, ການແຍກຕົວແປ, ການຫັນປ່ຽນ Fourier, ການຫັນປ່ຽນ Laplace, ແລະ ວິທີການລັກສະນະ (ສຳລັບລຳດັບທີໜຶ່ງ).
2. ວິທີການທາງຕົວເລກ
ຖ້າວິທີແກ້ໄຂການວິເຄາະມີຄວາມຫຍຸ້ງຍາກ ຫຼື ເປັນໄປບໍ່ໄດ້, ວິທີການຄິດໄລ່, ເຊັ່ນ: ວິທີການຄວາມແຕກຕ່າງທີ່ຈຳກັດ, ອົງປະກອບທີ່ຈຳກັດ, ແລະ ປະລິມານທີ່ຈຳກັດ, ຈະຖືກນຳໃຊ້. ວິທີການຕົວເລກມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍໃນວິສະວະກຳທີ່ທັນສະໄໝ ແລະ ການຈຳລອງທາງວິທະຍາສາດ.
3. ວິທີການເຊີງຄຸນນະພາບ
ບາງຄັ້ງສິ່ງທີ່ຕ້ອງການບໍ່ແມ່ນຮູບແບບທີ່ຊັດເຈນຂອງວິທີແກ້ໄຂ, ແຕ່ເປັນຄຸນສົມບັດຂອງມັນ: ບໍ່ວ່າວິທີແກ້ໄຂຈະໝັ້ນຄົງຫຼືບໍ່, ມີຄື້ນຊ໊ອກຫຼືບໍ່, ບໍ່ວ່າວິທີແກ້ໄຂຈະລຽບ ຫຼື ມີເອກະລັກ, ແລະອື່ນໆ.
ສະຫຼຸບ
ສົມຜົນດິຟເຟີເຣນຊຽລບາງສ່ວນ (PDEs) ແມ່ນເຄື່ອງມືທາງຄະນິດສາດທີ່ມີປະສິດທິພາບສຳລັບການອະທິບາຍການປ່ຽນແປງໃນລະບົບທີ່ຂຶ້ນກັບຕົວແປຫຼາຍຢ່າງ, ໂດຍສະເພາະແມ່ນອະວະກາດ ແລະ ເວລາ. ສົມຜົນດິຟເຟີເຣນຊຽລບາງສ່ວນ (PDEs) ສາມາດນຳໃຊ້ເພື່ອສ້າງແບບຈຳລອງຄວາມຮ້ອນ, ຄື້ນ, ການໄຫຼຂອງນ້ຳ, ຂະບວນການແຜ່ກະຈາຍ, ແລະ ແມ່ນແຕ່ການເຄື່ອນໄຫວຂອງລະບົບເສດຖະກິດ ແລະ ຊີວະພາບ. ໃນຂະນະທີ່ມັກຈະສັບສົນ ແລະ ທ້າທາຍ, PDEs ແມ່ນພື້ນຖານທີ່ສຳຄັນສຳລັບວິທະຍາສາດ, ວິສະວະກຳ ແລະ ເຕັກໂນໂລຊີທີ່ທັນສະໄໝ, ຍ້ອນວ່າປະກົດການຫຼາຍຢ່າງໃນໂລກຕົວຈິງແມ່ນໄດ້ອະທິບາຍໄດ້ດີທີ່ສຸດຜ່ານຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງການປ່ຽນແປງໃນອະວະກາດ ແລະ ເວລາ.
ຖ້າທ່ານຕ້ອງການ, ຂ້ອຍຍັງສາມາດເພີ່ມຕົວຢ່າງງ່າຍໆຂອງບັນຫາ PDP ພ້ອມກັບຂັ້ນຕອນການແກ້ໄຂຂອງມັນ (ເຊັ່ນ: ສົມຜົນຄວາມຮ້ອນ 1D ທີ່ມີເງື່ອນໄຂຂອບເຂດສະເພາະ), ຫຼືສ້າງບົດຄວາມສະບັບທີ່ນິຍົມກວ່າສຳລັບຜູ້ອ່ານມັດທະຍົມຕອນປາຍ.
